リー共形代数

リー共形代数は、異なる擬似テンソルカテゴリではあるものの、「リー代数」であるという点で、ある意味ではリー代数の一般化です。リー共形代数は頂点代数と非常に密接に関連しており、代数や積分可能なシステムの他の分野で多くの用途があります。

リー代数は、ヤコビ恒等式を満たす歪対称 双線型乗法を持つベクトル空間として定義されます。より一般的には、リー代数は、射を持つベクトル空間（つまり -加群）のカテゴリ内のオブジェクトです。${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:L\otimes L\rightarrow L}$

は歪対称でヤコビ恒等 式を満たす。したがって、リー共形代数は、射${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$

${\displaystyle [\cdot _{\lambda }\cdot ]:R\otimes R\rightarrow \mathbb {C} [\lambda ]\otimes R}$

ラムダ括弧と呼ばれるもので、双線型性、歪対称性、ヤコビ恒等式の修正版を満たす。

${\displaystyle [\partial a_{\lambda }b]=-\lambda [a_{\lambda }b],[a_{\lambda }\partial b]=(\lambda +\partial )[a_{\lambda }b],}$

${\displaystyle [a_{\lambda }b]=-[b_{-\lambda -\partial }a],\,}$

${\displaystyle [a_{\lambda }[b_{\mu }c]]-[b_{\mu }[a_{\lambda }c]]=[[a_{\lambda }b]_{\lambda +\ム }c].\,}$

括弧からラムダ、ミュー、部分をすべて取り除くと、単純にリー代数の定義が得られることがわかります。

リー共形代数の単純かつ非常に重要な例として、ヴィラソロ共形代数が挙げられる。ヴィラソロ共形代数は、ラムダ括弧付きの 単一の要素によって生成され、次式で表される。${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle [L_{\lambda }L]=(2\lambda +\partial )L.\,}$

実際、1 つの生成元でヤコビ恒等式を満たすラムダ括弧を持つ任意のリー共形代数は、実際にはヴィラソロ共形代数であることが Wakimoto によって示されています。

任意の有限生成（ -加群として）単純リー共形代数は、ヴィラソロ共形代数、現在の共形代数、またはこれら 2 つの半直積のいずれかに同型である ことが示されています。${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$

およびの無限部分代数の部分分類も存在します。 ${\displaystyle {\mathfrak {gc}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {cend}}_{n}}$

• Victor Kac、「初心者のための頂点代数」。大学講義シリーズ、10。アメリカ数学会、1998年。viii+141 頁。ISBN 978-0-8218-0643-2