意味 集合 が与えられたS {\displaystyle S} 二項演算子 * {\displaystyle \,*\,} + {\displaystyle \,+\,} S 、 {\displaystyle S,}
手術* {\displaystyle \,*\,} 左分配法則 が成り立つ（または、に関して成り立つ）+ {\displaystyle \,+\,} 与えられた 要素がx 、 y 、 そして z {\displaystyle x,y,{\text{ および }}z} S 、 {\displaystyle S,} x * （ y + z ） = （ x * y ） + （ x * z ） ; {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}
手術* {\displaystyle \,*\,} 右分配的 である+ {\displaystyle \,+\,} x 、 y 、 そして z {\displaystyle x,y,{\text{ および }}z} S 、 {\displaystyle S,} （ y + z ） * x = （ y * x ） + （ z * x ） ; {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}
そして手術* {\displaystyle \,*\,} 分配法則 を満たす+ {\displaystyle \,+\,} [ 1 ] いつ* {\displaystyle \,*\,} 可換性 がある場合、上記の３つの条件は論理的に同値 である。
意味 このセクションの例で使用される演算子は、通常の加算演算子です。 + {\displaystyle \,+\,} ⋅ 。 {\displaystyle \,\cdot .\,}
演算が次のように表される場合⋅ {\displaystyle \cdot }
1 ⋅ （ b ± c ） = 1 ⋅ b ± 1 ⋅ c （左分配法則） {\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (左分配法則) }}} （ 1 ± b ） ⋅ c = 1 ⋅ c ± b ⋅ c （右分配） 。 {\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (右分配法則) }}.}
いずれの場合も、分配法則は次のように言葉で説明できます。
和 （または差 ）に係数を掛けるには、各被加数（または被減数 と減数 ）にこの係数を掛け、得られた積を足し合わせる（または引き算する）。
括弧の外にある演算（この場合は乗算）が可換であれば、左分配法則は右分配法則を意味し、その逆もまた然りであり、単に分配法則 と呼ぶ。
「右分配法則のみ」を満たす演算の一例として、交換法則を満たさない除算が挙げられる。 （ 1 ± b ） ÷ c = 1 ÷ c ± b ÷ c 。 {\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.} 1 ÷ （ b ± c ） ≠ 1 ÷ b ± 1 ÷ c {\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}
分配法則は、環（ 整数 環など）や体（ 有理数 体など）の公理の一つです。ここでは、乗法は加算に対して分配法則を満たしますが、加算は乗法に対して分配法則を満たしません。互いに分配法則を満たす2つの演算を持つ構造の例としては、集合代数 やスイッチング代数 などのブール代数 があります。
数の乗算は、次のように言葉で表すことができます。ある数と別の数を掛け合わせる場合、一方の数の各項をもう一方の数の各項と掛け合わせ（符号に注意しながら）、得られたすべての積を合計します。
例
その他の例 序数 の乗算は、左分配法則のみを持ち、右分配法則は持ちません。 外積はベクトル加算に関して左分配 法則 と右分配法則を満たすが、可換法則は満たさない。 集合 の場合、和集合は 積集合 に対して分配法則を満たし、積集合は和集合に対して分配法則を満たします。論理的選言 （「または」）は論理的結合 （「かつ」）に対して分配法則を持ち、その逆もまた然りです。実数 （および任意の全順序集合 ）の場合、最大値 演算は最小値 演算に対して分配法則を満たし、その逆もまた同様である。最大 （ 1 、 ミニ （ b 、 c ） ） = ミニ （ 最大 （ 1 、 b ） 、 最大 （ 1 、 c ） ） そして ミニ （ 1 、 最大 （ b 、 c ） ） = 最大 （ ミニ （ 1 、 b ） 、 ミニ （ 1 、 c ） ） 。 {\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ および }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).} 整数 においては、最大公約数は 最小公倍数 に対して分配法則を満たし、その逆もまた同様である。gcd （ 1 、 最小公倍数 （ b 、 c ） ） = 最小公倍数 （ gcd （ 1 、 b ） 、 gcd （ 1 、 c ） ） そして 最小公倍数 （ 1 、 gcd （ b 、 c ） ） = gcd （ 最小公倍数 （ 1 、 b ） 、 最小公倍数 （ 1 、 c ） ） 。 {\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ および }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).} 実数の場合、加算は最大演算と最小演算の両方に対して分配法則が成り立ちます。1 + 最大 （ b 、 c ） = 最大 （ 1 + b 、 1 + c ） そして 1 + ミニ （ b 、 c ） = ミニ （ 1 + b 、 1 + c ） 。 {\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ および }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).