量子調和振動子

量子調和振動子は、古典調和振動子の量子力学的類似物である。任意の滑らかなポテンシャルは通常、安定した平衡点の近傍での調和ポテンシャルとして近似できるため、量子力学で最も重要なモデル系の一つである。さらに、正確な解析解が知られている数少ない量子力学系の一つでもある。^{[1] [2] [3]}

粒子のハミルトニアンは、 mが 粒子の質量、kが力定数、振動子の角周波数、位置演算子（座標基底でxで与えられる）、運動量演算子（座標基底で与えられる） です。ハミルトニアンの最初の項は粒子の運動エネルギーを表し、2番目の項はフックの法則のように位置エネルギーを表します。^[4]$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$

時間に依存しないシュレーディンガー方程式（TISE）は、 は時間に依存しないエネルギーレベル、つまり固有値を指定する実数（決定する必要がある）を表し、解は そのレベルのエネルギー固有状態を表します。^[5]$${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

次に、この固有値問題を表す微分方程式を、波動関数 について、スペクトル法を用いて座標基底で解く。解の族が存在することが分かる。この基底では、それらはエルミート関数となる。^{[6] [7]}${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

関数H _{n は}物理学者のエルミート多項式であり、 $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

対応するエネルギーレベルは^[8] 位置と運動量の期待値と各変数の分散を波動関数から導き出すことで、エネルギー固有値の挙動を理解することができる。問題の対称性により、 それらは次のように示される。$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}}$

位置と運動量の分散は、エネルギーレベルが高くなるにつれて増加することが観察されています。最も低いエネルギーレベルの値は不確定性関係により最小値となり、ガウス波動関数にも対応します。^[9]${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$

このエネルギースペクトルは、3 つの理由で注目に値します。第 1 に、エネルギーは量子化されており、離散的なエネルギー値 ( ħωの整数プラス半倍) のみが可能であるということを意味します。これは、粒子が閉じ込められている場合の量子力学システムの一般的な特徴です。第 2 に、これらの離散的なエネルギーレベルは、原子のボーアモデルや箱の中の粒子とは異なり、等間隔になっています。第 3 に、達成可能な最低エネルギー ( n = 0状態のエネルギー、基底状態と呼ばれる) は、ポテンシャル井戸の最小値ではなく、それよりħω /2上にあります。これは、ゼロ点エネルギーと呼ばれます。ゼロ点エネルギーのため、基底状態の振動子の位置と運動量は固定されていません (古典的な振動子の場合とは異なり)。ハイゼンベルクの不確定性原理に従って、小さな範囲の変動があります。

基底状態の確率密度は原点に集中しており、これは粒子がほとんどの時間をポテンシャル井戸の底で過ごすことを意味します。これはエネルギーがほとんどない状態の場合に予想されることです。エネルギーが増加すると、確率密度は古典的な「転換点」でピークに達します。ここでは状態のエネルギーがポテンシャルエネルギーと一致します (以下の高度に励起された状態に関する説明を参照してください)。これは古典的な調和振動子と一致しており、粒子は転換点の近くで最も多くの時間を費やします (したがって、粒子が見つかる可能性が高くなります)。そこでは粒子は最も遅く移動します。したがって、対応原理が満たされます。さらに、不確実性が最小限の特別な非分散波パケットはコヒーレント状態と呼ばれ、図に示すように古典的なオブジェクトと非常によく似た振動をします。これらはハミルトニアンの固有状態で はありません。

ポール・ディラックが開発した「ラダー演算子」法では、微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出できます。^{[10]これは、特に}量子場の理論において、より複雑な問題に一般化できます。このアプローチに従って、演算子aとその随伴演算子a ^{† を}定義します。 これらの演算子は、古典的には、およびの位相空間における正規化された回転の生成子とまったく同じであり、つまり、古典的な調和振動子の時間における前方および後方の発展を記述します。^{[説明が必要]} $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$

これらの演算子により、および は次のように表現されます。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$$

演算子a はエルミートではない。なぜなら、それ自身とその随伴演算子a ^{† は}等しくないからである。エネルギー固有状態| n ⟩は、これらのラダー演算子によって操作されると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

上記の関係から、次の特性を持つ 数値演算子Nを定義することもできます。$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=a^{\dagger }a\\N\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

標準的な交換関係を代入することで、次の交換子を簡単に得ることができる。 $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1,\qquad [N,a^{\dagger }]=a^{\dagger },\qquad [N,a]=-a,}$$

そしてハミルトン演算子は次のように表される。 $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right),}$$

したがって、 Nの固有状態はエネルギーの固有状態でもあります。これを確認するには、数値状態に当てはめます。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

数値演算子の特性を使用する: ${\displaystyle {\hat {N}}}$

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

結果は次のようになります:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

したがって、ハミルトニアン演算子 の TISE を解くので、 は対応する固有値を持つその固有状態の 1 つでもあります。 ${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

