LC回路

LC回路は、共振回路、タンク回路、または同調回路とも呼ばれ、文字 L で表されるインダクタと文字 C で表されるコンデンサが接続された電気回路です。この回路は、音叉の電気的類似物である電気共振器として機能し、回路の共振周波数で振動するエネルギーを蓄えます。

• 
  LC回路図
• 
  電波時計の受信機の同調回路として使用されるフェライトコイルとコンデンサからなるLC回路（左）
• 
  短波 ラジオ送信機の出力同調回路

LC 回路は、特定の周波数の信号を生成するため、またはより複雑な信号から特定の周波数の信号を取り出すために使用されます。この機能はバンドパス フィルタと呼ばれます。これらは、発振器、フィルタ、チューナー、周波数ミキサーなどの回路で使用される多くの電子機器、特に無線機器の重要なコンポーネントです。

LC 回路は、抵抗によるエネルギーの散逸がないと仮定しているため、理想的なモデルです。LC 回路を実際に実装すると、部品や接続ワイヤ内の小さいながらもゼロではない抵抗によって生じる損失が必ず含まれます。LC 回路の目的は通常、最小限の減衰で振動することであるため、抵抗は可能な限り低くします。実際の回路には損失がないものはありませんが、この理想的な回路形式を研究して理解を深め、物理的な直感を得ることは有益です。抵抗を組み込んだ回路モデルについては、RLC 回路を参照してください。

上で説明した2要素LC回路は、インダクタ-コンデンサネットワーク（またはLCネットワーク）の最も単純なタイプです。これは、より多くのインダクタとコンデンサを備えたより複雑な（高次）LCネットワークと区別するために、2次LC回路^{[1] [2]}とも呼ばれます。2つ以上のリアクタンスを持つこのようなLCネットワークは、複数の共振周波数を持つ場合があります。

ネットワークの次数は、複素周波数変数sでネットワークを記述する有理関数の次数です。通常、次数は回路内の L 要素と C 要素の数に等しく、いかなる場合でもこの数を超えることはできません。

LC 回路は、その固有の共振周波数で振動し、電気エネルギーを蓄えることができます。アニメーションをご覧ください。コンデンサは、両端の電圧に応じてプレート間の電界( E ) にエネルギーを蓄え、インダクタは、流れる 電流に応じて磁界( B )にエネルギーを蓄えます。

充電されたコンデンサにインダクタを接続すると、コンデンサの両端の電圧によってインダクタに電流が流れ、インダクタの周囲に磁場が形成されます。電流によって電荷が消費されると、コンデンサの両端の電圧はゼロに低下します。この時点で、インダクタは電流の変化に抵抗するため、コイルの磁場に蓄えられたエネルギーによってコイルに電圧が発生します。この誘導電圧によって電流が流れ、元の電荷とは逆極性の電圧でコンデンサが再充電されます。ファラデーの法則により、電流を駆動する起電力は磁場の減少によって発生するため、コンデンサを充電するために必要なエネルギーは磁場から抽出されます。磁場が完全に消散すると電流は止まり、電荷は以前と逆極性で再びコンデンサに蓄えられます。その後、サイクルが再び始まり、電流はインダクタを逆方向に流れます。

電荷はインダクタを通ってコンデンサのプレート間を行き来します。エネルギーはコンデンサとインダクタの間を行き来して振動しますが、外部回路から補充されなければ内部抵抗によって振動が止まります。数学的には調和振動子と呼ばれる同調回路の動作は、振り子が前後に揺れたり、水がタンク内で前後に跳ねたりするのと似ています。このため、この回路はタンク回路とも呼ばれます。^[3]固有周波数（つまり、上記のように他のシステムから分離された場合に振動する周波数）は、静電容量とインダクタンスの値によって決まります。ほとんどのアプリケーションでは、同調回路はより大きな回路の一部であり、その回路から交流が印加されて連続振動が駆動されます。印加電流の周波数が回路の固有共振周波数（以下の固有周波数 ）である場合、共振が発生し、小さな駆動電流で大きな振幅の振動電圧と電流を励起できます。電子機器の典型的な同調回路では、振動は毎秒数千回から数十億回と非常に高速です。^[要出典]${\displaystyle f_{0}\,}$

