正式な配布

数学において、形式的分布は形式変数のべき乗の無限和であり、通常は形式的分布の理論で表されます。これらの無限和の係数は、ベクトル空間や環など、さまざまな数学的構造にすることができますが、応用においては、ほとんどの場合、体 上の代数内の値を取ります。これらの無限和は、正と負のべき乗を無限に持つことが許されており、収束する必要はないため、形式的変数の関数を定義しません。むしろ、これらは分布、つまり、適切なテスト関数の空間 上の線型関数として解釈されます。これらは形式ローラン級数と密接に関連していますが、負のべき乗を有限個持つ必要はありません。特に、これは、係数が環値であっても、2 つの形式的分布を乗算することが必ずしも可能ではないことを意味します。 ${\displaystyle z}$

頂点作用素代数の研究において重要である。なぜなら、理論で中心的な役割を果たす頂点作用素は、自己準同値形式的超関数の空間で値を取るからである。^[1]

を 上の代数とします。これは頂点代数への応用の場合と同じです。変数の 値形式的分布は、 各 を持つ任意の級数です 。これらの級数はベクトル空間を形成し、 と表記されます。^[2]形式的分布の空間ではいくつかの要素のペアを乗算することは可能ですが、一般に空間全体に積は存在しません。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}$$${\displaystyle A(z_{1},\cdots ,z_{n})=\sum _{i_{1}\in \mathbb {Z} }\cdots \sum _{i_{n}\in \mathbb {Z} }A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}z_{1}^{i_{1}}\cdots z_{n}^{i_{n}},}$$${\displaystyle A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in R}$${\displaystyle R[[z_{1},z_{1}^{-1},\cdots ,z_{n},z_{n}^{-1}]]}$

実際には、考慮される変数の数は 1 つまたは 2 つだけであることがよくあります。

2 つの形式分布の変数が互いに素である場合、積は明確に定義されます。

形式分布とローラン多項式の積も明確に定義されています。

このセクションでは、 を検討します。 ${\displaystyle R[[z,z^{-1}]]}$

形式的留数は線型写像 で、 によって与えられ ます。 の形式的留数はまたは と書くこともできます。これは複素解析の留数にちなんで名付けられ、 が複素平面上のゼロ近傍上の有理型関数である場合、2 つの概念は一致します。 ${\displaystyle \operatorname {Res} :R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R}$$${\displaystyle \operatorname {Res} f(z)=\operatorname {Res} \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}z^{n}=f_{-1}.}$$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z}f(z),\operatorname {Res} _{z=0}f(z)}$${\displaystyle \operatorname {Res} f(z)dz}$${\displaystyle f(z)}$

形式的な微分は線型写像 です。要素 の場合、その作用は を線型に拡張して空間全体への写像を与えること で与えられます 。${\displaystyle \partial _{z}:R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R[[z,z^{-1}]]}$${\displaystyle az^{n}}$$${\displaystyle az^{n}\mapsto \partial _{z}az^{n}=naz^{n-1},}$$

特に、正式な配布の場合、 ${\displaystyle f(z)}$$${\displaystyle \operatorname {Res} \partial _{z}f(z)=0}$$

これが、なぜこれらが分布と呼ばれるのかの理由です。「テスト関数」の空間をローラン多項式の空間と見なすと、任意の形式分布はテスト関数上の線形関数を定義します。がローラン多項式である場合、形式分布は次のように線形関数を定義します 。${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} [z,z^{-1}]}$${\displaystyle f\in \mathbb {C} [[z,z^{-1}]]}$$${\displaystyle \varphi \mapsto \langle f,\varphi \rangle :=\operatorname {Res} f(z)\varphi (z).}$$

このセクションでは、 を検討します。 ${\displaystyle R[[z,z^{-1},w,w^{-1}]]}$

最も重要な分布の 1 つはデルタ関数であり、実際には 2 つの変数の正式な分布として実現できます。

これは定義されて おり、任意の形式的な分布に対して を満たします 。ここで、の添え字は、どの変数から剰余を読み取るかを識別するために必要です。 $${\displaystyle \delta (z-w):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{-n-1}w^{n}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n},}$$ ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \langle \delta (z-w),f(z)\rangle =\operatorname {Res} _{z}\delta (z-w)f(z)=f(w),}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z}}$

2 変数の形式的な分布に関して重要な点は、分布の空間では単純には消えるが実際にはゼロではない表現が存在することです。

2 つの複素変数の関数として表現された式 を考えてみましょう。 のとき、これは級数展開 を持ちますが、 のときは、これは級数展開 を持ちます。 ${\displaystyle (z-w)^{-1}}$${\displaystyle |z|>|w|}$${\displaystyle (z-w)_{+}^{-1}:=-{\frac {1}{z}}\sum _{n>0}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}}$${\displaystyle |z|<|w|}$${\displaystyle (z-w)_{+}^{-1}:={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}}$

それから $${\displaystyle 0=(z-w)^{-1}-(z-w)^{-1}{\overset {?}{=}}(z-w)_{+}^{-1}-(z-w)_{-}^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}=\delta (z-w).}$$

したがって、等式は成立しません。

• 形式冪級数
• 頂点作用素代数