アナログフィルター

アナログフィルタは、電子工学において広く用いられる信号処理の基本的な構成要素です。その用途は多岐にわたり、例えば、低音、中音、高音スピーカーに送る前に音声信号を分離すること、複数の電話会話を1つのチャンネルにまとめてから分離すること、ラジオ受信機で特定のラジオ局を選択し、他の局の受信を拒否することなどが挙げられます。

受動線形電子アナログフィルタとは、線形微分方程式で記述できるフィルタ（線形）のことです。これらはコンデンサ、インダクタ、場合によっては抵抗器（受動）で構成され、連続的に変化するアナログ信号に対して動作するように設計されています。実装上アナログではない線形フィルタ（デジタルフィルタ）も多数存在し、受動的なトポロジーを持たない電子フィルタも多数存在します 。これらのフィルタはどちらも、この記事で説明するフィルタと同じ伝達関数を持つ場合があります。アナログフィルタは、波形フィルタリングアプリケーション、つまりアナログ（連続時間）信号から特定の周波数成分を通過させ、他の周波数成分を除去する必要があるアプリケーションで最もよく使用されます。

アナログフィルタは、電子工学の発展において重要な役割を果たしてきました。特に通信分野では、フィルタは数々の技術的ブレークスルーにおいて極めて重要な役割を担い、通信会社に莫大な利益をもたらしてきました。したがって、フィルタの初期開発が伝送線路と密接に関係していたことは、何ら驚くべきことではありません。伝送線路理論からフィルタ理論が生まれ、当初は非常に類似した形態をとり、フィルタの主な用途は通信伝送線路での使用でした。しかし、ネットワーク合成技術の登場により、設計者の制御能力は飛躍的に向上しました。

今日では、複雑なアルゴリズムの実装がはるかに容易なデジタル領域でフィルタリングを行うことが好まれることが多いが、アナログフィルタも依然として用途があり、特に低次の単純なフィルタリングタスクでは有効である。また、デジタル技術がまだ実用的ではない、あるいは少なくともコスト効率が低い高周波数帯域では、アナログフィルタが依然として主流となっている。可能な限り、特に低周波数帯域では、アナログフィルタは、受動回路に必要な巻線部品（インダクタ、トランスなど）を避けるために、能動回路構成で実装されるようになっている。

機械振動や音波をフィルタリングする機械部品を用いて、線形アナログ機械フィルタを設計することは可能です。このようなデバイスは、力学そのものの分野では応用例が少ないものの、電気領域との間で変換を行うトランスデューサを追加することで、電子工学分野で利用できます。実際、フィルタに関する初期のアイデアの中には、当時電子工学技術が十分に理解されていなかったため、音響共振器を用いたものもありました。原理的には、このようなフィルタの設計は、運動エネルギー、位置エネルギー、熱エネルギーをそれぞれインダクタ、コンデンサ、抵抗器のエネルギーに対応させるなど、力学的な量の電子的な対応物を用いて完全に実現できます。

受動アナログフィルタの開発の歴史には、主に3つの段階があります。

1. 単純なフィルタ。コンデンサやインダクタの電気的応答の周波数依存性は、非常に早い時期から知られていました。共振現象も古くから知られており、これらの部品を用いて単純な単一分岐フィルタを作成することが可能でした。1880年代には電信への応用が試みられましたが、これらの設計は周波数分割多重化を成功させるには不十分であることが判明しました。ネットワーク解析はまだ十分に強力ではなく、より複雑なフィルタの理論を提供するには至っておらず、信号の周波数領域における性質に対する一般的な理解不足も進歩を阻害しました。
2. Image filters. Image filter theory grew out of transmission line theory, and the design proceeded in a similar manner to transmission line analysis. For the first time, filters could be produced that had precisely controllable passbands and other parameters. These developments took place in the 1920s, and filters produced to these designs were still in widespread use in the 1980s, only declining as the use of analogue telecommunications has declined. Their immediate application was the economically important development of frequency division multiplexing for use on intercity and international lines.
3. Network synthesis filters. The mathematical bases of network synthesis were laid in the 1930s and 1940s. After World War II, network synthesis became the primary tool of filter design. Network synthesis put filter design on a firm mathematical foundation, freeing it from the mathematically sloppy techniques of image design and severing the connection with physical lines. The essence of network synthesis is that it produces a design that will (at least if implemented with ideal components) accurately reproduce the response originally specified in black box terms.

