有限な関係

数学では、集合の列X ₁、 ...、X _n上の有限関係は、デカルト積X ₁ × ... × X _nの部分集合です。つまり、対応するX _iの要素x _iの列であるnタプル( x ₁、 ...、x _n )の集合です。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}通常、この関係は、 nタプルの要素間の可能なつながりを記述します。たとえば、「xはyとzで割り切れる」という関係は、 x、y、zにそれぞれ代入すると文が真になるような 3 つ組の集合で構成されます。

関係における「場所」の数を表す非負整数n は、関係のアリティ、アディシティ、または次数と呼ばれます。 n 個の「場所」を持つ関係は、 n項関係、n進関係、または次数nの関係などと呼ばれます。有限個の場所を持つ関係は、有限関係（文脈が明確な場合は単に関係）と呼ばれます。この概念を無限列を持つ無限関係に一般化することも可能です。^{[ 4 ]}

2つの対象、性質、分類、または属性が、心によって一緒に見られたときに、何らかの関連性があると見なされる場合、その関連性を関係と呼ぶ。

定義は基礎となる集合X ₁、 ...、X _nに基づいているので、R はより正式には ( n + 1 )-タプル( X ₁、 ...、X _n、G )として定義できます。ここで、GはRのグラフと呼ばれ、デカルト積X ₁ × ... × X _nの部分集合です。

数学ではよくあることですが、数学的対象と基礎となる集合を参照するために同じ記号が使用されるため、( x ₁ , ..., x _n ) ∈ Rという記述は、 ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ Gを意味するためによく使用され、「x ₁ , ..., x _nはRに関連している」と読み、前置記法ではRx ₁ ⋯ x _n 、後置記法ではx ₁ ⋯ x _n Rと表記されます。Rが二項関係の場合、これらの記述は中置記法でもx ₁ Rx ₂と表記されます。

以下の点に留意してください。

• 集合X _iはRのi番目のドメインと呼ばれます。^{[ 1 ]} Rが二項関係の場合、 X ₁は単にRのドメインまたは出発点の集合とも呼ばれ、X _2はRの終点または終着点の集合とも呼ばれます。
• X _iの要素が関係である場合、X _iはRの非単純領域と呼ばれます。^{[ 1 ]}
• 少なくとも 1 つの( x ₁ , ..., x _n )に対してRx ₁ ⋯ x _{i −1} x _i x _{i +1} ⋯ x _nとなる∀ x _i ∈ X _iの集合を、 Rのi番目の定義領域またはアクティブ領域と呼ぶ。^{[ 1 ]} Rが二項関係の場合、その最初の定義領域は単に R の定義領域またはアクティブ領域とも呼ばれ、その 2 番目の定義領域はRの定義の終域またはアクティブ終域とも呼ばれる。
• Rの定義域のi番目の領域がX _iと等しい場合、R はそのi番目の領域で全射であると言われます(または、曖昧でない場合はX _iで全射であると言われます)。R が二項関係の場合、R が X 1 で全射である場合、左全射(または、_X 1 = X 2_の特殊な_場合、直列) とも言われ、R がX ₂で全射である場合、右全射または全射とも言われます。
• ∀ x ∀ y ∈ X _i . ∀ z ∈ X _j . xR _ij z ∧ yR _ij z ⇒ x = y、ここでi ∈ I、j ∈ J、R _ij = π _ij R、そして{ I、J }は{1, ..., n }の分割であるとき、Rは{ X _i } _{i ∈ I}上で一意であると言われ、{ X _i } _{i ∈ J}はRの主キー[ ^{1 ]と}呼ばれます。 Rが二項関係の場合、 R が{ X ₁ }上で一意であるとき、左一意または単射であるとも言われ、R が{ X ₂ }上で一意であるとき、単価または右一意であるとも言われます。
• すべてのX _{i が}同じ集合Xである場合、 RをX上のn項関係、すなわち同次関係と呼ぶ方が簡単です。この制約がない場合、Rは異次関係と呼ばれます。
• X _iのいずれかが空の場合、定義するデカルト積は空になり、そのようなドメインの列上の唯一の関係は空の関係R = ∅です。

ブール領域B を、例えばB = {0, 1}のように 2 つの要素からなる集合とし、その要素を論理値として解釈します。通常、0 = false、1 = true です。Rの特性関数はχ _Rで表され、ブール値関数χ _R : X ₁ × ... × X _n → Bであり、Rx ₁ ⋯ x _nの場合にχ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 1 、それ以外の場合はχ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 0と定義されます。

応用数学、コンピュータ科学、統計学では、ブール値関数をn項述語と呼ぶのが一般的です。形式論理やモデル理論といったより抽象的な観点から見ると、関係Rは論理モデルまたは関係構造を構成し、 n項述語記号の多くの可能な解釈の1つとして機能します。

関係は多くの科学分野、そして数学や論理学の多くの分野で現れるため、用語にはかなりのばらつきがあります。関係概念や用語の集合論的拡張とは別に、「関係」という用語は、対応する論理的実体、すなわち関係内のすべての要素が共有する内包または抽象的な性質の総体である論理的理解、あるいはこれらの要素と内包を表す記号を指す場合にも使用されます。さらに、後者の立場をとる一部の著者は、より具体的な意味合いを持つ用語（例えば、特定の関係概念の集合論的拡張を表す「関係構造」など）を導入しています。

人々の集合P = {アリス、ボブ、チャールズ、デニス}上の三項関係R " x はy がz を好きだと考えている" を考えます。これは次のように定義されます。

R = { (アリス、ボブ、デニス)、(チャールズ、アリス、ボブ)、(チャールズ、チャールズ、アリス)、(デニス、デニス、デニス) }。

Rは、以下の表で等価的に表すことができる。

ここでは、各行はRの 3 つ組を表し、つまり「x はy がz を好きだと思っている」という形式の記述になります。たとえば、最初の行は「アリスはボブがデニースを好きだと思っている」と述べています。すべての行は異なります。行の順序は重要ではありませんが、列の順序は重要です。^{[ 1 ]}

上記の表は、関係代数に根ざした理論とデータ管理への応用を持つ分野である関係データベースの簡単な例でもあります。^{[ 6 ]}しかし、コンピュータ科学者、論理学者、数学者は、一般的な関係とは何か、そしてそれが何から構成されているかについて、異なる概念を持つ傾向があります。たとえば、データベースは定義上有限である経験的データを扱うように設計されていますが、数学では無限の項数を持つ関係（つまり、無限関係）も考慮されます。

論理学者オーガスタス・ド・モルガンは、1860年頃に出版された著作の中で、現在のような意味での関係の概念を初めて明確に表現した。彼はまた、関係論における最初の形式的な結果も述べた（ド・モルガンと関係については、メリル1990を参照）。

チャールズ・パース、ゴットロープ・フレーゲ、ゲオルク・カントール、リヒャルト・デデキントらは関係論を発展させた。彼らの多くのアイデア、特に順序と呼ばれる関係に関するアイデアは、 『数学原理』（1903年）にまとめられ、バートランド・ラッセルはこれらの成果を自由に利用した。

1970年、エドガー・コッドはデータベースのリレーショナルモデルを提案し、データベース管理システムの開発を先取りした。^{[ 1 ]}