チャーン・サイモンズ理論

チャーン・サイモンズ理論は、エドワード・ウィッテンによって開発されたシュワルツ型の3次元位相量子場理論である。数理物理学者アルバート・シュワルツによって初めて発見された。チャーン・サイモンズ3形式を提唱した数学者シインシェン・チャーンとジェームズ・ハリス・サイモンズにちなんで名付けられた。チャーン・サイモンズ理論では、作用はチャーン・サイモンズ3形式の積分に比例する。

凝縮系物理学において、チャーン・サイモンズ理論は分数量子ホール効果状態における位相秩序を記述する。数学においては、結び目不変量やジョーンズ多項式などの3次元不変量の計算に使用されている。^[1]

特に、チャーン・サイモンズ理論は、理論のゲージ群として知られる単純なリー群G と、作用を乗算する定数である理論のレベルと呼ばれる数値の選択によって規定されます。作用はゲージに依存しますが、レベルが整数で、ゲージ場の強度が3 次元時空の すべての境界でゼロになる場合、量子理論の分割関数は明確に定義されます。

これはまた、トポロジカル量子コンピュータ（TQC）の理論モデルにおける中心的な数学的対象でもある。具体的には、SU(2)チャーン・サイモンズ理論は、TQCの最も単純な非可換なエノンモデルであるヤン・リー・フィボナッチモデルを記述する。^{[2] [3]}

3次元多様体の2次元境界上のチャーン・サイモンズ理論のダイナミクスは、共形場理論、特にWZW理論における融合則や共形ブロックと密接に関係している。^{[1] [4]}

1940 年代に、SS チャーンとA. ヴェイユは、滑らかな多様体Mの大域曲率特性をド・ラーム・コホモロジー(チャーン・ヴェイユ理論)として研究しました。これは、微分幾何学における特性類の理論における重要なステップです。 M上の平坦なG主バンドルP が与えられている場合、 g上のG随伴不変多項式の代数 ( Gのリー代数)からコホモロジーへのチャーン・ヴェイユ準同型と呼ばれる一意の準同型性があります。不変多項式が同次であれば、閉じた接続ωの任意のk形式を、 ωの関連する曲率形式 Ω の2 k形式として具体的に記述できます。 ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

1974年にSSチャーンとJHシモンズは、 (2 k  − 1)形式のdf ( ω )を具体 的に構築し、

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

ここでTはチャーン・ヴェイユ準同型である。この形式はチャーン・サイモンズ形式と呼ばれる。df ( ω )が閉じていれば、上の式を積分することができる。

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

ここで、C はM上の(2 k  − 1) 次元サイクルです。この不変量はチャーン・サイモンズ不変量と呼ばれます。チャーン・サイモンズ論文の序論で指摘されているように、チャーン・サイモンズ不変量 CS( M ) は、純粋な組み合わせ論的定式化では決定できない境界項です。これは次のように定義することもできます。

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

ここで、 は第一ポンチャギン数であり、s ( M ) は正規直交バンドルPの切断である。さらに、チャーン・サイモンズ項は、アティヤ、パトーディ、シンガーによって定義された イータ不変量として記述される。${\displaystyle p_{1}}$

ゲージ不変性と計量不変性は、チャーン・ヴェイユ理論における随伴リー群作用の下での不変性として見ることができます。物理学における場の理論の作用積分（経路積分）は、チャーン・サイモンズ形式のラグランジアン積分とウィルソンループ、 M上のベクトル束のホロノミーとして見ることができます。これらは、チャーン・サイモンズ理論が位相場の理論と密接に関連している理由を説明しています。

チャーン・サイモンズ理論は、境界の有無にかかわらず、任意の位相 3 次元多様体 M上で定義できます。これらの理論はシュワルツ型の位相理論であるため、Mに計量を導入する必要はありません。

チャーン・サイモンズ理論はゲージ理論の一種で、ゲージ群Gを持つM上のチャーン・サイモンズ理論の古典的な構成が、 M上の主Gバンドルによって記述されることを意味します。このバンドルの接続は、リー群Gのリー代数gで評価される接続1 形式Aによって特徴付けられます。一般に、接続Aは個々の座標パッチ上でのみ定義され、異なるパッチ上のAの値は、ゲージ変換と呼ばれるマップによって関連付けられます。これらは、外微分演算子dと接続Aの合計である共変微分が、ゲージ群Gの随伴表現で変換されるという主張によって特徴付けられます。共変微分のそれ自体との平方は、曲率形式または場の強さと呼ばれるg値 2 形式Fとして解釈できます。また、随伴表現でも変換されます。

チャーン・サイモンズ理論の作用Sは チャーン・サイモンズ3形式の積分に比例する。

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi}}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

