ウェス・ズミノ・ウィッテンモデル

理論物理学と数学において、ウェス・ズミノ・ウィッテン( WZW )モデルはウェス・ズミノ・ノビコフ・ウィッテン モデルとも呼ばれ、ジュリアス・ウェス、ブルーノ・ズミノ、セルゲイ・ノビコフ、エドワード・ウィッテンにちなんで名付けられた2 次元共形場理論の一種です。^{[1] [2] [3] [4]} WZW モデルはリー群(または超群) に関連付けられており、その対称代数は対応するリー代数(またはリー超代数)から構築されたアフィン リー代数です。拡張により、対称代数がアフィン リー代数である共形場理論に対して WZW モデルという名前が使用されることがあります。^[5]

リーマン面、リー群、および（一般に複素数の）数に対して、レベル 上の-WZW モデルを定義します。このモデルは、その作用がフィールドの関数である非線形シグマ モデルです。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{\Sigma }d^{2}x\,{\mathcal {K}}\left( \gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma \right)+2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).}$

ここで、は平坦なユークリッド計量を備え、は偏微分、は のリー代数上のキリング形式である。作用の ウェス・ズーミノ項は${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \partial _{\mu}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma ,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).}$

ここで は完全に反対称なテンソルであり、 はリー括弧です。ウェス・ズーミノ項は、を境界とする3 次元多様体上の積分です。 ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$${\displaystyle [.,.]}$${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$${\displaystyle \partial \mathbf {B} ^{3}=\Sigma }$

ウェス・ズーミノ項が意味を成すためには、体がへの拡張を持つ必要があります。これにはホモトピー群が自明であることが必要であり、これは特に任意のコンパクトリー群 の場合に当てはまります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{2}(G)}$${\displaystyle G}$

与えられたの への拡張は、一般に一意ではありません。WZW モデルが適切に定義されるためには、 が拡張の選択に依存してはなりません。Wess-Zumino 項は の小さな変形に対して不変であり、そのホモトピー類のみに依存します。可能なホモトピー類はホモトピー群 によって制御されます。 ${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \pi _{3}(G)}$

任意のコンパクトで連結な単純リー群 に対して、 が成り立ち、 の異なる拡張は整数だけ異なるの値をもたらす。したがって、レベルが に従う限り、 は同じ値となる。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

レベルの整数値は、モデルの対称代数であるアフィン リー代数の表現理論でも重要な役割を果たします。レベルが正の整数の場合、アフィン リー代数は、優勢な積分である最高重みを持つユニタリ最高重み表現を持ちます。このような表現は、各単純根、対応する負の根、およびそれらの交換子 (カルタン生成子)によって張られる部分代数に関して、有限次元の部分表現に分解されます。

非コンパクトな単純リー群の場合、ホモトピー群は自明であり、レベルは整数に制限されない。^[6]${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} ))}$

e _{a が}リー代数の基底ベクトルである場合、 はリー代数の構造定数です。構造定数は完全に反対称であるため、Gの群多様体上の3形式を定義します。したがって、上記の積分関数は、調和3形式を球に引き戻すだけです。調和3形式をcで表し、引き戻しを1 で表す と、${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}.}$${\displaystyle \gamma ^{*},}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B} ^{3}}\gamma ^{*}c.}$

この形式は、WZ 項のトポロジカル解析に直接つながります。

幾何学的には、この用語はそれぞれの多様体のねじれを表します。 ^[7]このねじれの存在は多様体の遠隔平行性を強制し、ねじれ曲率テンソルの自明化を引き起こします。そして、それによってくりこみ群の赤外線固定点であるくりこみフローが停止します。この現象はジオメトロスタシスと呼ばれます。

ウェス・ズミノ・ウィッテン模型は、 の群元による大域変換に対して対称であるだけでなく、より豊かな対称性も持っています。この対称性は、しばしば対称性と呼ばれます。^[8]つまり、任意の正則- 値関数と、他の任意の（ から完全に独立した）反正則- 値関数 が与えられ、ここでと をユークリッド空間座標 に関して同一視した場合、次の対称性が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega (z)}$${\displaystyle \Omega (z)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\bar {\Omega }}({\bar {z}})}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega }}^{-1})}$