Throughout this article, the letters R, L, and C are used with their usual meanings to represent resistance, inductance, and capacitance, respectively. In particular, they are used in combinations, such as LC, to mean, for instance, a network consisting only of inductors and capacitors. Z is used for electrical impedance, any 2-terminal^{[note 1]} combination of RLC elements and in some sections D is used for the rarely seen quantity elastance, which is the inverse of capacitance.

Early filters utilised the phenomenon of resonance to filter signals. Although electrical resonance had been investigated by researchers from a very early stage, it was at first not widely understood by electrical engineers. Consequently, the much more familiar concept of acoustic resonance (which in turn, can be explained in terms of the even more familiar mechanical resonance) found its way into filter design ahead of electrical resonance.^[1] Resonance can be used to achieve a filtering effect because the resonant device will respond to frequencies at, or near, the resonant frequency but will not respond to frequencies far from resonance. Hence, frequencies far from resonance are filtered out from the output of the device.^[2]

Electrical resonance

共鳴は、1746年に発明されたライデン瓶を用いた実験で早くから注目されていました。ライデン瓶は静電容量によって電気を蓄え、実際にはコンデンサの初期形態です。ライデン瓶の電極間に火花を飛ばして放電させると、放電は振動します。これは、1826年にフランスのフェリックス・サヴァリー、そして後に（1842年）アメリカのジョセフ・ヘンリー^{[ 3 ]}が、放電の近くに置かれた鋼鉄の針が常に同じ方向に磁化されるとは限らないことに気づくまで疑われていませんでした。彼らはそれぞれ独立して、時間とともに消滅する過渡的な振動が存在するという結論に達しました。^{[ 4 ]}

ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは1847年にエネルギー保存の法則に関する重要な研究を発表し^{[ 5 ]、}その中で振動が消滅する理由を説明するためにこれらの原理を用い、各サイクルで振動のエネルギーを散逸させるのは回路の抵抗であるとしました。ヘルムホルツはまた、ウィリアム・ハイド・ウォラストンの電気分解実験から振動の証拠があったことにも注目しました。ウォラストンは電気ショックで水を分解しようとしていましたが、両方の電極に水素と酸素の両方が存在することを発見しました。通常の電気分解では、これらは分離して、それぞれが電極に分かれます。^{[ 6 ]}

ヘルムホルツは振動が減衰する理由を説明したが、そもそもなぜ振動が発生するのかは説明していなかった。これはウィリアム・トムソン卿（ケルビン卿）に委ねられ、彼は1853年に、回路には瓶の静電容量と負荷の抵抗に加えてインダクタンスが存在すると仮定した。^{[ 7 ]}これにより、この現象の物理的基礎が確立された。つまり、瓶から供給されたエネルギーは負荷で一部が消費されるが、一部はインダクタの磁場に蓄えられるということである。^{[ 8 ]}

これまでのところ、調査は、突然の刺激によって生じる共振回路の過渡振動の固有周波数に関するものでした。フィルタ理論の観点からより重要なのは、外部交流信号によって駆動される共振回路の挙動です。駆動信号の周波数が回路の共振周波数にあるとき、回路の応答に突然のピークが現れます。^{[注2 ]}ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、1868年にダイナモの実験に関連してウィリアム・グローブ卿からこの現象について聞き、^{[ 9 ]}また、 1866年のヘンリー・ワイルドの以前の研究についても知っていました。マクスウェルは、 RLC回路が今日説明されるのとほぼ同じ用語で、一連の微分方程式を用いて共振を数学的に説明しました。^{[注3 ] [ 1 ] [ 10 ] [ 11 ]}

ハインリッヒ・ヘルツ（1887年）は、2つの共振回路を構築することで共振現象を実験的に実証しました^{[ 12 ]}。一方の回路は発電機によって駆動され、もう一方の回路は同調可能で、電磁的にのみ最初の回路に結合されています（つまり、回路接続はありません）。ヘルツは、2番目の回路の応答が最初の回路と同調しているときに最大になることを示しました。この論文でヘルツが作成した図は、電気共振応答の最初の公表された図でした。^{[ 1 ] [ 13 ]}

