カイラル代数

数学において、カイラル代数は、物理学におけるカイラル代数のかなり曖昧な概念の厳密なバージョンとして、Beilinson と Drinfeld (2004) によって導入された代数構造です。Beilinson と Drinfeld は、Chiral Algebras で、D加群の擬似テンソル カテゴリに基づくカイラル代数の概念を導入しました。彼らは、形式的な冪級数に基づく頂点代数の「座標に依存しない」概念を与えました。曲線上のカイラル代数は、本質的に共形頂点代数です。

滑らかな代数曲線上のカイラル代数[ ^1]は、右D加群であり、 上のD加群準同型と埋め込みを備え、次の条件を満たす。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}{\mathcal {A}}}$$${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle \Omega \hookrightarrow {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle \mu =-\sigma _{12}\circ \mu \circ \sigma _{12}}$（歪対称性）
• ${\displaystyle \mu _{1\{23\}}=\mu _{\{12\}3}+\mu _{2\{13\}}}$（ヤコビ恒等式）
• 単位写像は準同型写像と両立する。つまり、次の図は可換である。${\displaystyle \mu _{\Omega }:\Omega \boxtimes \Omega (\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}\Omega }$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\Omega \boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\rightarrow &{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\\&\downarrow &&\downarrow \\&\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\rightarrow &\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\\\end{array}}}$$ここで、上の層 に対して、 層は上の層であり、その切断は対角線上に任意の極を持つ 外テンソル積の切断である。 は標準バンドルであり、「デルタ関数による対角拡張」は ${\displaystyle {\mathcal {M}},{\mathcal {N}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )=\varinjlim {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(n\Delta ), }$$ ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Delta _{!}}$$${\displaystyle \Delta _{!}{\mathcal {M}}={\frac {\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}(\infty \Delta )}{\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}}}.}$$

BorcherdsまたはKacによって定義された頂点代数のカテゴリは、変換群に関して同変なカイラル代数のカテゴリと同等です。 ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle T}$

カイラル代数は因数分解代数として再定式化することもできます。

• キラルホモロジー
• カイラルリー代数

• ベイリンソン、アレクサンダー、ドリンフェルド、ウラジミール(2004)、「カイラル代数」、アメリカ数学会コロキウム出版、第 51 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3528-9、MR  2058353

• フランシス、ジョン; ゲイツゴリー、デニス (2012)。「カイラル・コズル双対性」。Sel . Math . New Series. 18 (1): 27–87. arXiv : 1103.5803 . doi :10.1007/s00029-011-0065-z. S2CID  8316715。