定数kは理論のレベルと呼ばれます。チャーン-サイモンズ理論の古典物理学は、レベルkの選択とは無関係です。

古典的には、この系は運動方程式によって特徴付けられ、これは場Aの変化に対する作用の極値である。場の曲率の観点からは、

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

場の方程式は明示的に

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

したがって、古典的な運動方程式は、曲率がどこでもゼロになる場合にのみ満たされ、その場合、接続は平坦であると言われる。したがって、 Gチャーン-サイモンズ理論の古典的な解は、M上の主Gバンドルの平坦接続である。平坦接続は、基底M上の非収縮サイクルの周りのホロノミーによって完全に決定される。より正確には、それらは、共役まで、 Mの基本群からゲージ群Gへの準同型の同値類と一対一に対応している。

M が境界N を持つ場合、 N上の主Gバンドルの自明化の選択を記述する追加データがあります。このような選択は、 NからGへの写像を特徴付けます。この写像のダイナミクスは、レベルkのN上のWess–Zumino–Witten (WZW) モデルによって記述されます。

チャーン・サイモンズ理論を正準量子化するには、M の各 2 次元面 Σ 上に状態を定義します。他の量子場理論と同様に、状態はヒルベルト空間内の光線に対応します。シュワルツ型の位相場理論では時間の優先概念がないため、Σ がコーシー面であることを要求できます。実際、状態は任意の面で定義できます。

Σ は余次元が 1 なので、M を Σ に沿って切断することができます。このような切断の後、M は境界を持つ多様体になり、特に古典的には Σ のダイナミクスは WZW モデルによって記述されます。Wittenは、この対応が量子力学的にも成り立つことを示しました。より正確には、状態のヒルベルト空間は常に有限次元であり、レベル k の G WZW モデルの共形ブロックの空間と標準的に同一視できることを実証しました。

たとえば、Σ が 2 次元球面の場合、このヒルベルト空間は 1 次元であるため、状態は 1 つしかありません。Σ が 2 次元トーラスの場合、状態はレベル k の g に対応するアフィン リー代数の積分可能な表現に対応します。より高い種数での共形ブロックの特徴付けは、チャーン-サイモンズ理論のウィッテンの解には必要ありません。

チャーン・サイモンズ理論の観測量は、ゲージ不変演算子の n 点相関関数です。ゲージ不変演算子の中で最もよく研​​究されるクラスはウィルソンループです。ウィルソンループは、 Gの与えられた表現Rでトレースされる、Mのループの周りのホロノミーです。ウィルソンループの積に興味があるので、一般性を失うことなく、既約表現Rに着目することができます。

より具体的には、既約表現RとM内のループKが与えられたとき、ウィルソンループを次のように 定義できる。${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

ここで、A は接続 1 形式であり、路積分のCauchy 主値を取り、は経路順序付けされた指数関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

M内のリンクL を考えます。これはℓ個の互いに素なループの集合です。特に興味深い観測量は、 Gの基本表現でトレースされた各互いに素なループの周りのウィルソン ループの積から形成されるℓ点相関関数です。この観測量を分割関数Z ( M )で割ることで、正規化された相関関数を形成できます。これは、0 点相関関数です。

Mが3次元球面である特別な場合、ウィッテンはこれらの正規化された相関関数が既知の結び目多項式に比例することを示した。例えば、レベルkのG  =  U ( N )チャーン・サイモンズ理論では、正規化された相関関数は位相を除いて、

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

HOMFLY多項式の倍になります。特にN  = 2のとき、HOMFLY多項式はジョーンズ多項式に簡約されます。SO( N )の場合、カウフマン多項式と同様の表現が見つかります。

位相の曖昧さは、ウィッテンが示したように、量子相関関数が古典データによって完全に定義されていないという事実を反映している。ループのそれ自体とのリンク数は分割関数の計算に入るが、この数は小さな変形に対して不変ではなく、特に位相不変ではない。この数は、各ループのフレーミングを選択すれば明確に定義できる。フレーミングとは、ループを変形してその自己リンク数を計算する各ポイントでの好ましい非ゼロ法線ベクトルの選択である。この手順は、1934年にポール ディラックとルドルフ パイエルスが量子場の理論で明らかに発散する量を定義するために導入した点分割正規化手順の例である。

マイケル・アティヤ卿は、2フレーミングの標準的な選択が存在することを示しました。^[5]これは今日の文献で一般的に使用されており、明確に定義されたリンク数につながります。標準的なフレーミングでは、上記の位相は、Lとそれ自身のリンク数の2π i /（k  +  N ）倍の指数です。

問題（ジョーンズ多項式の一般3次元多様体への拡張）　

「元のジョーンズ多項式は、3 次元球面 (3 次元球、3 次元空間 R3) の 1 リンクに対して定義されました。任意の 3 次元多様体の 1 リンクに対してジョーンズ多項式を定義できますか?」

この問題の背景と経緯については、この論文^[6]のセクション 1.1 を参照してください。Kauffman は、仮想 1 ノットを導入することにより、閉有向面と閉区間の積多様体の場合の解決策を提示しました^[7]。他の場合には未解決です。Jones 多項式の Witten の経路積分は、任意のコンパクトな 3 次元多様体のリンクに対して形式的に記述されますが、3 次元球面 (3 次元ボール、3 次元空間R ³ ) 以外の場合には物理レベルでも計算が行われていません。この問題も物理レベルでも未解決です。Alexander 多項式の場合は、この問題は解決されています。