初期の多重化

1890年代までに、電気共振ははるかに広く理解されるようになり、エンジニアのツールキットの通常の一部となっていた。1891年、HutinとLeblancは共振回路フィルタを使用した電話回線用のFDM方式の特許を取得した。^{[ 16 ]} 1892年には、 Michael PupinとJohn Stone Stoneが同様のアイデアで競合特許を申請したが、最終的にPupinに優先権が与えられた。しかし、単純な共振回路フィルタのみを使用した方式では、許容できないほどの音声帯域幅の制限、または多重化の利点を非経済的にするほど広いチャネル間隔なしに、電話チャネルの広い帯域幅（電信とは対照的に）をうまく多重化（つまり結合）することはできない。^{[ 1 ] [ 17 ]}

この困難の基本的な技術的理由は、単純なフィルタの周波数応答が共振点から遠く離れると6 dB/オクターブの減衰に近づくことです。これは、電話回線が周波数スペクトルに並んで詰め込まれると、任意の回線で隣接回線からのクロストークが発生することを意味します。必要なのは、低Q共振回路のように必要な通過帯域で平坦な周波数応答を持ち、高Q共振回路のように通過帯域から阻止帯域への移行で応答が急速に低下する（6 dB/オクターブよりもはるかに速い）はるかに高度なフィルタです。^{[注5 ]}明らかに、これらは単一の共振回路で満たすには矛盾した要件です。これらのニーズに対する解決策は伝送線路の理論に根ざしており、したがって、この理論が完全に発展するまで必要なフィルタは利用できませんでした。この初期段階では、信号帯域幅の概念、したがってそれに適合するフィルタの必要性は十分に理解されていませんでした。実際、帯域幅の概念が完全に確立されたのは1920年になってからのことでした。^{[ 18 ]}初期のラジオでは、Q値、選択度、同調の概念で十分でした。これは、次のセクションで説明するように、イメージフィルタの基礎となる伝送線路の理論の発展とともにすべて変わりました。^{[ 1 ]} 

世紀の変わり目に電話回線が利用可能になると、アースリターンファントム回路を使用して電話回線に電信を追加することが普及しました。^{[注6 ]}電話回線で電信のクリック音が聞こえないようにするためにLCフィルタが必要でした。1920年代以降、音声周波数でのFDM電信には、電話回線、または専用の平衡回線が使用されました。英国で最初のこれらのシステムは、ロンドンとマンチェスター間のシーメンスとハルスケの設備でした。GECとAT &TもFDMシステムを持っていました。送信信号と受信信号には別々のペアが使用されました。シーメンスとGECのシステムは各方向に6チャンネルの電信があり、AT&Tのシステムは12チャンネルでした。これらのシステムはすべて、電子発振器を使用して各電信信号に異なるキャリアを生成し、受信側で多重化された信号を分離するためにバンドパスフィルタのバンクが必要でした。^{[ 19 ]}

伝送線路の最も初期のモデルは、おそらくゲオルク・オーム（1827年）によって記述されたもので、彼はワイヤの抵抗はその長さに比例することを確立した。^{[ 20 ] [注7 ]}オームモデルには抵抗のみが含まれていた。ラティマー・クラークは、信号がケーブルに沿って遅延し、引き伸ばされることに気付いた。これは、現在では分散と呼ばれるが、当時は遅延と呼ばれていた望ましくない歪みの一種であり、マイケル・ファラデー（1853年）は、これが伝送線路に存在する静電容量によるものであることを明らかにした。 ^{[ 21 ] [注8 ]}ケルビン卿（1854年）は、初期の大西洋横断ケーブルに関する研究で必要とされた正しい数学的記述を見つけ、金属棒に沿った熱パルスの伝導と同一の方程式に到達した。 ^{[ 22 ]}このモデルには抵抗と静電容量のみが含まれているが、静電容量効果が支配的な海底ケーブルではそれだけで十分だった。ケルビンのモデルはケーブルの電信信号速度の限界を予測したが、ケルビンはまだ帯域幅の概念を使用していなかった。限界は電信記号の分散によって完全に説明された。^{[ 1 ]}送電線の数学モデルはオリバー・ヘヴィサイドによって最も完成された。ヘヴィサイド（1881）は直列インダクタンスと並列コンダクタンスをモデルに導入し、合計4つの分布要素を作成した。このモデルは現在、電信方程式として知られており、分布要素のパラメータは一次線路定数と呼ばれている。^{[ 23 ]}

