リーマン・ロッホの定理

リーマン・ロッホの定理

分野	代数幾何学と複素解析
最初の証明	グスタフ・ロッホ
最初の証明	1865
一般化	アティヤ・シンガーの指数定理 グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 ヒルツェブルッフ・リーマン ・ロッホの定理 曲面のリーマン・ロッホの定理 リーマン・ロッホ型定理
結果	特殊因子に関するクリフォードの定理 リーマン・フルヴィッツの公式

リーマン・ロッホの定理は、数学、特に複素解析と代数幾何学における重要な定理であり、零点が規定され極が許容される有理型関数の空間の次元を計算するためのものである。これは、連結コンパクト・リーマン面の複素解析と、その面の純粋に位相的な種数gとを、純粋に代数的な設定に持ち越せる形で関連付けるものである。

この定理は、当初はリーマン (1857) によってリーマンの不等式として証明されましたが、リーマンの短命な弟子グスタフ・ロッホ(1865) の研究の後、リーマン面に対する決定的な形に達しました。後に代数曲線、高次元多様体、さらにそれ以上の次元  に一般化されました。

リーマン面は 、複素数全体の集合であるの開部分集合に局所的に同相な位相空間である。さらに、これらの開部分集合間の遷移写像は正則であることが要求される。後者の条件により、正則関数と有理型関数を扱う複素解析の概念と手法を、面 に転用することができる。リーマン・ロッホの定理では、面は常にコンパクトであると仮定される。口語的に言えば、リーマン面の種数はハンドルの数である。たとえば、右に示すリーマン面の種数は 3 である。より正確には、種数は第 1ベッチ数の半分、つまり複素係数を持つ第1 特異ホモロジー群の -次元の半分として定義される。種数は、同相までコンパクト リーマン面を分類する。つまり、そのような 2 つの面が同相である場合は、それらの種数が同じである必要がある。したがって、種数はリーマン面の重要な位相不変量である。一方、ホッジ理論によれば、種数は上の正則 1 形式の空間の -次元と一致するため、種数はリーマン面に関する複素解析的情報もエンコードする。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$

因子は、 曲面上の点の 自由アーベル群の要素です。同様に、因子は、整数係数を持つ曲面上の点の有限線形結合です。${\displaystyle D}$

任意の有理型関数は次のように定義される 因子を生じる。${\displaystyle f}$${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

ここで は のすべての零点と極の集合であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{\nu}}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a poll of order }}a\end{cases}}}$。

集合は有限であることが知られています。これは、コンパクトであることと、（非ゼロの）正則関数の零点が集積点を持たないという事実の結果です。したがって、は明確に定義されます。この形式の任意の因子は主因子と呼ばれます。主因子が異なる 2 つの因子は線型同値と呼ばれます。有理型1 形式の因子も同様に定義されます。大域有理型 1 形式の因子は標準因子（通常は と表記）と呼ばれます。任意の 2 つの有理型 1 形式は線型同値な因子を生成するため、標準因子は線型同値性を除いて一意に決定されます（したがって、「その」標準因子）。 ${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f)}$${\displaystyle K}$

記号は、因子 の次数（インデックスと呼ばれることもあります） 、つまり に現れる係数の合計を表します。大域有理型関数の因子は常に次数 0 を持つことが示され、したがって因子の次数はその線型同値類のみに依存します。 ${\displaystyle \deg(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

数は、主に関心のある量、すなわち、曲面上の有理型関数のベクトル空間の次元（ 上）であり、 のすべての係数は非負です。直感的には、これは、すべての点における極が の対応する係数よりも悪くないすべての有理型関数であると考えることができます。におけるの係数が負の場合、は で少なくともその重複度の零点を持つことが要求されます。 における係数が正の場合、 は最大でその次数の極を持つことができます。線型同値な因子のベクトル空間は、（スカラーまで明確に定義されている）大域有理型関数との乗算を通じて自然に同型になります。 ${\displaystyle \ell (D)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle h}$${\displaystyle (h)+D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z}$${\displaystyle h}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h}$

標準因子状態 を持つ種数のコンパクトなリーマン面に対するリーマン・ロッホの定理${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$。

通常、数は関心のあるものであり、は補正項（特殊性指数^{[2] [3]}とも呼ばれる）と考えられるため、定理は次のように大まかに言い換えることができる。 ${\displaystyle \ell (D)}$${\displaystyle \ell (KD)}$

次元−補正=次数−種数+ 1。

ベクトル空間の次元であるため、補正項は常に非負であり、したがって ${\displaystyle \ell (KD)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$。