この対称性の存在を証明する一つの方法は、 - 値体の積に関するポリヤコフ-ヴィーグマン恒等式を繰り返し適用することです。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta ^{-1})+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )}$

正則電流と反正則電流は、この対称性に関連する保存電流です。これらの電流と他の量子場の積の特異な動作により、グループの微小な作用の下でそれらの場がどのように変化するかが決まります。 ${\displaystyle J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}}$${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma }$${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$

を 上の局所複素座標、 のリー代数の正規直交基底（キリング形式に関して） 、および体 の量子化 とします。次の演算子積展開が成り立ちます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \{t^{a}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle J^{a}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$

${\displaystyle J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),}$

ここで、となる係数である。同様に、がモード ${\displaystyle f_{c}^{ab}}$${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=f_{c}^{ab}t^{c}}$${\displaystyle J^{a}(z)}$

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},}$

によって生成される現在の代数は、 WZWモデルのレベルと一致するレベルのリー代数に関連付けられたアフィンリー代数です。 ^[5] の場合、アフィンリー代数の表記は です。アフィンリー代数の交換関係は ${\displaystyle \{J_{n}^{a}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {Lie} (G)}$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$

${\displaystyle [J_{n}^{a},J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.}$

このアフィン リー代数は、左向きのカレントに関連付けられたカイラル対称代数です。同じアフィン リー代数の 2 番目のコピーは、右向きのカレントに関連付けられています。2番目のコピーの生成元は、反正則です。WZW モデルの完全な対称代数は、アフィン リー代数の 2 つのコピーの積です。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},g^{-1}\partial _{\bar {z}}g)}$${\displaystyle {\bar {J}}^{a}(z)}$

スガワラ構成は、アフィン リー代数の普遍包絡代数へのヴィラソロ代数の埋め込みです。埋め込みの存在は、WZW モデルが共形場理論であることを示しています。さらに、相関関数のKnizhnik–Zamolodchikov 方程式につながります。

スガワラ構成は、アフィンリー代数の場合は電流のレベルで最も簡潔に記述され、ヴィラソロ代数の場合は エネルギー運動量テンソルのレベルで最も簡潔に記述されます。${\displaystyle J^{a}(z)}$ ${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),}$

ここで は正規順序を表し、 は双対コクセター数である。電流のOPEとウィックの定理のバージョンを使用すると、 のOPEは次のように与えられることが分かる^[5]。${\displaystyle :}$${\displaystyle h^{\vee }}$${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),}$

これはヴィラソロ代数の交換関係と同値である。ヴィラソロ代数の中心電荷は、アフィンリー代数の レベルで次のように与えられる。${\displaystyle k}$

${\displaystyle c={\frac {k\mathrm {dim} ({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee }}}.}$

アフィンリー代数の生成元レベルでは、菅原構成は次のように表される。

${\displaystyle L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},}$

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).}$

ここで、ヴィラソロ代数の生成元はエネルギー運動量テンソルのモードです。 ${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

リー群がコンパクトかつ単連結であれば、WZWモデルは有理数かつ対角数である。有理数であるのは、スペクトルが、積分可能な最高重み表現と呼ばれるアフィンリー代数の（レベル依存の）有限集合の既約表現から構築されるためであり、対角数であるのは、左移動代数の表現が右移動代数の同じ表現と結合されているためである。^[5]${\displaystyle G}$

例えば、レベルにおけるWZWモデルのスペクトルは ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2}},1,\dots ,{\frac {k}{2}}}{\mathcal {R}}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{j}\ ,}$

ここで、スピンのアフィン最高重み表現は、次のような 状態によって生成される表現である。${\displaystyle {\mathcal {R}}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle |v\rangle }$

${\displaystyle J_{n<0}^{a}|v\rangle =J_{0}^{-}|v\rangle =0\ ,}$

ここで、 はのリー代数の生成元に対応する電流です。 ${\displaystyle J^{-}}$${\displaystyle t^{-}}$${\displaystyle SU(2)}$

群がコンパクトだが単連結でない場合、WZWモデルは有理数だが必ずしも対角的ではない。例えば、WZWモデルは偶数整数レベルに対して存在し、そのスペクトルは有限個の積分可能な最高重み表現の非対角的組み合わせである。^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} }$