ヘヴィサイドの研究（1887年）から、電信線、特に電話線の性能は、線路にインダクタンスを追加することで改善できることが明らかになった。^{[ 24 ]} AT&Tのジョージ・キャンベルは、このアイデアを（1899年）線路に沿って一定間隔で負荷コイルを挿入することで実現した。 ^{[ 25 ]}キャンベルは、通過帯域における線路特性の望ましい改善に加えて、信号が大きな減衰なしに通過できない明確な周波数があることも発見した。これは、負荷コイルと線路容量がローパスフィルタを形成する結果であり、負荷コイルなどの集中定数部品を組み込んだ線路でのみ顕著になる効果である。このことから、キャンベル（1910年）はラダー型トポロジーのフィルタを作成した。このフィルタの回路図を一目見れば、負荷付き伝送線路との関係がわかる。^{[ 26 ]}カットオフ現象は、負荷線路に関しては望ましくない副作用ですが、電話の FDM フィルタではまさに必要なものです。この用途のために、キャンベルはインダクタとコンデンサをそれぞれ共振器と反共振器に置き換えることで、同じラダー トポロジーのバンドパス フィルタを作成しました。 ^{[注 9 ]}負荷線路と FDM の両方が AT&T にとって経済的に大きなメリットがあり、これがこの時点からフィルタリングの急速な発展につながりました。^{[ 27 ]}

^{キャンベル[注10 ]}が設計したフィルタは、一部の波を通過させ、他の波を強く阻止するという性質から、波フィルタと呼ばれた。これらのフィルタの設計方法はイメージパラメータ法^{[注11 ] [ 29 ] [ 30 ]}と呼ばれ、この方法で設計されたフィルタはイメージフィルタと呼ばれる^{[注12 ]} 。イメージ法は基本的に、同一のフィルタセクションの無限連鎖の透過定数を開発し、次に所望の有限個のフィルタセクションをイメージインピーダンスで終端することから構成される。これは、有限長の伝送線の特性が無限線路の理論的特性から導出される方法と正確に対応しており、イメージインピーダンスは線路の特性インピーダンスに対応する^{[ 31 ] 。}

1920 年以降、同じく AT&T に勤務していたジョン・カーソンは、本質的には周波数領域で動作するヘヴィサイドの演算計算を使用して信号を見る新しい方法を開発し始めました。これにより、AT&T のエンジニアはフィルターの動作方法について新しい洞察を得ることができ、オットー・ゾーベルは多くの改良された形式を発明しました。カーソンとゾーベルは、古い考え方の多くを着実に覆しました。たとえば、古い電信エンジニアは信号を単一の周波数と考えていましたが、この考え方はラジオの時代にも残り、1922 年のカーソンの論文が発表されるまで、周波数変調(FM) 送信はベースバンド信号よりも狭い帯域幅で実現できると信じている人もいました。 ^{[ 32 ]}もう一つの進歩は、ノイズの性質に関するものでした。カーソンとゾーベル（1923年）^{[ 33 ]}は、ノイズを連続帯域幅を持つランダム過程として扱い、これは当時としては非常に先見の明のある考え方でした。そのため、フィルタリングによって除去できるノイズの量は、通過帯域外のノイズスペクトルの部分に限定されました。これも当初は一般には受け入れられず、特にエドウィン・アームストロング（皮肉なことに、彼は実際に広帯域FMでノイズを低減することに成功しました）が反対し、最終的にハリー・ナイキストの研究によって解決されました。彼の熱雑音電力公式は今日ではよく知られています。^{[ 34 ]}

