乗法数列の種数

数学において、乗法列の種数は、滑らかなコンパクト多様体の環から、境界を持つ滑らかな多様体を境界付けすることの同値性（すなわち、適切なコボルディズムまで）までの、別の環（通常は有理数 ）への環準同型であり、良好な乗法特性を持つ形式的冪級数の係数として生じる特性クラスの多項式列から構成されるという特性を持つ。

種数は 各多様体Xに番号を割り当て、 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Phi (X)}$

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$（ここでは不連続和集合）${\displaystyle \sqcup }$
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$X が境界を持つ多様体の境界である 場合。

多様体と境界付き多様体には、追加の構造が必要になる場合があります。たとえば、有向性、スピン、安定な複素数などです (さらに多くの例については、コボルディズム理論のリストを参照してください)。値は何らかの環 (多くの場合は有理数環) にありますが、 やモジュラー形式の環などの他の環である場合もあります。 ${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

に対する条件は、が多様体のコボルディズム環（追加の構造を持つ）から別の環への環準同型である と言い換えることができます。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$

例: が有向多様体Xのシグネチャである場合、 は有向多様体から整数環への種数です。 ${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle \Phi }$

変数の多項式の列は、次の場合、 乗法的と呼ばれます。${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

は、

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

が定数項1を持つzの形式的冪級数である場合、乗法列を定義することができる。 ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

による

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$、

ここで、 は不定値のk番目の基本対称関数です。(変数は実際にはポンチャギン類になることが多いです。) ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle p_{k}}$

Qに対応するコンパクトで連結で滑らかな有向多様体の種数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

ここで、 はXのポンチャギン類である。冪級数Qは種数 の特性冪級数と呼ばれる。コボルディズム環でテンソル化された有理数は、正の整数kに対して次数 4 kの生成元の多項式代数であると述べるルネ・トムの定理は、これが有理係数と先頭係数 1 を持つ形式冪級数Qと、向き付けられた多様体から有理数への種数と の間の一対一関係を与えることを意味する。${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \Phi }$

L種族は形式冪級数の種族である。

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

ここで、数字はベルヌーイ数です。最初のいくつかの値は次のとおりです。 ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

（その他のL多項式については、 ^[1]またはOEIS : A237111を参照）。ここで、M を、ポントリャギン類を持つ4 n次元の閉じた滑らかな有向多様体とします。フリードリヒ・ヒルツェブルッフは、の基本類（ と表記）上で評価された4 n次元のMのL種数は、 Mのシグネチャ（つまり、 Mの2 n番目のコホモロジー群上の交差形式のシグネチャ）に等しいことを示しました。 ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$。

これは現在、ヒルツェブルッフの署名定理（またはヒルツェブルッフの指数定理と呼ばれることもあります）として知られています。

滑らかな多様体に対して が常に積分であるという事実は、ジョン・ミルナーによって、滑らかな構造を持たない8 次元PL 多様体の例を示すために使用されました。ポンチャギン数は PL 多様体に対しても定義でき、ミルナーは彼の PL 多様体が の非整数値を持ち、したがって滑らかではないことを示しました。 ${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle p_{2}}$

射影K3 曲面は2 次元の滑らかな複素多様体なので、その唯一の非自明なポントリャーギン類は にあります。これは、接線列と複素チャーン類との比較を使用して -48 として計算できます。 なので、そのシグネチャがわかります。これは を持ち、ユニモジュラー格子の分類を使用して、ユニモジュラー格子としての交差形式を計算するために使用できます。^[2]${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle H^{4}(X)}$${\displaystyle L_{1}=-16}$${\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}$

トッド種族は形式冪級数の種族である。

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

これまでと同様に、ベルヌーイ数です。最初のいくつかの値は ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

トッド種数は、すべての複素射影空間（すなわち ）に値 1 を割り当てるという特別な性質を持ち、これは、複素射影空間の数論的種数も 1 であるため、トッド種数が代数多様体の数論的種数と一致することを示すのに十分です。この観察は、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の結果であり、実際、その定理の定式化につながった重要な展開の 1 つです。 ${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$

Â種族は特性冪級数に関連付けられた種族である。

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

（あまり一般的ではないが、特性系列に関連付けられたA種族もある。）最初のいくつかの値は ${\displaystyle Q(16z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

スピン多様体の種数は整数であり、次元が 4 mod 8 の場合は偶数です (次元 4 ではロクリン定理が成り立ちます)。一般の多様体では、種数は必ずしも整数ではありません。これはヒルツェブルッフとアルマン・ボレルによって証明されました。この結果は、スピン多様体の種数がそのディラック演算子の指数に等しいことを示すアティヤ-シンガー指数定理のきっかけとなり、後に説明されました。

この指数結果をディラックのラプラシアンに対するワイツェンボックの公式と組み合わせることで、アンドレ・リヒネロヴィッチは、コンパクトなスピン多様体が正のスカラー曲率を持つ計量を持つ場合、その Â 種数はゼロでなければならないと推論した。これは、次元が 4 の倍数の場合にのみ正のスカラー曲率に対する障害を与えるが、後にナイジェル・ヒッチンは、 8 を法とする 1 または 2 の次元で類似の - 値障害を発見した。これらの結果は本質的に鋭いものである。実際、ミハイル・グロモフ、H・ブレイン・ローソン、ステファン・シュトルツは後に、 Â 種数とヒッチンの- 値類似体が、5 以上の次元の単連結スピン多様体上の正のスカラー曲率計量の存在に対する唯一の障害であることを証明した。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

べき級数が条件を満たす 場合、その種数は楕円種数と呼ばれる。${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

定数およびについて。(通常どおり、Qは種数の特性冪級数です。) ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$

f ( z ) の明示的な表現は

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

どこ

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

sn はヤコビの楕円関数です。

例:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$これはL属です。
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$. これは Â 属です。
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$これは L 属の一般化です。

このような属の最初のいくつかの値は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

例（四元数射影平面の楕円種数）:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

例 (八元数射影平面、またはケーリー平面の楕円種数):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

ウィッテン種族は特性冪級数に関連する種族である。

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

ここで、σ _Lは格子Lのワイエルシュトラスのシグマ関数であり、G はアイゼンシュタイン級数の倍数です。

第一ポンチャギン類がゼロである 4 k次元のコンパクトな有向滑らかなスピン多様体のウィッテン種数は、整数のフーリエ係数を持つ、 重み 2 kのモジュラー形式です。

• アティヤ・シンガー指数定理
• コホモロジー理論の一覧

• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ『代数幾何学における位相的手法』 ISBN 3-540-58663-6ドイツ語版原文: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf 
• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ、トーマス・ベルガー、ライナー・ユング『多様体とモジュラー形式』 ISBN 3-528-06414-5 
• ミルナー、スタシェフ、特性クラス、ISBN 0-691-08122-0 
• AF Kharshiladze (2001) [1994]、「ポンチャギンクラス」、数学百科事典、EMS Press
• 「楕円の属」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]