} 二項 乗算の場合、分配法はFOIL法 [ 2 ] 1 c 、 {\displaystyle ac,} 1 d 、 {\displaystyle ad,} b c 、 {\displaystyle bc,} b d {\displaystyle bd} （ 1 + b ） ⋅ （ c + d ） = 1 c + 1 d + b c + b d 。 {\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.} 複素数 、四元数 、多項式 、行列 を含むすべての半環 において、乗算は加算に対して分配法則が成り立つ。u （ v + w ） = u v + u w 、 （ u + v ） w = u w + v w 。 {\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.} 体上のすべての代数 （八元数 やその他の非結合代数 を含む）において、乗法は加法に対して分配法則が成り立つ。
命題論理
置換規則 標準的な真理関数命題論理では、論理証明における分配 [ 3 ] [ 4 ] は、ある論理式 内の特定の論理結合子 の個々の出現を、その論理式のサブ論理式全体にわたるそれらの結合子の個別の適用に展開するために、2つの有効な置換規則 を使用します。規則は次のとおりです。 （ P ∧ （ Q ∨ R ） ） ⇔ （ （ P ∧ Q ） ∨ （ P ∧ R ） ） そして （ P ∨ （ Q ∧ R ） ） ⇔ （ （ P ∨ Q ） ∧ （ P ∨ R ） ） {\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ および }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } ≡ 、 {\displaystyle \,\equiv ,\,} と論理的に同等である」を表す メタ論理 記号 です。
真理関数的結合子 分配性は 、真理関数命題論理 のいくつかの論理結合子の性質です。以下の論理的同値関係は、分配性が特定の結合子の性質であることを示しています。以下は真理関数トートロジー です。 （ P ∧ （ Q ∨ R ） ） ⇔ （ （ P ∧ Q ） ∨ （ P ∧ R ） ） 配布 接続詞 以上 選言 （ P ∨ （ Q ∧ R ） ） ⇔ （ （ P ∨ Q ） ∧ （ P ∨ R ） ） 配布 選言 以上 接続詞 （ P ∧ （ Q ∧ R ） ） ⇔ （ （ P ∧ Q ） ∧ （ P ∧ R ） ） 配布 接続詞 以上 接続詞 （ P ∨ （ Q ∨ R ） ） ⇔ （ （ P ∨ Q ） ∨ （ P ∨ R ） ） 配布 選言 以上 選言 （ P → （ Q → R ） ） ⇔ （ （ P → Q ） → （ P → R ） ） 配布 意味 （ P → （ Q ↔ R ） ） ⇔ （ （ P → Q ） ↔ （ P → R ） ） 配布 意味 以上 等価 （ P → （ Q ∧ R ） ） ⇔ （ （ P → Q ） ∧ （ P → R ） ） 配布 意味 以上 接続詞 （ P ∨ （ Q ↔ R ） ） ⇔ （ （ P ∨ Q ） ↔ （ P ∨ R ） ） 配布 選言 以上 等価 {\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}
二重分配 （ （ P ∧ Q ） ∨ （ R ∧ S ） ） ⇔ （ （ （ P ∨ R ） ∧ （ P ∨ S ） ） ∧ （ （ Q ∨ R ） ∧ （ Q ∨ S ） ） ） （ （ P ∨ Q ） ∧ （ R ∨ S ） ） ⇔ （ （ （ P ∧ R ） ∨ （ P ∧ S ） ） ∨ （ （ Q ∧ R ） ∨ （ Q ∧ S ） ） ） {\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}
分配法則と四捨五入 浮動小数点演算 などの近似演算では、演算精度 の限界により、乗算（および除算）の加算に対する分配法則が成り立たない場合があります。例えば、次の式が成り立ちます。1 / 3 + 1 / 3 + 1 / 3 = （ 1 + 1 + 1 ） / 3 {\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3} 有効桁 数に関わらず、10進数の計算 で誤りが発生します。銀行式丸め などの方法や精度を上げることで改善できる場合もありますが、最終的には計算ミスは避けられません。
リングやその他の構造物 分配性は半環、特に 環 や分配束 といった特殊な場合に最もよく見られる。
半環には、一般的に表記される 2 つの二項演算があります。+ {\displaystyle \,+\,} * 、 {\displaystyle \,*,} * {\displaystyle \,*\,} + 。 {\displaystyle \,+.}
環とは、加法逆元を持つ半環のことである。
格子は 、2 つの二項演算を持つ別の種類の代数構造 です。∧ そして ∨ 。 {\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .} ∧ {\displaystyle \,\land \,} ∨ {\displaystyle \,\lor } ∨ {\displaystyle \,\lor \,} ∧ {\displaystyle \,\land \,} 分配性 (順序理論)
ブール代数は 、特殊な環（ブール環 ）または特殊な分配束（ブール束 ）のいずれかとして解釈できます。それぞれの解釈によって、ブール代数における分配法則が異なります。