オットー・ゾーベルは、イメージフィルタとその動作原理にいくつかの改良を加えた。ゾーベルは、キャンベルのフィルタを後のタイプ、特にゾーベルのm派生フィルタ（またはmタイプフィルタ）と区別するために、定数kフィルタ（またはkタイプフィルタ）という用語を作り出した。ゾーベルがこれらの新しい形式で解決しようとした具体的な問題は、終端へのインピーダンス整合とロールオフの急峻さの改善であった。これらはフィルタ回路の複雑さが増すという代償を伴って達成された。^{[ 35 ] [ 36 ]}

画像フィルタを生成するためのより体系的な方法は、ヘンドリック・ボーデ（1930年）によって導入され、ピロティ（1937～1939年）やヴィルヘルム・カウアー（1934～1937年）を含む他の研究者によってさらに発展させられました。特定の回路の挙動（伝達関数、減衰関数、遅延関数など）を列挙するのではなく、画像インピーダンス自体に対する要件が開発されました。画像インピーダンスは、フィルタの開放回路インピーダンスと短絡回路インピーダンスを用いて次のように表すことができます。^{[注13 ]}${\displaystyle \scriptstyle Z_{i}={\sqrt {Z_{o}Z_{s}}}}$イメージ理論によれば、イメージインピーダンスは通過帯域では実数で、阻止帯域では虚数でなければならないため、Z _oとZ _sの極と零点が通過帯域で相殺され、阻止帯域で一致するという要件があります。フィルタの動作は、これらの極と零点のペアの複素平面上の位置によって完全に定義できます。必要な極と零点を持つ回路は、必要な応答も持ちます。Cauer はこの手法から生じる 2 つの関連する問題を追求しました。受動フィルタとして実現可能な極と零点の仕様は何か、そして実現が互いに等価であるのはどのようなものか。この研究の結果、Cauer は現在ネットワーク合成と呼ばれる新しいアプローチを開発しました。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

この極と零点によるフィルタ設計の考え方は、それぞれ異なる周波数で動作するフィルタ群がすべて同じ伝送線路に接続されている場合に特に有用でした。以前のアプローチではこの状況に適切に対処できませんでしたが、極と零点によるアプローチでは、結合フィルタのインピーダンスを一定に指定することでこの状況に対応できました。この問題は元々FDM電話に関連していましたが、現在ではスピーカーのクロスオーバーフィルタで頻繁に発生しています。^{[ 37 ]}

ネットワーク合成の本質は、必要なフィルタ応答から始めて、その応答を実現するか、指定された範囲内で近似するネットワークを生成することです。これは、与えられたネットワークから始めて、さまざまな電気回路の定理を適用してネットワークの応答を予測するネットワーク解析の逆です。 ^{[ 39 ]}この用語は、Yuk-Wing Lee (1930) の博士論文でこの意味で初めて使用され、 Vannevar Bushとの会話から生まれたようです。^{[ 40 ]}ネットワーク合成の従来の方法に対する利点は、設計仕様に正確に適合するソリューションを提供することです。これはイメージフィルタには当てはまりません。イメージフィルタは、非現実的なイメージインピーダンスで終端される場合にのみ設計仕様を満たすため、その設計にはある程度の経験が必要です。一方、ネットワーク合成は、設計中のネットワークに終端インピーダンスを組み込むだけで、終端インピーダンスを処理します。^{[ 41 ]}

ネットワーク合成が可能になる前に、ネットワーク解析の開発が必要でした。グスタフ・キルヒホフらの定理、チャールズ・スタインメッツ（フェーザ）とアーサー・ケネリー（複素インピーダンス）^{[ 42 ]}のアイデアが基礎を築きました。^{[ 43 ]}ポートの概念も理論の発展に貢献し、ネットワーク端子よりも有用なアイデアであることが証明されました。^{[注1 ] [ 36 ]}ネットワーク合成への道のりの最初のマイルストーンは、ロナルド・M・フォスター（1924）による重要な論文「リアクタンス定理」^{[ 44 ]}で、フォスターは駆動点インピーダンス、つまりジェネレータに接続されたインピーダンスの概念を導入しました。このインピーダンスの式はフィルタの応答を決定し、その逆もまた然りで、フィルタの実現はこの式を展開することによって得られます。任意のインピーダンス式をネットワークとして実現することはできません。フォスターのリアクタンス定理は、実現可能性の必要十分条件を規定している。すなわち、リアクタンスは周波数とともに代数的に増加し、極と零点が交互に現れる必要がある。^{[ 45 ] [ 46 ]}