共振は、LC回路が外部電源から誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスの大きさが等しい角周波数ω ₀で駆動されたときに発生します。特定の回路でこの等式が成立する周波数を共振周波数と呼びます。LC回路の 共振周波数は

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

ここで、Lはヘンリー単位のインダクタンス、C はファラッド単位の静電容量です。角周波数ω ₀の単位はラジアン/秒です。

等価周波数はヘルツ単位で表すと

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

LC 回路の共振効果は、信号処理や通信システムにおいて多くの重要な用途があります。

• タンク回路の最も一般的な用途は、無線送信機と受信機のチューニングです。たとえば、ラジオを特定の放送局にチューニングする場合、LC 回路はその特定の搬送周波数の共振に設定されます。
• 直列共振回路は電圧増幅を提供します。
• 並列共振回路は電流増幅を提供します。
• 並列共振回路は、RF アンプの出力回路の負荷インピーダンスとして使用できます。インピーダンスが高いため、共振周波数でアンプのゲインが最大になります。
• 誘導加熱では並列共振回路と直列共振回路の両方が使用されます。

LC 回路は電子共振器として動作し、多くのアプリケーションで重要なコンポーネントとなります。

• アンプ
• 発振器
• フィルター
• チューナー
• ミキサー
• フォスター・シーリー判別器
• 非接触型カード
• グラフィックタブレット
• 電子物品監視（セキュリティタグ）

キルヒホッフの電圧法則によれば、コンデンサの両端の電圧V _Cとインダクタの両端の 電圧V _{L の合計はゼロに等しくなければなりません。}

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

同様に、キルヒホッフの電流法則により、コンデンサを流れる電流はインダクタを流れる電流に等しくなります。

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

回路要素の構成関係から、次のことも分かります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}( t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

整理して代入すると、2階微分方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

共振角周波数ω 0_は次のように定義される。

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

これを使用すると、微分方程式を簡略化できます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

関連するラプラス変換は

${\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

したがって

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

ここでjは虚数単位です。

したがって、微分方程式の完全な解は

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

初期条件を考慮することで、 AとBについて解くことができます。指数は複素数なので、解は正弦波の交流電流を表します。電流Iは物理量なので、実数値でなければなりません。結果として、定数AとB は複素共役でなければならないことが示されます。

${\displaystyle A=B^{*}.}$

さて

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

したがって、

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

次に、オイラーの公式を使用して、振幅I ₀、角周波数ω ₀ = ⁠の実正弦波を得ることができます。 1/√LC​⁠、位相角 。 ${\displaystyle \phi}$

したがって、結果として得られる解決策は

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\オメガ _{0}t+\phi \right).}$

この結果を満たす初期条件は

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

LC 回路の直列構成では、ここに示すように、インダクタ (L) とコンデンサ (C) が直列に接続されます。開放端子間の合計電圧V は、インダクタの電圧とコンデンサの電圧の合計です。回路の正極端子に流れる電流Iは、コンデンサとインダクタの両方を流れる電流に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

誘導性リアクタンスは 周波数が増加すると増加しますが、容量性リアクタンスは周波数の増加とともに減少します (ここでは正の数として定義されます)。特定の周波数では、これら 2 つのリアクタンスは等しく、それらの間の電圧は等しく、符号が反対です。その周波数は、特定の回路の 共振周波数f _{0と呼ばれます。}${\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ }$ ${\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }$  

したがって、共鳴時に、

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}}$

ωについて解くと、

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

これは回路の共振角周波数として定義されます。角周波数（ラジアン/秒）を周波数（ヘルツ）に変換すると、

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

そして

${\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}}$

で。 ${\displaystyle \omega _{0}}$

直列構成では、X _CとX _{L は}互いに打ち消し合います。理想化されたコンポーネントではなく実際のコンポーネントでは、主にコイル巻線の抵抗によって電流が反対方向に流れます。したがって、直列共振回路に供給される電流は共振時に最大になります。

