ループ代数

数学において、ループ代数は、理論物理学において特に興味深い、ある種のリー代数です。

体上のリー代数について、がローラン多項式空間である場合、 継承された括弧で ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[t,t^{-1}]}$$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],}$$$${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.}$$

がリー代数である場合、円多様体 S 1 上の（複素）滑らかな関数の代数（与えられた^周期の滑らかな複素数値 周期関数と同値） C ^∞ ( S ¹ )とのテンソル積は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),}$$

は、リー括弧が次のように与えられる 無限次元リー代数である。

$${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.}$$

ここでg ₁とg _{2 はの}要素であり、f ₁とf _{2 は}C∞ ( S ¹ )の要素で^ある。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これは、滑らかさの制約のため、 S ¹内の各点について 1 つずつ、の無限個のコピーの直積に対応するものとは正確には一致しません。代わりに、 S ¹からへの滑らかな写像、つまり内の滑らかなパラメータ化されたループとして考えることができます。これがループ代数と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

を線形部分空間として定義すると、括弧は 積に制限され、ループ代数は次数付きリー代数構造になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}},}$$${\displaystyle [\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

特に、括弧は「ゼロモード」部分代数に制限されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}}$

ループ代数には自然な導出があり、慣例的にとして作用する と表されるので、形式的には と考えることができます。 ${\displaystyle d}$$${\displaystyle d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}}$$ $${\displaystyle d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}}$$${\displaystyle d=t{\frac {d}{dt}}}$

物理学、特に共形場理論で使用されるアフィンリー代数を定義する必要があります。

同様に、 S ¹からリー群 Gへの滑らかな写像全体の集合は、ループ群と呼ばれる無限次元リー群（その上に関数微分を定義できるという意味でのリー群）を形成します。ループ群のリー代数は、対応するループ代数です。

が半単純リー代数である場合、そのループ代数の非自明な中心拡大はアフィンリー代数を生み出す。さらに、この中心拡大は一意である。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$

中心拡張は、中心要素、つまりすべての に対してを付加し 、ループ代数の括弧を に変更すること によって与えられます。 ここではキリング形式です。 ${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle [{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,}$$$${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},}$$${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$

中心拡張はベクトル空間として、（通常の定義では、より一般的には、任意の体としてとらえることができます）です。 ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

リー代数コホモロジーの言語を用いると、中心拡大はループ代数上の 2コサイクルを用いて記述できる。これは、 を満たす 写像である 。すると、括弧に加えられる追加の項は、$${\displaystyle \varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.}$$${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.}$

物理学では、中心拡張はアフィンリー代数と呼ばれることがあります。数学ではこれでは不十分であり、完全なアフィンリー代数はベクトル空間^[2]であり 、ここで は上で定義された微分です。 ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d}$$${\displaystyle d}$

この空間では、キリング形式を非退化形式に拡張することができ、アフィンリー代数のルートシステム解析が可能になります。