これはリーマンの不等式と呼ばれる。この文のロッホの部分は、不等式の辺の間の可能な差を記述したものである。種数 の一般的なリーマン面では、因子を表すために選択された有理型形式とは無関係に、 は次数を持つ。これは、定理に を代入することで得られる。特に、 が少なくとも次数 を持つ限り、補正項は 0 なので、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle D=K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1}$。

ここで、この定理を低種数の曲面について説明しましょう。この定理には、線束を使用したこの定理の同等の定式化や、代数曲線への定理の一般化など、密接に関連する定理が他にも多数あります。

この定理は、問題の表面上の点を選び、数列について考えること によって説明される。${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

すなわち、 を除くあらゆる場所で正則な関数の空間の次元です。この場合、関数は最大で の位数の極を持つことができます。 の場合、関数は完全な、つまり表面 全体で正則である必要があります。リウヴィルの定理により、このような関数は必ず定数になります。したがって、 です。一般に、数列は増加数列です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell (0)=1}$${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

リーマン球面（複素射影直線とも呼ばれる）は単連結であり、したがってその第一特異ホモロジーはゼロである。特にその種数はゼロである。球面は の2つのコピーで覆われることができ、遷移写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$。

したがって、の一方のコピー上の形式はリーマン球面上の有理型形式に拡張される。無限遠に二重極を持つ。 ${\displaystyle \omega =dz}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

したがって、その標準因子は(ここでは無限大点) です。 ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$${\displaystyle P}$

したがって、定理によれば、この数列は ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1、2、3、...。

この数列は部分分数の理論からも読み取ることができます。逆に、この数列がこのように始まる場合、はゼロでなければなりません。 ${\displaystyle g}$

次のケースは、種数 のリーマン面、例えばトーラスで、 は2 次元格子( と同型の群) です。その種数は 1 です。その最初の特異ホモロジー群は、右の図に示すように、2 つのループによって自由に生成されます。上の標準複素座標は、どこでも正則である、つまり極をまったく持たない 上の1 形式を生み出します。したがって、の約数は0 です。 ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \omega =dz}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \omega}$

この表面では、このシーケンスは

1、1、2、3、4、5 ... ;

そして、これは の場合を特徴づけます。確かに、 の場合、は、上で述べたとおりです。 の場合、の次数は厳密に負であるため、補正項は 0 です。次元のシーケンスは、楕円関数の理論からも導くことができます。 ${\displaystyle g=1}$${\displaystyle D=0}$${\displaystyle \ell (KD)=\ell (0)=1}$${\displaystyle D=n\cdot P}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle KD}$

の場合、上記のシーケンスは ${\displaystyle g=2}$

1、1、？、2、3、...。

このことから、次数 2 の ? 項は点に応じて 1 または 2 であることが示されます。任意の種数 2 の曲線には、シーケンスが 1、1、2、2、... である点が正確に 6 つあり、残りの点は一般的なシーケンス 1、1、1、2、... を持つことが証明できます。特に、種数 2 の曲線は超楕円曲線です。ほとんどの点でシーケンスが1 で始まり、他のシーケンスを持つ点が有限個あることは常に真です(ワイエルシュトラス点を参照)。 ${\displaystyle g>2}$${\displaystyle g+1}$

リーマン面上の因子と正則直線束の密接な対応を利用して、定理は異なるが同等な方法で述べることもできる。LをX上の正則直線束とする。Lの正則切断空間を とする。この空間は有限次元であり、その次元は と表記される。KをX上の標準バンドルとする。すると、リーマン・ロッホの定理は次のように述べる。 ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$。

前のセクションの定理は、L が点束である場合の特別なケースです。

この定理は、次のようにKのg 個の線型独立な正則切断、またはX上の1 形式が存在することを示すために適用できます。 X上の正則関数は定数だけなので、L を自明バンドルとします。L の次数は0 であり、自明バンドルです。したがって、 ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$。

したがって、g 個の正則 1 形式 が存在することが証明されます。${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

標準バンドルはなので、リーマン・ロッホの法則 を に適用すると、${\displaystyle K}$${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

したがって、標準バンドルの次数は です。 ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

リーマン面上の因子に対するリーマン・ロッホの定理の上記の定式化における各項目は、代数幾何学において類似物を持つ。リーマン面の類似物は、体k上の非特異 代数曲線 Cである。用語の違い (曲線と面) は、実多様体としてのリーマン面の次元が 2 であるのに対し、複素多様体としてのリーマン面の次元は 1 であるためである。リーマン面のコンパクト性は、代数曲線が完全であるという条件と平行しており、これは射影的であることと同義である。一般体k上では、特異 (コ) ホモロジーという適切な概念はない。いわゆる幾何学的種数は次のように定義される。

