アルキメデスの群

数学の一分野である抽象代数学において、アルキメデス群は、アルキメデスの性質が成り立つ線型順序群である。すなわち、すべての2つの正の群元は、互いの整数倍で境界が定められている。実数の集合Rに加算演算と数対間の通常の順序関係を加えたものがアルキメデス群である。オットー・ヘルダーの結果、すべてのアルキメデス群はこの群のサブグループと同型である。「アルキメデス」という名前は、アルキメデスの著作に登場したことからアルキメデスの性質に名前を付けたオットー・シュトルツに由来する。^[1]

意味

加法群は、要素の集合、要素のペアを組み合わせて単一の要素を返す結合加法演算、他の任意の要素との合計が他の要素となる単位元（またはゼロ元）、および任意の要素とその逆の合計がゼロになる加法逆演算から構成されます。 ^[2] 群が線形順序群であるとは、さらに、その群の要素が群演算と互換性のある方法で線形順序付けできることです。つまり、すべての要素x、y、zについて、x ≤ yであればx + z ≤ y + zかつz + x ≤ z + yです。

na という表記（nは自然数）は、 aのn個のコピーの群和を表す。アルキメデス群（G、+、≤）は、次の追加条件、アルキメデスの性質に従う線型順序群である。G 内の 0 より大きい任意の a と b に対して、不等式b ≤ na が成り立つ自然数nを見つけることが可能である。^[3]

同等の定義は、アルキメデス群は線型順序群であり、有界巡回部分群を持たないというものである。つまり、巡回部分群Sや、 S内のすべての元より大きい元x は存在しない。^{[4]これは他の定義と同等であることが簡単にわかる。つまり、元}aとbのペアに対するアルキメデスの性質は、aによって生成される巡回部分群がbによって有界ではないというだけのことである。

アルキメデス群の例

整数、有理数、実数の集合は、加法演算と通常の順序付け (≤) とともに、アルキメデス群と呼ばれます。アルキメデス群のすべての部分群は、それ自体がアルキメデス群であるため、偶数の加法群や二項有理数などのこれらの群のすべての部分群もアルキメデス群を形成します。

逆に、オットー・ヘルダーが示したように、すべてのアルキメデス群は（順序群として）実数の部分群に同型である。 ^[5]^[6]^[7]^{[8]このことから、すべてのアルキメデス群は必然的に}アーベル群であり、その加法演算は可換でなければならないことがわかる。^[5]

非アルキメデス群の例

有限群などの線形順序付けできない群はアルキメデスの群ではありません。別の例として、有理数を実数とは異なる方法で一般化した数体系である p進数を参照してください。

非アルキメデス的順序群も存在します。次のように定義される順序群 ( G , +, ≤) はアルキメデス的ではありません。 Gの要素を、その直交座標で与えられるユークリッド平面の点、すなわち実数のペア ( x , y ) とします。群の加算演算を点ごとの(ベクトル) 加算とし、これらの点を辞書式順序で順序付けます。つまり、 a = ( u , v ) かつb = ( x , y ) の場合、a + b = ( u + x , v + y ) となり、 v < yまたはv = yかつu ≤ x のどちらかのときに、a ≤ bとなります。これにより、順序群が得られますが、アルキメデス的ではありません。これを確認するには、要素 (1, 0) と (0, 1) を考えます。どちらも群のゼロ要素 (原点 ) よりも大きいです。これらの定義から、すべての自然数nに対して、 n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1)が成り立つため、アルキメデスの性質を満たすnは存在しない。 ^[9]この群は、実数と無限小のペアの加法群と考えることができる。ここで、は単位無限小である。ただし、任意の正の実数に対してはである。非アルキメデス順序体も同様に定義でき、その加法群は非アルキメデス順序群である。これらは非標準解析で使用され、超実数と超実数が含まれる。 $(x,y)=x\epsilon +y,$ $\epsilon$ $\epsilon >0$ $\epsilon <y$ $y>0$

非アルキメデス順序群は実数に埋め込むことはできませんが、ハーンの埋め込み定理により、辞書式順序で実数の累乗に埋め込むことができます。上記の例は 2 次元の場合です。

追加のプロパティ

すべてのアルキメデス群は、群のすべてのデデキント切断とすべての群元 ε > 0 に対して、切断の下側にxがあり、切断の上側にx + ε がある別の群元x が存在するという性質を持っています。しかし、同じ性質を持つ非アルキメデスの順序群も存在します。アルキメデス群がアーベル群であるという事実は一般化できます。この性質を持つすべての順序群はアーベル群です。^[10]

一般化

アルキメデス群は、アルキメデスのモノイド、つまりアルキメデスの性質に従う線形順序モノイドに一般化できます。例としては、通常の二項演算と順序を伴う自然数、非負の有理数、非負の実数などがあります。アルキメデス群の場合と同様の証明により、アルキメデスのモノイドは可換であることが示されます。 $+$ $<$

