多重対数

数学において、多重対数（ポリログ、アルフレッド・ジョンキエールにちなんでジョンキエール関数とも呼ばれる）は、位数s、偏角zの特殊関数 Li _s ( z )である。sが特殊な値の場合にのみ、多重対数は自然対数や有理関数などの基本関数に簡約される。量子統計において、多重対数関数はフェルミ・ディラック分布とボーズ・アインシュタイン分布の積分の閉じた形式として現れ、フェルミ・ディラック積分またはボーズ・アインシュタイン積分とも呼ばれる。量子電磁力学では、正の整数位数の多重対数は、高次ファインマン図で表される過程の計算で生じる。

多重対数関数はフルヴィッツのゼータ関数と同等で、どちらの関数も他方の関数で表現でき、両方の関数はレルヒの超越関数の特殊なケースです。多重対数を多重対数関数や、下付き文字なしで同じ表記法を持つ オフセット対数積分 Li( z )と混同しないでください。

• 複素平面上の異なる多重対数関数
• 
  リチウム _-3 ( z )
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  リチウム _-2 ( z )
• 
  リチウム _-1 ( z )
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  リー₀ ( z )
• 
  リー₁ ( z )
• 
  リチウム₂ ( z )
• 
  リチウム₃ ( z )

多重対数関数はzのべき級数によって定義され、これはsのディリクレ級数でもあります。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2 } \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

この定義は、任意の複素数位数sと、 | z | < 1であるすべての複素引数zに対して有効です。解析接続のプロセスによって| z | ≥ 1に拡張できます。(ここで、分母k ^{s は}exp( s ln k )として理解されます)。 s = 1 の特別なケースでは、通常の自然対数Li ₁ ( z ) = −ln(1− z )が含まれ、 s = 2とs = 3の特別なケースは、それぞれ二重対数(スペンス関数とも呼ばれる) と三重対数と呼ばれます。 この関数の名前は、それ自体の 繰り返し積分としても定義できることに由来しています。つまり、二重対数は対数を含む関数の積分であり、以下同様に続きます。 s が 正でない整数位数の場合、多重対数は有理関数です。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$

次数が整数の場合、次数は(負の場合は )で表されます。 が複素対数の主枝であるため、と定義すると便利な場合が多くあります。また、すべての指数は単一の値であると想定されます。${\displaystyle s}$${\displaystyle s=n}$${\displaystyle s=-n}$${\displaystyle \mu =\ln(z)}$${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

の次数に応じて、多重対数は多値になることがあります。の主枝は、​​上記の級数定義によりに対して与えられ、 の正の実軸を除いて連続しているとみなされます。正の実軸では、 から への切断が行われ、軸は の下半平面に配置されます。に関して、これは に相当します。 に依存する多重対数の不連続性は、時々混乱を招くことがあります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$${\displaystyle \mu}$

実引数 に対して、実数位数の多重対数が の場合に実数となり、に対するその虚数部は(Wood 1992, §3) となります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z<1}$${\displaystyle z\geq 1}$

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

カットを横切って、ε が無限に小さい正の実数である場合、次のようになります。

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

両方とも、 μ = 0についてのLi _s ( e ^μ )の級数展開 (下記参照) から結論付けることができます。

多重対数の導関数は定義べき級数から次のように導かれます。

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{ \mu }).}$$

平方関係は級数定義から見られ、複製公式と関連している（Clunie (1954)、Schrödinger (1952)も参照）。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{ 2}).}$$

クンマー関数は、非常によく似た複製公式に従います。これは、任意の正の整数pに対する乗算公式の特殊なケースです。

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

これは、多重対数の級数定義と指数項の直交性を使用して証明できます（たとえば、離散フーリエ変換を参照）。

もう一つの重要な特性である反転公式は、フルヴィッツのゼータ関数またはベルヌーイ多項式に関係しており、以下の他の関数との関係で見つかります。

特定のケースでは、多重対数は他の関数で表現されることがあります (以下を参照)。したがって、多重対数の特定の値は、これらの他の関数の特定の値としても見つかる場合があります。