弦理論の文脈では、6次元多様体Xの有向ラグランジアン 3 次元部分多様体 M 上のU ( N ) チャーン-サイモンズ理論は、 X上のA モデルの位相的弦理論においてX を包むD ブレーン上で終わる開弦の弦場理論として生じる。D5ブレーンのスタックの空間充填世界体積上のB モデルの位相的開弦場理論は、チャーン-サイモンズ理論の 6 次元の変形であり、正則チャーン-サイモンズ理論として知られている。

チャーン・サイモンズ理論は、他の多くの場の理論と関連しています。たとえば、境界を持つ多様体上のゲージ群 G を持つチャーン・サイモンズ理論を考えると、3 次元の伝播自由度はすべてゲージ化され、境界上のGウェス・ズミノ・ウィッテン モデルとして知られる2 次元の共形場理論が残ります。さらに、Nが大きい場合のU ( N ) および SO( N ) チャーン・サイモンズ理論は、行列モデルによってよく近似されます。

1982 年、S. Deser、R. Jackiw、S. Templeton は、3 次元における Chern–Simons 重力理論を提唱しました。この理論では、重力理論におけるアインシュタイン–ヒルベルト作用に Chern–Simons 項を追加して修正しています。(Deser、Jackiw、Templeton (1982))

2003 年、R. Jackiw と SY Pi はこの理論を 4 次元に拡張しました (Jackiw & Pi (2003))。チャーン・サイモンズ重力理論は、基礎物理学だけでなく、凝縮物質理論や天文学にも大きな影響を与えています。

4次元の場合も3次元の場合と非常によく似ている。3次元では、重力チャーン・サイモンズ項は

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

この変形によりコットンテンソルは

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

次に、上記のコットンテンソルを場の方程式に追加することによって3次元重力のチャーン・サイモンズ修正が行われ、これはアインシュタイン・ヒルベルト作用を変化させることによって真空解として得られます。

2013 年、ケネス A. イントリリゲーターとネイサン セイバーグは、余分な自由度を持つモノポールを使用して、これらの 3 次元チャーン-サイモンズ ゲージ理論とその位相を解きました。発見された多数の真空のウィッテン指数は、質量パラメータをオンにして空間をコンパクト化し、指数を計算することで計算されました。一部の真空では、超対称性が破れていると計算されました。これらのモノポールは、凝縮物質の渦に関連していました。(イントリリゲーター & セイバーグ (2013))

N  = 6 チャーン・サイモンズ物質理論は、M理論のホログラフィック双対です。 ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

2013年にケビン・コステロは、 2次元の「位相平面」と2次元（または1次元複素数）の複素曲線の積からなる4次元多様体上で定義された密接に関連した理論を定義しました。^[8]彼は後にウィッテンと山崎正人と共に理論をより詳細に研究し、^{[9] [10] [11]}ゲージ理論が、正確に解ける格子モデル（ 6頂点モデルやXXZスピンチェーンなど）、積分可能な量子場の理論（グロス・ネヴーモデル、主カイラルモデル、対称空間剰余類シグマモデルなど）、ヤン・バクスター方程式、および前述のシステムの積分可能性の基礎となる対称性を記述するヤンジアンなどの量子群を含む、積分系理論の多くの概念とどのように関連しているかを示しました。

が2次元多様体でが複素曲線である 4次元多様体への作用は、 が上の有理型1形式である ときです。 ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C}$$${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C}$

チャーン・サイモンズ項は、位相量子場理論ではないモデルにも追加できます。3Dでは、この項がマクスウェルの電磁力学理論の作用に追加されると、質量を持つ光子が生じます。この項は、質量を持つ荷電ディラック場を積分することで誘導できます。また、たとえば量子ホール効果にも現れます。チャーン・サイモンズ項をさまざまな理論に追加すると、渦型またはソリトン型の解が生じます^{[12] [13]}チャーン・サイモンズ項の10次元および11次元の一般化は、すべての10次元および11次元の超重力理論の作用に現れます。

チャーン・サイモンズゲージ理論に物質を加えると、一般には位相的ではなくなります。しかし、n 個のマヨラナフェルミオンを加えると、パリティ異常のため、積分すると、チャーン・サイモンズ準位の − n /2 による1 ループ繰り込みを伴う純粋なチャーン・サイモンズ理論につながります。言い換えると、n 個のフェルミオンを含む準位 k 理論は、フェルミオンを含まない準位k  −  n /2 理論と同等です。

• ゲージ理論（数学）
• チャーン・サイモンズ形式
• 位相量子場理論
• アレクサンダー多項式
• ジョーンズ多項式
• 2+1D 位相重力
• スカーミオン

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特定の

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