編み込みモノイドカテゴリ

数学において、モノイドカテゴリ の可換性制約は、「自然なファミリー」を形成するオブジェクト AとBの各ペアに対する同型性の選択です。特に、可換性制約を持つためには、すべてのオブジェクトのペアに対してがなければなりません。 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

編み込みモノイド圏は、編み込み、つまり、以下に定義される六角形恒等式を含む公理を満たす可換制約を備えたモノイド圏です。編み込みという用語は、編み込み群が編み込みモノイド圏の理論で重要な役割を果たすという事実を参照しています。この理由の一部により、編み込みモノイド圏と他のトピックは、結び目不変量の理論で関連しています。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \gamma}$

あるいは、編組モノイドカテゴリは、1 つの 0 セルと 1 つの 1 セルを持つ 3 カテゴリとして見ることができます。

編組モノイド圏は、アンドレ・ジョヤルとロス・ストリートによって1986年のプレプリントで導入されました。^[1] この論文の修正版は1993年に出版されました。^[2]

を編組モノイドカテゴリと呼ぶには、可換制約に加えて、次の六角形図がすべてのオブジェクト に対して可換でなければなりません。上のモノイド構造から生じる結合同型性は次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

自然同型性と、カテゴリ 上のモノイド構造から生じる写像は、構造写像のさまざまな合成が等しいことを示すさまざまな一貫性条件 を満たすことが示されます。特に、 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 編組は単位と交換可能です。つまり、次の図は交換可能です。

• の作用は、組紐群を介した - 倍テンソル積因子である。特に、${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

マップとして。ここでは、関連付けマップを省略しています。 ${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

編み込みモノイド圏には、さまざまな文脈で使用されるいくつかのバリエーションがあります。たとえば、対称および共境界モノイド圏の説明については、Savage (2009) の解説論文を参照してください。リボン圏については、Chari と Pressley (1995) の書籍を参照してください。

編み込みモノイドカテゴリは、と のすべてのオブジェクトペアに対しても満たされる場合、対称的と呼ばれます。この場合、 の- 倍テンソル積への作用は、対称群によって因数分解されます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle N}$

編み込みモノイドカテゴリは、それが剛体である場合にリボンカテゴリであり、量子トレースとコ量子トレースを保存できます。リボンカテゴリは、結び目不変量を構築するときに特に役立ちます。

共境界または「サボテン」モノイドカテゴリは、次の特性を持つ 自然同型族を伴うモノイドカテゴリです。${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$すべてのオブジェクトとペアに対して。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

最初の性質は、 であることを示しており、これにより、編組モノイドカテゴリの 2 番目の定義図への類似を省略し、暗示されるように結合子マップを無視することができます。 ${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

• 群(またはリー代数) の表現のカテゴリは、 となる対称モノイド カテゴリです。${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• 量子化された普遍包絡代数 の表現のカテゴリは、普遍R行列を使用して構築される編組モノイドカテゴリです。実際、この例はリボンカテゴリでもあります。${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \gamma}$

• 結び目不変量。
• 対称閉モノイドカテゴリは、線型論理と線型の表示モデルで使用されます。
• 位相的に秩序立った量子システムの説明と分類。

• Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew. 「量子群ガイド」 ケンブリッジ大学出版局。1995 年。
• サベージ、アリスター。編組モノイド圏と共境界モノイド圏。代数、表現、応用、229-251、現代数学、483、アメリカ数学協会、プロビデンス、ロードアイランド、2009年。arXivで入手可能。

• nラボの編組モノイドカテゴリ
• John Baez (1999)、「編組モノイドカテゴリの紹介」、This week's finds in mathematical physics 137。