ウォード・高橋恒等式

量子場の理論において、ウォード・高橋恒等式は、理論の大域的対称性またはゲージ対称性から導かれる相関関数間の恒等式であり、繰り込み後も有効である。

量子電磁力学（QED）のウォード・高橋恒等式は、もともとジョン・クライヴ・ウォード^[1]と高橋康司^{[2]によって}電子の波動関数の繰り込みをその頂点繰り込み因子に関連付けるために使用され、すべての次数の摂動論に対する紫外発散のキャンセルを保証しました。その後の使用には、ゴールドストーンの定理の証明をすべての次数の摂動論に拡張することが含まれます。

より一般的には、ウォード・タカハシ恒等式は、ノイマンの定理によって連続対称性と関連付けられた古典的な電流保存の量子版です。量子場の理論におけるこのような対称性は、（ほぼ）常に、量子力学的振幅のレベルで対称性を課すこれらの一般化されたウォード・タカハシ恒等式を生み出します。マイケル・ペスキンとダニエル・シュローダーの教科書^[3]などの文献を読むときは、この一般化された意味を、元のウォード・タカハシ恒等式と区別する必要があります。

以下の詳細な議論は、ウォード・高橋恒等式が適用されるアーベル 理論である QED に関するものです。量子色力学 (QCD)などの非アーベル理論の同等の恒等式は、スラブノフ・テイラー恒等式です。

ウォード演算子は、ラグランジアン内のスカラー項が無限小ゲージ変換の下でどのように変換されるかを記述します。これはBRST 演算子と密接に関連しており、ゲージ理論の一貫した量子化の幾何学的記述を提供する上で中心的な役割を果たします。

ウォード・高橋恒等式は運動量空間における相関関数に適用され、必ずしもすべての外部運動量がオンシェルにあるとは限らない。

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

を、運動 量 k の外部光子（ここで は光子の偏光ベクトルであり、 上の和は暗黙的に表される）、運動量のn個の初期状態電子、および運動量 のn 個の終状態電子を含む QED 相関関数とする。また、 を、元の振幅から運動量kの光子を取り除いて得られるより単純な振幅と定義する。すると、ウォード・高橋恒等式は次のようになる。 ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}\right.&(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\\&\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}}$

ここで、 は電子の電荷で、負の符号です。の外部電子がオンシェルにある場合、この恒等式の右側の振幅にはそれぞれ 1 つの外部粒子がオフシェルにあるため、S 行列要素には寄与しないことに注意してください。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

ウォード恒等式は、物理的に可能な散乱過程を記述し、したがってすべての外部粒子がオンシェル にあるS行列要素へのウォード–高橋恒等式の特殊化です。再び、 を運動量 の外部光子を含む QED 過程の振幅とします。ここで は光子の 偏光ベクトルです。すると、ウォード恒等式は次のようになります。${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

物理的に、この恒等式が意味するのは、 ξ ゲージで発生する光子の縦偏光は非物理的であり、S 行列から消えるということです。

その使用例としては、QED における 真空分極と電子頂点関数のテンソル構造を制限することが挙げられます。

経路積分定式化において、ウォード・タカハシ恒等式は、ゲージ変換の下での関数測度の不変性を反映している。より正確には、が によるゲージ変換を表す場合（これは、システムの物理的対称性が大域的であるか存在しない場合でも適用されます。ここでは関数測度の不変性のみを懸念します）、 ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

は関数測度の不変性を表す。ここで は作用であり、は場の関数である。ゲージ変換が理論の 大域的対称性に対応する場合、${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

部分積分し、表面項は無視できると仮定した 後、ある「現在の」J（場の関数として）に対して。${\displaystyle \phi }$

すると、ウォード・高橋恒等式は

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

これはノイマン連続方程式 の QFT 類似物です。 ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

ゲージ変換が実際のゲージ対称性に対応する場合、

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

ここで、 はゲージ不変作用であり、はゲージ不変でないゲージ固定項です。ゲージ固定項は、古典的なゲージ理論の第二量子化を実行するために必要です。量子場の理論の経路積分（ラグランジアン）定式化では、散乱行列の漸近状態を計算する必要があるため、ゲージ固定の必要性が完全に回避されるわけではありません（たとえば、相互作用図の場合）。つまり、ゲージ固定は必要ですが、理論全体のゲージ不変性が損なわれます。ウォード–高橋恒等式は、無限小ゲージ変換の下で、異なるフィールドがすべて互いにどのように結びついているかを正確に記述します。これらのウォード–高橋恒等式は、ウォード演算子によって生成されます。線形化された形式では、ウォード演算子はBRST演算子です。対応する電荷はBRST電荷です。ゲージ理論がファイバーバンドル上で定式化される場合、ウォード-高橋恒等式は主バンドル内の（大域的）右作用に対応します。つまり、それらは垂直バンドル上のリー微分によって生成されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{\mathrm {gf} }}$

関数測度がゲージ不変ではないが、

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

を場の何らかの汎関数とすると、対応する関係から異常なウォード・タカハシ恒等式が与えられます。従来の例はカイラル異常です。この例は、核力のシグマモデル理論で顕著です。この理論では、アイソスピン二重項にある中性子と陽子は、アイソスピン三重項にあるパイ中間子によって媒介される力を感じます。この理論には、ベクトル対称性と軸ベクトル対称性という1つではなく2つの異なるグローバル対称性があります。つまり、左カイラル対称性と右カイラル対称性です。対応する電流は、アイソベクトル電流（ロー中間子）と軸ベクトル電流です。両方を同時に量子化することはできません（異常なウォード・タカハシ恒等式のため）。慣例により、ベクトル対称性は、ベクトル電流が保存され、軸ベクトル電流が保存されないように量子化されます。ロー中間子はベクトル対称性のゲージボソンとして解釈されるが、軸対称性は自発的に破れる。この破れは量子化によるものであり、異常なウォード・高橋恒等式によるものである（ヒッグス風のメキシカンハットポテンシャルによるものではなく、全く異なる種類の対称性の破れをもたらす）。軸電流の発散は、軸結合定数として固定して、パイ中間子-核子相互作用をパイ中間子崩壊に関連付ける。ゴールドバーガー-トライマン関係は、パイ中間子崩壊定数に関連付ける。このように、カイラル異常はパイ中間子-核子相互作用の標準的な記述を提供する。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle g_{A}\approx 1.267}$ ${\displaystyle f_{\pi }g_{\pi N{\overline {N}}}\simeq g_{A}m_{N}}$${\displaystyle g_{A}}$ ${\displaystyle f_{\pi }}$