群がコンパクトでない場合、WZWモデルは非有理的である。さらに、そのスペクトルには最高重み表現以外の表現が含まれる可能性がある。たとえば、WZWモデルのスペクトルは最高重み表現と、アフィンリー代数のスペクトルフロー自己同型によるそれらの像から構築される。^[6]${\displaystyle G}$${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$

が超群である場合、スペクトルには、左動対称代数と右動対称代数の表現のテンソル積として因数分解されない表現が含まれる可能性があります。これは、たとえば の場合に発生します。^[9] また、 などのより複雑な超群でも発生します。^[10] 因数分解不可能な表現は、対応する WZW モデルが対数共形場理論であるという事実の原因です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G=GL(1|1)}$${\displaystyle G=PSU(1,1|2)}$

アフィンリー代数に基づく既知の共形場理論はWZWモデルに限定されません。たとえば、WZWモデルのアフィンリー代数の場合、モジュラー不変トーラス分割関数はADE分類に従いますが、WZWモデルはAシリーズのみを説明します。^[11] DシリーズはWZWモデルに対応し、EシリーズはどのWZWモデルにも対応していません。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SO(3)}$

もう一つの例はモデルです。このモデルはWZWモデルと同じ対称性代数に基づいており、ウィック回転によって関連付けられています。しかし、厳密に言えば、はWZWモデルではなく、群ではなく剰余類です。^[12]${\displaystyle H_{3}^{+}}$${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle H_{3}^{+}}$${\displaystyle H_{3}^{+}=SL(2,\mathbb {C} )/SU(2)}$

のリー代数の単純な表現が 与えられたとき、アフィン一次体とは、 の表現空間において、 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi ^{\rho }(z)}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .}$

アフィン一次体は、スガワラ構成から得られるヴィラソロ代数の一次体でもある。アフィン一次体の共形次元は、表現の2次カシミール（すなわち、キリング形式の行列の逆行列である2次カシミール元の固有値） によって次のように与えられる。${\displaystyle C_{2}(\rho )}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K_{ab}t^{a}t^{b}}$${\displaystyle K_{ab}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},t^{b})}$

${\displaystyle \Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .}$

例えば、WZWモデルでは、スピンの一次場の共形次元は ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .}$

状態-体対応により、アフィン基本体は、アフィンリー代数の 最高重み表現の最高重み状態であるアフィン基本状態に対応します。

群がコンパクトな場合、WZWモデルのスペクトルは最高重み表現で構成され、すべての相関関数はウォード恒等式を介してアフィン一次体の相関関数から推定できます。 ${\displaystyle G}$

リーマン面がリーマン球面である場合、アフィン一次体の相関関数はクニジニク・ザモロドチコフ方程式に従う。より高種数のリーマン面では、相関関数はクニジニク・ザモロドチコフ・ベルナール方程式に従い、この方程式は体の位置だけでなく、面の係数の微分も含む。^[13]${\displaystyle \Sigma }$

リー部分群 が与えられた場合、ゲージ化 WZW モデル(または剰余類モデル) は、の随伴作用の商をターゲット空間とする非線形シグマモデルです。このゲージ化 WZW モデルは共形場理論であり、その対称代数はおよびWZW モデルの 2 つのアフィン リー代数の商であり、その中心電荷はそれらの中心電荷の差です。 ${\displaystyle H\subset G}$${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

リー群が群の普遍被覆であるWZW模型は、フアン・マルダセナと大栗博司によって、 3次元反ド・ジッター空間上のボゾン弦理論を記述するために使用されてきた。^[6]上の超弦は、超群上のWZW模型、またはラモンド・ラモンド流がオンになっている場合はその変形によって記述される。^{[14] [10]}${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle AdS_{3}}$${\displaystyle AdS_{3}\times S^{3}}$${\displaystyle PSU(1,1|2)}$

WZWモデルとその変形は整数量子ホール効果におけるプラトー遷移を記述するために提案されている。^[15]

ゲージ付きWZWモデルは、弦理論ではウィッテンの2次元ユークリッドブラックホールとして解釈される。 ^{[16]同じモデルは、臨界反強磁性}ポッツモデル など、臨界における特定の2次元統計システムも記述する。^[17]${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/U(1)}$