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

すなわち、大域的に定義された（代数的）1形式の空間の次元として（ケーラー微分を参照）。最後に、リーマン面上の有理型関数は、局所的には正則関数の分数として表される。したがって、それらは、局所的には正則関数の分数である有理関数に置き換えられる。したがって、すべての点での極がD内の対応する係数よりも悪くない曲線上の有理関数の空間の次元（ k上）について書くと、上記とまったく同じ式が成り立つ。 ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$。

ここでCは代数的に閉じた体 k上の射影的非特異代数曲線である。実際、任意の体上の射影曲線に対して同じ式が成り立つが、因子の次数は、基底体の可能な拡張と因子を支える点の剰余体から来る重複度を考慮する必要がある。 ^{[4]最後に、}アルティン環上の適切な曲線の場合、因子に関連付けられた直線束のオイラー特性は、因子の次数（適切に定義される）と構造層のオイラー特性の和で与えられる。^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

定理の滑らかさの仮定も緩和することができる。すなわち、すべての局所環がゴレンシュタイン環であるような代数閉体上の（射影）曲線に対して、上で定義した幾何学的種数を次のように定義される算術的種数 g _aに置き換えれば、 上と同じことが成り立つ。

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$^[6 ]

（滑らかな曲線の場合、幾何学的種数は算術的種数と一致する。）この定理は一般の特異曲線（および高次元多様体）にも拡張されている。^[7]

リーマン・ロッホの重要な帰結の一つは、曲線上の直線束のヒルベルト多項式を計算する公式を与えることである。直線束が十分であれば、ヒルベルト多項式は射影空間への埋め込みを与える第1次を与える。例えば、標準層の次数は であり、種数 の十分な直線束を与える。^[8]とすると、リーマン・ロッホの公式は ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n( 2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

ヒルベルト多項式の次数を与えると${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$。

曲線を埋め込むために三重標準層が使用されるため、ヒルベルト多項式 ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

は、曲線のヒルベルトスキーム（および代数曲線のモジュライ空間）を構成する際に一般的に考慮される。この多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

これは種数gの曲線のヒルベルト多項式と呼ばれます。

この式をさらに分析すると、オイラー特性は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$。

である。なぜなら、 の次数はすべての に対して負であり、大域セクションを持たないことを意味するため、 の大域セクションから何らかの射影空間への埋め込みが存在する。特に、であるため、 はへの埋め込みを与える。これは、代数曲線のモジュライ空間の構築に有用である。なぜなら、それを射影空間として使用して、ヒルベルト多項式 を持つヒルベルト方式を構築できるからである。^[9]${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$${\displaystyle H_{C}(t)}$

次数dの既約平面代数曲線は、適切に数えると、( d  − 1)( d  − 2)/2 −  g個の特異点を持ちます。したがって、曲線が ( d  − 1)( d  − 2)/2 個の異なる特異点を持つ場合、それは有理曲線であり、したがって有理パラメータ化が可能です。

リーマン面または代数曲線間の（分岐）写像に関するリーマン・フルヴィッツの公式は、リーマン・ロッホの定理の結果です。

クリフォードの特殊因子に関する定理もリーマン・ロッホの定理の帰結である。これは、を満たす特殊因子（つまり ）に対して、次の不等式が成り立つことを述べている：^[10]${\displaystyle \ell (K-D)>0}$${\displaystyle \ell (D)>0}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$。

代数曲線の命題は、セール双対性を使って証明できます。整数は、 Dに関連付けられた線束の大域セクションの空間の次元です(カルティエ因子を参照)。層コホモロジーの観点で、したがって、 、および同様にとなります。しかし、曲線の特定のケースにおける非特異射影多様体に対するセール双対性は、 が双対 に同型であると述べています。したがって、左側は因子Dのオイラー特性に等しくなります。D = 0 のとき、構造層のオイラー特性は定義により であることがわかります。一般因子の定理を証明するには、因子に点を 1 つずつ追加していき、オイラー特性がそれに応じて右側に変換されるようにします。 ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$${\displaystyle 1-g}$