1. 多重対数階数の整数値については、Li ₁ ( z ) にz ·∂/∂ zを繰り返し適用することで、次の明示的な式が得られます。したがって、多重対数はz の多項式の比に簡約されるため、すべての非正の整数階数に対して、 zの有理関数になります。一般的な場合は、有限和として表現できます。 ここで、S ( n、k ) は、第 2 種スターリング数です。負の整数階数に適用できる同等の式は、次のとおりです (Wood 1992、§ 6)。 および次の式は、 オイラー数 です。 Li _{− n} ( z ) のすべての根は、一意で実数です。z = 0 を含み、残りは負で、対数スケールでz = −1 を中心とします。nが大きくなるにつれて、これらの有理式の数値評価では、相殺の影響がますます大きくなります (Wood 1992、§ 6)。しかし、 Hurwitzゼータ関数との一般的な関係を介して Li _{− n} ( z )を計算することで完全な精度を得ることができます（以下を参照）。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{nk}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$
2. 引数z の半整数値に対する特別な表現には、次のものがあります。 ここで、ζ はリーマンゼータ関数です。このタイプの公式は、高次の整数次数については知られていません (Lewin 1991、p. 2) が、たとえば次の式があります (Borwein、Borwein、Girgensohn 1995)。 これは、交代二重和を伴います 。 一般に、整数次数n ≥ 2 に対して次の式が成り立ちます (Broadhurst 1996、p. 9)。 ここで、ζ ( s ₁、…、s _k ) は多重ゼータ関数です。たとえば、次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2 }}(\ln 2)^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\ゼータ (3),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24 }}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$$${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. 級数の定義から明らかなように、p番目の複素 1根における多重対数の値は、フーリエ和で与えられます。 ここで、 ζはフルビッツのゼータ関数です。 Re( s ) > 1 で Li _s (1) が有限の場合、この関係はm = 0 またはm = pの場合でも成り立ちます。この式は、以下の他の関数との関係でリストされているフルビッツのゼータ関数とのより一般的な関係から示唆される式ほど単純ではありませんが、 sの非負の整数値にも適用できるという利点があります。通常どおり、この関係を逆にして、任意のm = 1, …, pについてζ ( s , ^m ⁄ _p ) をk = 1 , …, p上のLi _s (exp(2 πi ^k ⁄ _p ))のフーリエ和として表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$

• z = 1の場合、多重対数はリーマンゼータ関数に簡約される。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• 多重対数は、ディリクレ イータ関数とディリクレ ベータ関数に関連しています。ここで、 η ( s )はディリクレ イータ関数です。純虚数引数の場合は、次の式が得られます。ここで、β ( s )はディリクレ ベータ関数です。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$
• 多重対数は、完全なフェルミ・ディラック積分と次のように関係します。$${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• 多重対数は、完全なボーズ-アインシュタイン積分と次のように関係します。$${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• 多重対数は不完全多重対数関数の特殊なケースである。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• 多重対数はレルヒ超越法の特殊なケースです(Erdélyi et al. 1981, § 1.11-14)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• 多重対数は、フルヴィッツのゼータ関数と次式で関連付けられます。ただし、この関係は、正の整数sではガンマ関数Γ(1 − s )の極によって無効になり、s = 0では両方のゼータ関数の極によって無効になります。この式の導出は、以下の級数表現で示します。フルヴィッツのゼータ関数の関数方程式を少し利用すれば、多重対数は、(Jonquière 1889) によってその関数と関連付けられます。この関係は、 Im( x ) ≥ 0の場合は0 ≤ Re( x ) < 1に、Im ( x ) < 0の場合は0 < Re( x ) ≤ 1に当てはまります。同様に、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (0, 1]に対して、逆変換式は、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (1, ∞)に対して、となり、 z ∉ (0, ∞)に対して、ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z )となり、両方の式は一致します。これらの関係は、定義するべき級数の収束円 | z | = 1を越えた多重対数の解析接続を提供します。(多重対数と対数の主枝が同時に使用されると仮定すると、Jonquière (1889、式 5) と Erdélyi ら (1981、§ 1.11-16) の対応する式は正しくありません。) s が整数の場合の簡略化された式については、次の項目を参照してください。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$ $${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$
• 正の整数多重対数次数sに対して、フルヴィッツのゼータ関数 ζ(1− s , x )はベルヌーイ多項式ζ(1− n , x ) = −B _n ( x ) / nに簡約され、n = 1, 2, 3, …に対するジョンキエールの逆関数公式は次のようになります。ここでも、 Im ( x ) ≥ 0 の場合は 0 ≤ Re( x ) < 1 であり、Im( x ) < 0 の場合は 0 < Re( x ) ≤ 1 です。多重対数引数を単位円 Im( x ) = 0 に制限すると、この式の左辺は、nが偶数の場合は 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} ))に簡約され、nが奇数の場合は 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} ))に簡約されます。一方、負の整数次数の場合、Γ( s ) の発散は、すべてのzに対して次が成り立つことを意味します (Erdélyi et al. 1981、§ 1.11-17)。より一般的には、n = 0、±1、±2、±3、…に対して次が成り立ちます。ここで、両方の式はz ∉ (0, ∞)に対して一致します。(Jonquière (1889、式 1) と Erdélyi et al. (1981、§ 1.11-18) の対応する式も正しくありません。)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$
• 純虚数μを持つ多重対数はクラウゼン関数 Ci _s (θ)とSi _s (θ)で表現でき、その逆も同様である(Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• 逆正接積分 Ti _s ( z ) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.2)は多重対数で表現できます。特にこの関係は次を意味します。これは関数名を説明しています。$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$
• ルジャンドルカイ関数 χ _s ( z ) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992) は、多重対数で表すことができます。$${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• 整数次数の多重対数は、一般化された超幾何関数として表現できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• 不完全ゼータ関数または「デバイ関数」（Abramowitz & Stegun 1972、§ 27.1）の観点から見ると、正の整数 n に対する多重対数 Li _n ( z ) は有限和として表現できます（Wood 1992、§16）。驚くほどよく似た表現が、「デバイ関数」Z _n ( z ) を多重対数に関連付けます。$${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$$${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• ランバート級数を用いると、がジョルダンのトーティエント関数である場合、${\displaystyle J_{s}(n)}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