ヴィルヘルム・カウアーはフォスター（1926） ^{[ 47 ]}の研究を発展させ、周波数関数が規定された1ポートインピーダンスの実現について初めて言及した。フォスターの研究はリアクタンス（つまりLC回路のみ）のみを対象としていた。カウアーはこれを任意の2要素1ポートネットワークに一般化し、両者の間に同型性があることを発見した。また、トーマス・スティルチェスの連分数展開を用いて、ネットワークのラダー実現^{[注14 ]}も発見した。この研究はネットワーク合成の基礎となったが、カウアーの研究は当初、エンジニアによってあまり利用されなかった。その理由の一つは第二次世界大戦の勃発、もう一つは次のセクションで説明する理由、そしてカウアーが相互結合インダクタと理想変圧器を必要とするトポロジーを用いて結果を発表したことである。設計者は可能な限り相互インダクタンスやトランスの複雑さを避ける傾向があるが、トランス結合二重同調増幅器は選択性を犠牲にすることなく帯域幅を広げる一般的な方法である。^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

優れたネットワーク合成技術が利用可能になった後も、画像フィルタは設計者によって長らく使用され続けました。その理由の一部は単なる慣性によるものかもしれませんが、主な理由はネットワーク合成フィルタに必要な計算量が多く、多くの場合、数学的な反復処理が必要だったためです。画像フィルタは、最も単純な形では、同一のセクションが繰り返される連鎖で構成されています。セクションを追加するだけで設計を改善でき、最初のセクションを作成するために必要な計算は「メモ書き」レベルのものです。一方、ネットワーク合成フィルタの場合、フィルタは全体として単一のエンティティとして設計され、セクションを追加する（つまり、次数を増やす）^{[注15 ]}には、設計者は最初に戻ってやり直すしかありません。合成設計の利点は確かにありますが、熟練した画像設計者が達成できるものと比較すると圧倒的なものではなく、多くの場合、時間のかかる計算を省略する方がコスト効率が高かったのです。^{[ 51 ]}これは現代のコンピューティング能力の利用可能性においては問題ではないが、1950年代には存在せず、1960年代と1970年代にはコストをかけてのみ利用可能であり、デスクトップパーソナルコンピュータの登場により1980年代になってようやくすべての設計者に広く利用可能になった。イメージフィルタはそれまで設計され続け、多くは21世紀まで使用され続けた。^{[ 52 ]}

ネットワーク合成法の計算上の難しさは、プロトタイプフィルタのコンポーネント値を表にまとめ、周波数インピーダンスをスケーリングして、実際に必要な帯域波形に変換することで対処されました。この種のアプローチ、または類似のアプローチは、例えばゾーベル^{[ 35 ]}によって画像フィルタですでに使用されていましたが、「参照フィルタ」の概念はシドニー・ダーリントン^{[ 53 ]}によるものです。ダーリントン（1939）^{[ 30 ]}は、ネットワーク合成プロトタイプフィルタの値を表にまとめた最初の人物でもありましたが^{[ 54 ]}、カウアー・ダーリントン楕円フィルタが初めて使用されるまでには1950年代まで待たなければなりませんでした^{[ 55 ] 。}

計算能力が容易に利用できるようになったことで、例えば時間遅延や部品変動に対する許容度など、任意のパラメータを最小化するフィルタを簡単に設計することが可能になった。イメージ法の難しさは完全に過去のものとなり、プロトタイプの必要性もほぼ不要になった。^{[ 56 ] [ 57 ]}さらに、アクティブフィルタの登場により、セクションを分離できるようになったため計算の難しさが軽減され、反復処理は一般的に不要になった。^{[ 51 ]}

