朱代数

数学において、朱代数とそれに密接に関連するC ₂代数は、朱永昌が博士論文で導入した、与えられた頂点作用素代数から標準的に構築される2つの結合代数である。^[1]頂点代数の多くの重要な表現論的性質は、その朱代数またはC ₂代数の性質と論理的に関連している。

を を伴う次数付き頂点作用素代数とし、を に関連付けられた頂点作用素とします。を の形式の元によって張られる部分空間と定義します。元がを伴う同次である場合、 には 2 つの二項演算があり、 は同次元に対して によって定義され、 のすべてに線形に拡張されます。を のすべての元の範囲と定義します。 ${\displaystyle V=\bigoplus _{n\geq 0}V_{(n)}}$${\displaystyle V_{(0)}=\mathbb {C} \mathbf {1} }$${\displaystyle Y(a,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}}$${\displaystyle a\in V.}$${\displaystyle C_{2}(V)\サブセット V}$${\displaystyle a_{-2}b}$${\displaystyle a,b\in V.}$${\displaystyle a\in V}$${\displaystyle \operatorname {wt} a=n}$${\displaystyle a\in V_{(n)}.}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle a*b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-1}b,~~~~~a\circ b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-2}b}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle O(V)\subset V}$${\displaystyle a\circ b}$

によって誘導される二項演算を持つ代数は、の朱代数と呼ばれる結合代数です。^[1]${\displaystyle A(V):=V/O(V)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle V}$

乗算を含む代数は のC ₂代数と呼ばれます。 ${\displaystyle R_{V}:=V/C_{2}(V)}$${\displaystyle a\cdot b=a_{-1}b\mod C_{2}(V)}$${\displaystyle V}$

• C ₂代数の乗算は可換であり、追加の二項演算はC ₂代数にポアソン代数の構造を与えるポアソン括弧である。^[1]${\displaystyle \{a,b\}=a_{0}b\mod C_{2}(V)}$${\displaystyle R_{V}}$
• (Zhu のC _{2 余}有限性条件) が有限次元の場合、 はC ₂余有限であると言われる。 C _{2 余}有限性に関連する主な表現論的性質が 2 つある。頂点作用素代数は、許容される加群のカテゴリが半単純であり、有限個の既約数のみが存在する場合、有理数である。 有理性は C ₂余有限性と同等であり、より強い条件である正則性があると予想されたが、これは 2007 年に Adamovic と Milas によって反証され、3 重頂点作用素代数は C ₂余有限であるが有理数ではないことが示された。^{[2] [3] [4]}この予想のより弱いバージョンがいくつか知られており、正則性は C 2 余有限性を意味する [2] こと_や、^C ₂余有限の場合、合理性と正則性の条件は同等であることなどがある。^{[5]この予想は、}リー代数理論におけるカルタンの半単純性基準の頂点代数における類似物である。なぜなら、この予想は代数の構造的性質をその表現圏の半単純性と関連付けるからである。${\displaystyle R_{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• 上の次数付けは、フィルタリングを誘導し、そこではポアソン代数の射影写像が存在する。^[6]${\displaystyle V}$${\displaystyle A(V)=\bigcup _{p\geq 0}A_{p}(V)}$${\displaystyle A_{p}(V)=\operatorname {im} (\oplus _{j=0}^{p}V_{p}\to A(V))}$${\displaystyle A_{p}(V)\ast A_{q}(V)\subset A_{p+q}(V).}$${\displaystyle R_{V}\to \operatorname {gr} (A(V))}$

C ₂代数は可換代数なので、代数幾何学の言語を使って研究することができます。の関連スキームと関連多様体はと定義され、それぞれアフィンスキームとアフィン代数多様体です。^[7]さらに、 は^[1]の微分として作用するので、の関連スキームへの作用があり、円錐ポアソンスキームと円錐ポアソン多様体が作成されます。 この言語では、 C _{2 の}余有限性は が点であるという 性質と同等です。${\displaystyle R_{V}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}:=\operatorname {Spec} (R_{V}),~~~X_{V}:=({\widetilde {X}}_{V})_{\mathrm {red} }}$$${\displaystyle L(-1)}$${\displaystyle R_{V}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$

例:がレベル のアフィンリー代数に関連付けられたアフィンW代数であり、冪零元である 場合、 はを通るスロドウィスライスです。^[8]${\displaystyle W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}={\mathcal {S}}_{f}}$${\displaystyle f}$