次の積分表現はいずれも、定義べき級数の 収束円 | z | = 1 を超えて多重対数の解析接続を提供します。

1. 多重対数は、ボーズ・アインシュタイン分布 の積分で表すことができます。 これは、Re( s )>0およびz実数と≥1以外のすべてのzに対して収束します。この文脈での多重対数は、ボーズ積分と呼ばれることもありますが、より一般的にはボーズ・アインシュタイン積分と呼ばれます（Dingle 1957a、Dingle、Arndt、Roy 1957）。^{[注 1]同様に、多重対数は}、フェルミ・ディラック分布の積分で表すことができます。 これは、Re( s )>0およびz実数と≤-1以外のすべてのzに対して収束します。この文脈での多重対数は、フェルミ積分またはフェルミ・ディラック積分と呼ばれることもあります（GSL 2010、Dingle 1957b）。これらの表現は、 zに関する被積分関数のテイラー展開と項ごとの積分によって容易に検証されます。ディングルの論文には、両方のタイプの積分の詳細な調査が含まれています。多重対数は、マクスウェル-ボルツマン分布の積分とも関連しています。 これにより、原点付近での多重対数の 漸近的な動作も得られます。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$$${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$$${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$
2. 相補積分表現は、Re( s )<0と、z実数および≥0 を除くすべてのzに適用されます。 この積分は、多重対数とフルヴィッツゼータ関数(上記参照)との一般的な関係と、後者のよく知られた積分表現から得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$
3. 多重対数は、一般にハンケル積分 (Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13) で表すことができます。これは、ボーズ-アインシュタイン表現を負の次数sまで拡張したものです。被積分関数のt = μ 極が非負の実軸上になく、s ≠ 1, 2, 3, … である 限り、次が成り立ちます。 ここで、H はハンケル積分を表します。被積分関数は、実軸に沿ってゼロから無限大まで切断され、軸はtの下半平面に属します。積分は上半平面 (Im( t ) > 0) の +∞ から始まり、いずれの極も囲まずに原点を周回しt = μ + 2 kπi、下半平面 (Im( t ) < 0) の +∞ で終了します。μが実数かつ非負の場合、囲まれたt = μ極の寄与を単純に減算することができます。 ここでRは極の 剰余です。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$$${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. アベル・プラーナの公式を多重対数の定義級数に適用する と、すべての複素数zとすべての複素数sに対して有効なエルミート型の積分表現が得られます。 ここで、Γ は上側不完全ガンマ関数 です。この式の ln( z )のすべて (一部を除く) は、 −ln( ¹ ⁄ _z )に置き換えることができます。関連する表現はすべての複素数sに対しても成り立ち、 不完全ガンマ関数の使用を回避しますが、この積分はRe( s ) ≤ 0の場合、正の実軸上のzに対しては失敗します。この表現は、 2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1) と書き、最初の Φ 級数にアベル–プラーナ公式を適用し、 2 番目の Φ 級数に 1 / ( e ^{2 πt} − 1) の代わりに1 / ( e ^{2 πt} + 1) を含む補足式を適用することで得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$
5. 通常の等比級数を項ごとに 積分することで、多重対数の積分を表すことができます（Borwein、Borwein、Girgensohn 1994、§2、式4）。${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ harv error: no target: CITEREFBorweinBorweinGirgensohn1994 (help) $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