コンパクト リーマン面の定理は、代数バージョンからChow の定理とGAGA原理を使用して演繹できます。実際、すべてのコンパクト リーマン面は、複素射影空間内の代数方程式によって定義されます。(Chow の定理は、射影空間の任意の閉じた解析サブ多様体は代数方程式によって定義されると述べており、GAGA 原理は、代数多様体の層コホモロジーは、同じ方程式によって定義される解析多様体の層コホモロジーと同じであると述べています。)

代数曲線の場合の証明と同様に議論することで、チョウの定理の使用を避けることができますが、すべての係数が非負である有理型関数hの層に置き換えます。ここで、点を除数に加えるとオイラー特性が望みどおりに変換されるという事実は、短完全列によって誘導される長完全列から読み取ることができます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

ここで はPにおける超高層ビル層であり、マップは番目のローラン係数を返します。ここで です。^[11]${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$${\displaystyle -k-1}$${\displaystyle k=D(P)}$

算術的なリーマン・ロッホの定理の一種は、 kが大域体で、f がkのアイデルの適切に許容される関数である場合、すべてのアイデルaに対して、ポアソン和の公式が成り立つことを述べています。

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$。

kが有限体上の代数曲線の関数体であり、fがk上で自明な任意の指標である特別な場合には、幾何学的なリーマン・ロッホの定理が回復される。^[12]

算術リーマン・ロッホ定理の他のバージョンでは、アラケロフ理論を利用して、従来のリーマン・ロッホ定理にさらに正確に似せています。

曲線に対するリーマン・ロッホの定理は、 1850年代にリーマンとロッホによってリーマン面に対して証明され、代数曲線に対しては1931年に有限特性の完全体に関する研究をしていたフリードリヒ・カール・シュミットによって証明された。ピーター・ロケットは次のように述べている。[ ^13]

FK シュミットの最初の主要な業績は、コンパクトなリーマン面上の古典的なリーマン-ロッホの定理が有限基底体を持つ関数体に応用できることを発見したことです。実際、彼のリーマン-ロッホの定理の証明は、必ずしも有限である必要はなく、任意の完全基底体に対して有効です。

これは、その後の曲線の理論が、そこから得られる情報を洗練させようとするという意味で基礎的なものである（たとえば、ブリル・ノイマン理論）。

高次元のバージョンもあります（適切な約数または線束の概念に対して）。それらの一般的な定式化は、定理を2つの部分に分割することに依存しています。1つは現在セール双対性と呼ばれ、項を第1層コホモロジー群の次元として解釈します。ゼロ次コホモロジー群、または切断空間の次元では、定理の左側はオイラー特性になり、右側はリーマン面の位相に従って補正された次 数として計算されます。${\displaystyle \ell (K-D)}$${\displaystyle \ell (D)}$

2次元の代数幾何学では、そのような公式がイタリア学派の幾何学者によって発見され、曲面に対するリーマン・ロッホの定理が証明されました（いくつかのバージョンがあり、最初のものはおそらくマックス・ネーターによるものです）。

n次元の一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、代数位相幾何学の特性類の応用としてフリードリヒ・ヒルツェブルッフによって発見され証明されました。ヒルツェブルッフは小平邦彦の研究に多大な影響を受けました。ほぼ同じ時期に、ジャン＝ピエール・セールは、現在知られているセール双対性の一般形を与えていました。

アレクサンダー・グロタンディークは1957年に、現在グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理として知られる広範囲にわたる一般化を証明した。彼の研究は、リーマン・ロッホを多様体に関する定理としてではなく、2つの多様体間の射に関する定理として再解釈した。証明の詳細は、1958年にアルマン・ボレルとジャン＝ピエール・セールによって出版された。 ^[14]その後、グロタンディークと彼の協力者は証明を簡略化し、一般化した。^[15]

最終的に、代数位相幾何学でも一般版が発見されました。これらの開発は、基本的にすべて 1950 年から 1960 年の間に行われました。その後、アティヤ - シンガー指数定理によって一般化への別の道が開かれました。その結果、コヒーレント層のオイラー特性は、十分に計算可能になりました。交代和内の 1 つの加数だけについては、消失定理などの追加の議論を使用する必要があります。

• アラケロフ理論
• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
• ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理
• 川崎のリーマン・ロッホ公式
• ヒルベルト多項式
• 代数曲線の係数

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• ミーシャ・カポビッチ『リーマン・ロックの定理』（講義ノート）初歩的な紹介
• J. グレイ「リーマン・ロッホの定理と幾何学、1854-1914」
• 任意の体上の滑らかな射影曲線に対するリーマン・ロッホは存在するか？