実現可能性（つまり、どの関数が実際のインピーダンスネットワークとして実現可能か）と等価性（どのネットワークが等価的に同じ機能を持つか）は、ネットワーク合成における2つの重要な問題である。ラグランジュ力学との類推に従って、カウアーは行列方程式を作成した。

${\displaystyle \mathbf {[A]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} =s\mathbf {[Z]} }$

ここで、[ Z ]、[ R ]、[ L ]、[ D ] はそれぞれnメッシュネットワークのインピーダンス、抵抗、インダクタンス、エラスタンスを表すn x n行列であり、 sは複素周波数演算子である。${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$ここで、[ R ]、[ L ]、および[ D ]は、それぞれ機械システムにおける運動エネルギー、位置エネルギー、および散逸熱エネルギーに対応する関連エネルギーを持ち、力学から既に知られている結果をここに適用することができます。カウアーは、ラグランジュ乗数法によって駆動点インピーダンスを決定しました。

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}$

ここで、a ₁₁は、 1 ポートが接続される要素A ₁₁の補数です。安定性理論から、カウアーは、理想変圧器が除外されない限り、 Z _p ( s )が実現可能となるためには [ R ]、[ L ]、および [ D ] がすべて正定値行列でなければならないことを発見しました。実現可能性は、それ以外ではトポロジーの実際的な制限によってのみ制限されます。^{[ 39 ]}この研究は、カウアーがドイツに戻る前に米国でカウアーと共同研究を行ったオットー・ブルーン(1931) にも一部起因しています。 ^{[ 49 ]}カウアー (1929) による1 ポート有理^{[注 16 ]}インピーダンスの実現可能性に関するよく知られた条件は、右半平面 (σ>0) で解析的であり、右半平面で正の実部を持ち、実軸上で実数値をとるsの関数でなければならないことです。これは、これらの関数のポアソン積分表現から導かれます。ブルーンはこの種の関数に対して「正実」という用語を作り出し、それが必要かつ十分な条件であることを証明しました（カウアーは必要条件であることしか証明していませんでした）。そして彼らはその研究をLCマルチポートに拡張しました。シドニー・ダーリントンによる定理によれば、任意の正実関数Z ( s )は、正の抵抗Rで終端された損失のない2ポートとして実現できます。指定された応答を実現するために、ネットワーク内に抵抗は必要ありません。^{[ 49 ] [ 58 ] [ 59 ]}

同値性に関しては、カウアーは実アフィン変換の群が、

${\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }$

どこ、

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

Z _p ( s )は不変であり、つまり、変換されたネットワークはすべて元のネットワークと等価である。^{[ 39 ]}

ネットワーク合成における近似問題は、任意に設定された制限内で、所定の周波数関数に近似する実現可能なネットワークを生成する関数を見つけることです。近似問題は、必要な理想的な周波数関数が通常、有理ネットワークでは実現できないため、重要な問題です。たとえば、理想的な所定の関数は、通過帯域での実現不可能な損失のない伝送、阻止帯域での無限の減衰、および両者間の垂直遷移であることが多いです。しかし、理想的な関数は有理関数で近似することができ、多項式の次数が高くなるほど理想に近づきます。この問題に最初に取り組んだのは、スティーブン・バターワース(1930)で、バターワース多項式を使用しました。独立して、カウアー (1931) はチェビシェフ多項式を使用しましたが、これは当初はイメージフィルタに適用され、現在よく知られているこのフィルタのラダー実現には適用されませんでした。^{[ 49 ] [ 60 ]}

低周波域ではLCフィルタは扱いにくくなります。部品、特にインダクタは高価で、かさばり、重く、理想的ではありません。実用的な1H インダクタは、高透磁率コアに多数の巻線を必要としますが、その材料は損失が大きく、安定性の問題（例えば、大きな温度係数）を抱えています。電源フィルタなどの用途では、この扱いにくさは許容しなければなりません。低レベル、低周波の用途ではRCフィルタも可能ですが、複雑な極や零点を持つフィルタを実現することはできません。用途で電力を使用できる場合は、アンプを使用して複雑な極や零点を持つRCアクティブフィルタを作成できます。1950年代には、真空管アンプを使用したサレン・キーアクティブRCフィルタが作られました。これらのフィルタは、かさばるインダクタを、かさばって熱を発する真空管に置き換えました。トランジスタは、より電力効率の高いアクティブフィルタ設計を提供しました。その後、安価なオペアンプによって、他のアクティブRCフィルタ設計トポロジーが可能になりました。アクティブフィルタ設計は低周波数では一般的であったが、増幅器の性能が理想的でない高周波数では実用的ではなかった。そのため、無線周波数では依然としてLCフィルタ（および伝送線路フィルタ）が使用されていた。