任意の半環において、分配法則を用いることで、任意の和の積は積の和であることを示すことができる（ただし、すべての積の和が必ずしも和の積であるとは限らない）。一般式は次のようになる。∏ 私 = 1 m （ ∑ j = 1 n 私 1 私 、 j ） = ∑ j 1 = 1 n 1 ∑ j 2 = 1 n 2 ⋯ ∑ j m = 1 n m ∏ 私 = 1 m 1 私 、 j 私 {\displaystyle \prod _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n_{i}}a_{i,j}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{m}=1}^{n_{m}}\;\prod _{i=1}^{m}a_{i,j_{i}}} 近環 および近体で ある。これらの演算は通常、右側では分配法則が成り立つが、左側では成り立たないように定義される。
一般化
いくつかの数学分野では、一般化された分配法則が検討されています。これには、上記の条件の緩和や無限演算への拡張が含まれる場合があります。特に順序理論 では、分配法則の重要な変種が数多く存在し、その中には無限分配法則のように無限演算を含むものもあれば、 1つの 二項演算のみが存在する場合に定義されるものもあります。これらの定義とその関係については、「分配法則（順序理論）」の記事で説明しています。また、 完全分配束 の概念も含まれます。
順序関係が存在する場合、以下の等式を置き換えることで弱めることもできます。= {\displaystyle \,=\,} ≤ {\displaystyle \,\leq \,} ≥ 。 {\displaystyle \,\geq .} 劣分配性 、および等号を「以上」に置き換える優分配性の概念が挙げられます。
圏論 では、（ S 、 μ 、 ν ） {\displaystyle (S,\mu ,\nu )} （ S ′ 、 μ ′ 、 ν ′ ） {\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)} 圏 上のモナド はC 、 {\displaystyle C,} 分配 S 。 S ′ → S ′ 。 S {\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S} 変化 λ : S 。 S ′ → S ′ 。 S {\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S} （ S ′ 、 λ ） {\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)} モナドの緩やかなマップ ですS → S {\displaystyle S\to S} （ S 、 λ ） {\displaystyle (S,\lambda )} モナドのコラックスマップ ですS ′ → S ′ 。 {\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.} S ′ 。 S {\displaystyle S^{\prime }.S} S ′ μ 。 μ ′ S 2 。 S ′ λ S {\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S} η ′ S 。 η 。 {\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .} 情報理論 の分野でも、一般化された分配法則が提案され ている 。
反分配性 あらゆる群 において逆元を二項演算に関連付ける普遍的な恒等式 、すなわち（ x y ） − 1 = y − 1 x − 1 、 {\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},} これは、より一般的な対合を持つ半群 の文脈では公理として扱われ、時には（単項演算としての反転の） 反分配特性 と呼ばれてきた。[ 5 ]
加法的に記述された群の可換性を取り除き、片側分配性のみを仮定する近環 の文脈では、（両側）分配要素だけでなく、 反分配要素 についても言及することができる。後者は（非可換な）加算の順序を逆転させる。左近環（つまり、すべての要素が左から乗算されたときに分配される環）を仮定すると、反分配要素は1 {\displaystyle a} （ x + y ） 1 = y 1 + x 1 。 {\displaystyle (x+y)a=ya+xa.} [ 6 ]
命題論理 とブール代数 の研究では、含意が論理積と論理和を因数分解する場合に、論理積と論理和の交換を表すために、反分配法則 という用語が使われることがある。 [ 7 ] （ 1 ∨ b ） ⇒ c ≡ （ 1 ⇒ c ） ∧ （ b ⇒ c ） {\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)} （ 1 ∧ b ） ⇒ c ≡ （ 1 ⇒ c ） ∨ （ b ⇒ c ） 。 {\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}
これら二つの同義反復は、 ド・モルガンの法則 における二元性の直接的な結果である。
注記
↑ Mathonlineの 二項演算の分配法則 ↑ キム・スチュワード (2011)西テキサスA&M大学 のバーチャル数学ラボによる多項式の乗算 ↑ エリオット・メンデルソン （1964）『数理論理学入門』 21ページ、D.ヴァン・ノストランド社↑ アルフレッド・タルスキ (1941)『論理学入門』 、52ページ、オックスフォード大学出版局 ↑ クリス・ブリンク。ヴォルフラム・カール。ギュンター・シュミット (1997)。コンピューターサイエンスにおけるリレーショナル手法 ISBN 978-3-211-82971-4 。 ↑ Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups . Kluwer Academic Publishers. pp. 62 and 67. ISBN 978-1-4613-0267-4 。↑ エリック・CR・ヘーナー （1993）。 『プログラミングの実践理論』 。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。230 ページ 。ISBN 978-1-4419-8596-5 。
外部リンク 無料辞書であるWiktionaryで
「分配性」 を調べてみてください。