• f → f ₀の極限では電流は最大となり、回路インピーダンスは最小となる。この状態では、回路はアクセプタ回路と呼ばれる^[4]  
• f   <   f ₀の場合    、   X _L ≪ X _C なので、回路は容量性です。
• f   >   f ₀の場合    、   X _L ≫ X _C なので、回路は誘導性です。

直列構成では、回路の複素電気インピーダンスがゼロに近づくと共振が発生します。

まず直列 LC 回路の インピーダンスを考えます。総インピーダンスは誘導性インピーダンスと容量性インピーダンスの合計で表されます。

${\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.}$

誘導性インピーダンスを Z _L = jωL 、容量性インピーダンスを Z _C = ⁠と書きます。1/ jωC ⁠ そして代入すると

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.}$

この式を共通分母で書くと、

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.}$

最後に、固有角周波数を次のように定義します。

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

インピーダンスは

${\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,}$

ここで、共振時のインダクタのリアクタンスを表します。 ${\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}$

分子は、 ω → ± ω ₀の限界では、合計インピーダンス Z がゼロになり、それ以外の場合はゼロではないことを意味します。したがって、直列 LC 回路は、負荷と直列に接続されると、 LC 回路の共振周波数でインピーダンスがゼロになる バンドパス フィルタとして機能します。  

インダクタ (L) とコンデンサ (C) がここに示すように並列に接続されている場合、開放端子間の電圧V は、インダクタの両端の電圧とコンデンサの両端の電圧の両方に等しくなります。回路の正端子に流入する合計電流I は、インダクタを流れる電流とコンデンサを流れる電流の合計に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

X _{L が}X _Cに等しい場合、2 つの分岐電流は等しく、反対方向になります。これらは互いに打ち消し合って、主線に最小の電流を与えます (原則として、有限の電圧Vの場合、電流はゼロです)。主線の合計電流は最小であるため、この状態では合計インピーダンスは最大になります。コンデンサとインダクタによって形成されるループには、より大きな電流が循環しています。有限の電圧Vの場合、この循環電流は有限であり、値はコンデンサとインダクタのそれぞれの電圧と電流の関係によって決まります。ただし、主線の合計電流I が有限の場合、原則として循環電流は無限大になります。実際には、この場合の循環電流は回路の抵抗、特にインダクタの巻線の抵抗によって制限されます。

共振周波数は次のように表される。

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.}$

どの分岐電流も共振時に最小にはなりませんが、それぞれは電源電圧 ( V ) をリアクタンス ( Z ) で割ることで個別に与えられます。したがって、   I = ⁠ 五 /ず⁠ 、オームの法則 に従って。

• f ₀では   、線路電流は最小です。総インピーダンスは最大です。この状態の回路はリジェクタ回路と呼ばれます。^[5]
• f ₀未満では   回路は誘導性になります。
• f _{0 を}超えると   、回路は容量性になります。

同じ解析を並列LC回路に適用すると、総インピーダンスは次のように表される。

${\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,}$

そして、 Z _L = j ω LおよびZ _C = ⁠ を代入すると、1/ jωC ⁠そして簡素化により、

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.}$

使用

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

さらに単純化すると

${\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.}$

ご了承ください

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,}$

しかし、 ωの他のすべての値ではインピーダンスは有限です。

したがって、負荷と直列に接続された並列 LC 回路は、 LC 回路の共振周波数で無限のインピーダンスを持つバンドストップ フィルタとして機能しますが、負荷と並列に接続された並列 LC 回路はバンドパス フィルタとして機能します。

LC 回路はラプラス変換を使用して解くことができます。

まず、通常の方法でコンデンサとインダクタの電流と電圧の関係を定義します。

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$ ${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$そして${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

そして、キルヒホッフの法則を適用することで、システムを支配する微分方程式に到達する。

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

初期条件と${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

以下のように定義すると、

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$そして${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