徐々に、低周波アクティブRCフィルタは、連続時間領域ではなく離散時間領域で動作するスイッチドキャパシタフィルタに取って代わられました。これらのフィルタ技術はすべて、高性能フィルタリングのために高精度部品を必要とし、そのためにはフィルタの調整が必要になることがよくあります。調整可能な部品は高価であり、調整を行うための労力も相当なものになる可能性があります。7次楕円フィルタの極と零点を調整するのは簡単な作業ではありません。集積回路によってデジタル演算が安価になったため、現在では低周波フィルタリングはデジタル信号プロセッサで行われています。このようなデジタルフィルタは、超高精度（かつ安定）な値を実装することに問題がないため、調整や調整は不要です。デジタルフィルタは、浮遊結合経路や個々のフィルタセクション間のシールドについても心配する必要がありません。欠点の1つは、デジタル信号処理が同等のLCフィルタよりもはるかに多くの電力を消費する可能性があることです。安価なデジタル技術は、フィルタのアナログ実装をほぼ完全に置き換えました。しかし、周波数の高度な機能を必要としない結合などのより単純なアプリケーションでは、それらが時折使用されることがあります。^{[ 76 ] [ 77 ]}受動フィルタは、マイクロ波周波数では依然として選択される技術です。^{[ 78 ]}

• オーディオフィルター
• 合成画像フィルター
• デジタルフィルター
• 電子フィルター
• 線形フィルタ
• ネットワーク合成フィルタ

• Belevitch, V. (1962). 「回路理論の歴史の概要」. Proceedings of the IRE . 50 (5): 848–855 . Bibcode : 1962PIRE...50..848B . doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 .
• ブランチャード、ジュリアン（1941 ）。「電気共振の歴史」。ベルシステム技術ジャーナル。20 （ 4）：415–433。Bibcode：1941BSTJ...20..415B。doi：10.1002 / j.1538-7305.1941.tb03608.x 。
• Cauer, E; Mathis, W; Pauli, R、「ヴィルヘルム・カウアーの生涯と業績（1900–1945）」、第14回ネットワークとシステムの数学理論に関する国際シンポジウム（MTNS2000）議事録、ペルピニャン、2000年6月。
• Darlington, S. (1984). "抵抗器、インダクタ、コンデンサで構成される回路のネットワーク合成とフィルタ理論の歴史". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 31 (1): 3–13 . Bibcode : 1984ITCS...31....3D . doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .
• Fagen, MD; Millman, S、『ベルシステムの工学と科学の歴史：第5巻：通信科学（1925～1980年）』、AT&Tベル研究所、1984年ISBN 0932764061。
• ゴッドフリー、チャールズ（1898）。「XXXIX.周期的に負荷のかかった弦に沿った波動運動の伝播に関連する不連続性について」。ロンドン、エジンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル。45 （ 275）：356–363。doi：10.1080 /14786449808621143。
• ハント、ブルース・J. (1994).マクスウェル主義者たち. コーネル大学出版局. ISBN 978-0-8014-8234-2。
• ルンドハイム、ラース（2002）。「シャノンとシャノンの公式について」。テレクトロニクス。98 （1）：20-29。
• Mason, WP (1941). "電気的および機械的類似性". Bell System Technical Journal . 20 (4): 405–414 . Bibcode : 1941BSTJ...20..405M . doi : 10.1002/j.1538-7305.1941.tb03607.x .
• Matthaei、Young、Jones、「マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造」、McGraw-Hill、1964年。

• Fry, TC (1929). 「電気回路の設計における連分数の使用」 .アメリカ数学会報. 35 (4): 463– 498. doi : 10.1090/S0002-9904-1929-04747-5 .