1. 前述の積分表現で述べたように、多重対数のボーズ・アインシュタイン積分表現は、ハンケル積分によって負の次数sまで拡張できます。 ここで、Hはハンケル積分、s ≠ 1, 2, 3, …、および被積分関数のt = μ極は非負の実軸上にありません。積分曲線は、 t − μ = 2 kπiで被積分関数の極を囲むように変更でき、積分は留数の和として評価できます(Wood 1992、§ 12、13; Gradshteyn & Ryzhik 1980、§ 9.553 )。 これは、 Re( s ) < 0 およびe ^μ = 1の場合を除くすべてのμ に対して成り立ちます。0 < Im( μ ) ≤ 2 πの場合、和は次のように分割できます。 ここで、2 つの級数は、Hurwitz ゼータ関数 と同一視できます。 この関係は、すでに他の関数との関係で示されており、すべての複素数s ≠ 0、1、2、3、… に対して成り立ち、(Jonquière 1889、式 6) で初めて導出されました。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$
2. 多重対数をμ = 0 についてのべき級数として表すために、ハンケルの輪郭積分から導かれる級数を次のように書きます。 和の二項べきをμ = 0 について展開し、和の順序を逆にすると、hについての和は閉じた形式で表すことができます。 この結果は | μ | < 2 πに対して成り立ち、ゼータ関数によって提供される解析接続のおかげで、すべてのs ≠ 1, 2, 3, … に対して成り立ちます。 順序が正の整数、s = nの場合、 k = n − 1 の項とガンマ関数は両方とも無限大になりますが、それらの和は無限大にはなりません。 次の式が得られます (Wood 1992、§ 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980、§ 9.554 )。 ここで、 h についての和は、 k = 0の場合にゼロになります。したがって、正の整数順序および | μ |に対して< 2 π の場合、次の級数が得られます。 ここで、H _{n は}n番目の調和数を表します。 問題の項には、 −ln(− μ ) が含まれます。これは、μ ^{n −1を掛けると、} n = 1を除いて、μ → 0としてゼロに近づきます。これは、 Li _s ( z ) がs = 1 およびz = 1で真の対数特異点を示すという事実を反映しています。 s が正の整数に近いが等しくない 場合、 μ = 0についての展開の発散項によって計算が困難になることが予想されます (Wood 1992、§ 9)。エルデーリの対応する ln( z )のべき乗展開 (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15)は、多重対数と対数の主枝が同時に使用されると仮定すると正しくありません。これは、 ln( ¹ ⁄ _z ) が −ln( z )に一様に等しくないためです。 sが正でない整数値の場合、 μ = 0についての展開におけるゼータ関数 ζ( s − k ) はベルヌーイ数に簡約されます: ζ(− n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k )。 Li _{− n} ( z )の数値評価$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)$${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$$${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$$${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$) をこの級数で代入すると、上記の特定の値の下で与えられた有限有理数式が大きなnに対して示す相殺効果の影響を受けません。
3. 恒等式を使うと、 多重対数のボーズ・アインシュタイン積分表現（上記参照）は、次の形式に変換できます。 双曲余接を二国間級数に置き換え、 積分と和の順序を逆にし、最後に被加数を上側不完全ガンマ関数の積分表現と同一視すると、次式が得られます。 この結果の二国間級数と双曲余接の二国間級数の両方について、− k _maxからk _maxまで の対称部分和は、k _max → ∞として無条件に収束します。したがって、和が対称的に実行されると、 Li _s ( z )のこの級数は、すべての複素数sとすべての複素数zに対して成立します。 $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$$${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$
4. 第二種スターリング数 の明示的な表現を非正整数位数の多重対数に対する有限和（上記参照）に導入すると、次のように書くことができます。 外側の和を単純に ∞ まで拡張して得られる無限級数（Guillera & Sondow 2008、定理 2.1）は、 すべての複素数sおよびRe( z ) < ¹ ⁄ ₂である複素数zに対して多重対数に収束することがわかります。これは、| ^{− z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂に対して、和の順序を逆にして次を使用することで確認できます。 これらの級数の内部係数は、一般化調和数を含むスターリング数関連の式で表すことができます。 たとえば、次の恒等式の証明（証明への参照）を見つけるには、 生成関数変換を参照してください。 Re( z ) < ¹ ⁄ ₂ である他の引数については、解析接続によって結果が従います。この手順は、多重対数を定義する zの級数にオイラー変換を適用することと同じです。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$$${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$