与える

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

ここでラプラス変換を適用します。

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

ラプラス変換により、微分方程式が代数方程式に変換されます。s 領域 (周波数領域) で V を解くのははるかに簡単です。

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

これは逆ラプラス変換によって時間領域に戻すことができます。

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

2 番目の加数には、同等の分数が必要です。 ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

2 番目の加数には、同等の分数が必要です。 ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

最後の項は入力電圧の正確な形に依存します。一般的な2つのケースはヘビサイドステップ関数と正弦波です。ヘビサイドステップ関数の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

正弦関数を入力とした場合、次のようになります。

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

ここで、は適用された関数の振幅と周波数です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \omega _{f}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

部分分数法を使用する:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

双方の簡素化

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+\ C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

A、B、C について方程式を解きます。

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

A、B、Cの値を代入します。

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

定数を分離し、同等の分数を使用して分子の不足を調整します。

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

各加数に対して逆ラプラス変換を実行します。

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

ラプラス解における初期条件の使用:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

コンデンサとインダクタが電気振動を生成できるという最初の証拠は、1826年にフランスの科学者フェリックス・サヴァリによって発見されました。^{[6] [7]}彼は、ライデン瓶が鉄の針に巻かれた電線を通して放電されると、針が一方向に磁化され、反対方向に磁化されることがあることを発見しました。彼は、これが電線内の減衰振動放電電流によって引き起こされ、針の磁化が前後に反転し、影響が出ないほど小さくなり、針がランダムな方向に磁化されたままになることを正しく推測しました。アメリカの物理学者ジョセフ・ヘンリーは1842年にサヴァリの実験を繰り返し、明らかに独立して同じ結論に達しました。^{[8] [9]}

アイルランドの科学者ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は1853年に、インダクタンスを通るライデン瓶の放電は振動するはずであることを数学的に示し、その共振周波数を導出した。^{[6] [8] [ 9]}英国の無線研究者オリバー・ロッジは、ライデン瓶の大きな電池を長い電線を通して放電させることで、可聴範囲の共振周波数を持つ同調回路を作り出し、放電時に火花から楽音を生成した。^[8] 1857年、ドイツの物理学者ベレント・ヴィルヘルム・フェダーセンは、回転鏡の中で共振ライデン瓶回路によって生成された火花を写真に撮り、振動の目に見える証拠を示した。^{[6] [8] [9]} 1868年、スコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、インダクタンスと静電容量を持つ回路に交流電流を流した効果を計算し、共振周波数で応答が最大になることを示した。^[6]電気共振曲線の最初の例は、1887年にドイツの物理学者ハインリッヒ・ヘルツが電波の発見に関する先駆的な論文の中で発表したもので、スパークギャップLC共振器検出器から得られるスパークの長さを周波数の関数として示したものです。^[6]

同調回路間の共鳴の最初のデモンストレーションの 1 つは、1889 年頃のロッジの「シントニック ジャー」実験でした。^{[6] [8]}彼は、スパーク ギャップ付きの調整可能な 1 ターン コイルに接続されたライデン ジャーで構成される 2 つの共鳴回路を隣り合わせに配置しました。誘導コイルからの高電圧が一方の同調回路に適用され、スパークが発生して電流が振動すると、もう一方の同調回路では、回路が共鳴するように調整されたときにのみスパークが励起されました。ロッジと一部の英国の科学者はこの効果を「シントニー」という用語で表現することを好みましたが、最終的には「共鳴」という用語が定着しました。 ^[6] LC 回路の最初の実用的使用は、1890 年代にスパーク ギャップ無線送信機で受信機と送信機を同じ周波数に同調できるようにしたことでした。同調を可能にする無線システムの最初の特許は、1897 年にロッジによって申請されましたが、最初の実用的なシステムは、1900 年にイタリアの無線のパイオニアであるグリエルモ マルコーニによって発明されました。^[6]

• RL回路
• RC回路
• RLC回路

• トニー・クファルトによる電気振り子は、LCタンクの動作に関する古典的な物語です。
• 並列 LC 回路がどのようにエネルギーを蓄えるかは、もう 1 つの優れた LC リソースです。