参照

アルキメデスの等価性

参考文献

^ マーヴィン、スティーブン（2012）、科学原理辞典、ジョン・ワイリー＆サンズ、p. 17、ISBN 9781118582244。
^ 群の加法表記は通常、加法演算が可換なアーベル群にのみ使用されます。ここでの定義は可換性を前提としていませんが、アルキメデスの性質から従うことがわかります。
^ Alajbegovic, J.; Mockor, J. (1992)、可換代数の近似定理：古典的およびカテゴリカルな方法、NATO ASIシリーズ。シリーズD、行動および社会科学、第59巻、Springer、p. 5、ISBN 9780792319481。
^ Belegradek, Oleg (2002)、「Poly-regular ordered abelian groups」、Logic and algebra、Contemp. Math.、vol. 302、Amer. Math. Soc.、Providence、RI、pp. 101–111、doi :10.1090/conm/302/05049、MR 1928386。
^ ab Fuchs, László; Salce, Luigi (2001)、Modules over non-Noetherian domains、Mathematical Surveys and Monographs、vol. 84、Providence、RI: American Mathematical Society、p. 61、ISBN 978-0-8218-1963-0、MR 1794715
^ フックス、ラースロー (2011) [1963]。半順序代数システム。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 45–46。ISBN 978-0-486-48387-0。
^ コピトフ、VM; メドヴェージェフ、N. Ya. (1996)、右順序群、シベリア代数論理学派、シュプリンガー、pp. 33-34、ISBN 9780306110603。
^ アーベル群の証明については、 Ribenboim, Paulo (1999)、The Theory of Classical Valuations、Monographs in Mathematics、Springer、p. 60、ISBNを参照。 9780387985251。
^ クルプカ、デメテル（2000）、大域変分幾何学入門、ノースホランド数学図書館、第13巻、エルゼビア、p.8、ISBN 9780080954202。
^ Vinogradov, AA (1967)、「Ordered algebraic systems」、Algebra, Topology, Geometry、1965 (ロシア語) (ロシア語)、Akad. Nauk SSSR Inst. Naučn. Tehn. Informacii、モスクワ、pp. 83–131、MR 0215761フィリッポフ編（1970年）、代数と関数解析に関する10の論文、アメリカ数学会翻訳シリーズ2、第96巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、69～118頁、ISBNに英訳されている。 9780821896662、MR 0268000。

[1] マーヴィン、スティーブン（2012）、科学原理辞典、ジョン・ワイリー＆サンズ、p. 17、ISBN 9781118582244。

[2] 群の加法表記は通常、加法演算が可換なアーベル群にのみ使用されます。ここでの定義は可換性を前提としていませんが、アルキメデスの性質から従うことがわかります。

[3] Alajbegovic, J.; Mockor, J. (1992)、可換代数の近似定理：古典的およびカテゴリカルな方法、NATO ASIシリーズ。シリーズD、行動および社会科学、第59巻、Springer、p. 5、ISBN 9780792319481。

[4] Belegradek, Oleg (2002)、「Poly-regular ordered abelian groups」、Logic and algebra、Contemp. Math.、vol. 302、Amer. Math. Soc.、Providence、RI、pp. 101–111、doi :10.1090/conm/302/05049、MR 1928386。

[monnd-5] Fuchs, László; Salce, Luigi (2001)、Modules over non-Noetherian domains、Mathematical Surveys and Monographs、vol. 84、Providence、RI: American Mathematical Society、p. 61、ISBN 978-0-8218-1963-0、MR 1794715

[6] フックス、ラースロー (2011) [1963]。半順序代数システム。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 45–46。ISBN 978-0-486-48387-0。

[7] コピトフ、VM; メドヴェージェフ、N. Ya. (1996)、右順序群、シベリア代数論理学派、シュプリンガー、pp. 33-34、ISBN 9780306110603。

[8] アーベル群の証明については、 Ribenboim, Paulo (1999)、The Theory of Classical Valuations、Monographs in Mathematics、Springer、p. 60、ISBNを参照。 9780387985251。

[9] クルプカ、デメテル（2000）、大域変分幾何学入門、ノースホランド数学図書館、第13巻、エルゼビア、p.8、ISBN 9780080954202。

[10] Vinogradov, AA (1967)、「Ordered algebraic systems」、Algebra, Topology, Geometry、1965 (ロシア語) (ロシア語)、Akad. Nauk SSSR Inst. Naučn. Tehn. Informacii、モスクワ、pp. 83–131、MR 0215761フィリッポフ編（1970年）、代数と関数解析に関する10の論文、アメリカ数学会翻訳シリーズ2、第96巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、69～118頁、ISBNに英訳されている。 9780821896662、MR 0268000。