はい。

交換性の性質により $${\displaystyle {\begin{aligned}Na^{\dagger }|n\rangle &=\left(a^{\dagger }N+[N,a^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left(a^{\dagger }N+a^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1)a^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

同様に、 $${\displaystyle Na|n\rangle =(n-1)a|n\rangle .}$$

これは、 a が| n ⟩に作用して 乗法定数まで | n –1⟩を生成し、a ^{† が}| n ⟩に作用して | n +1⟩を生成することを意味します。このため、a は消滅演算子（「低下演算子」）、a ^{† は}生成演算子（ 「上昇演算子」）と呼ばれます。2つの演算子を合わせてラダー演算子と呼びます。

任意のエネルギー固有状態が与えられた場合、それに低下演算子aを作用させて、 ħω少ないエネルギーを持つ別の固有状態を生成することができます。低下演算子を繰り返し適用することで、 E = −∞までのエネルギー固有状態を生成できるようです。しかし、 $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

数演算子の最小の固有値は0であり、 $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

この場合、その後の低減演算子の適用は、追加のエネルギー固有状態ではなく、単にゼロを生成する。さらに、上で示したように、 $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

最後に、|0⟩に上昇演算子を作用させ、適切な正規化係数を掛けることで、エネルギー固有状態の無限集合を生成することができる。 $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

これ は前のセクションで示したエネルギースペクトルと一致する。 $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$

任意の固有状態は|0⟩で表される^[11] $${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

前述の分析は代数的であり、上昇演算子と下降演算子の間の交換関係のみを使用しています。代数的分析が完了したら、解析的な問題に移ります。まず、基底状態、つまり方程式の解を見つけます。位置表現では、これは 1 次微分方程式であり、 その解はガウス^{[nb 1]}であることが簡単にわかり ます。概念的には、この方程式の解が 1 つだけであることが重要です。たとえば、2 つの線形独立な基底状態がある場合、調和振動子の 2 つの独立した固有ベクトル チェーンが得られます。基底状態が計算されると、位置表現の上昇演算子の明示的な形式を使用して、励起状態がガウス基底状態のエルミート多項式倍数であることを帰納的に示すことができます。また、基底状態の一意性から予想されるように、ラダー法によって構築されたエルミート関数のエネルギー固有状態が完全な正規直交関数セットを形成することを証明することもできます。^[12]${\displaystyle a\psi _{0}=0}$$${\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}=0,}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}.}$$${\displaystyle \psi _{n}}$

前のセクションと明示的に結び付けると、位置表現における基底状態|0⟩は によって決定される ため 、 、 などが成り立ちます。 ${\displaystyle a|0\rangle =0}$$${\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow }$$ $${\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)=\psi _{0}~,}$$$${\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger }\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}$$${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle }$

量子調和振動子は長さとエネルギーの自然なスケールを持っており、これを使って問題を簡略化することができます。これらは無次元化によって見つけることができます。

その結果、 エネルギーがħωの単位で測定され 、距離が_√ħ / ( mω )の単位で測定される場合、ハミルトニアンは 次のように簡略化され、エネルギー固有関数と固有値は、半分だけオフセットされたエルミート関数と整数に簡略化されます。 ここで、Hn ( x )はエルミート多項式です。 $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}$$ $${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$

混乱を避けるため、この記事ではこれらの「自然単位」はほとんど採用しません。ただし、計算を実行するときに煩雑さを回避するため、これらの単位が役立つことがよくあります。

例えば、この振動子の時間依存シュレーディンガー作用素であるH − i∂ _tの基本解（伝播関数）は、単純にメーラー核に帰着します。^{[13] [14]} ここでK ( x , y ;0) = δ ( x − y )です。与えられた初期配置ψ ( x ,0)に対する最も一般的な解は、単純に $${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,}$$$${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

調和振動子のコヒーレント状態（グラウバー状態とも呼ばれる）は、最小の不確実性σ _x σ _p = ℏ ⁄ 2を持つ特殊な非分散波束であり、その観測量の期待値は古典系のように進化する。これらはハミルトニアンではなく消滅演算子の固有ベクトルであり、結果として直交性を欠く過剰完備基底を形成する。^[15]

コヒーレント状態は| n ⟩基底で次のように インデックス付けされ表現される。${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .}$$

コヒーレント状態はエネルギー固有状態ではないため、その時間発展は波動関数の位相の単純なシフトではありません。ただし、時間発展した状態もコヒーレント状態ですが、位相シフトパラメータαが代わりに使用されます。${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$$${\displaystyle |\alpha (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle }$$

および Kermack-McCrae 恒等式により、最後の形式は基底状態に作用するユニタリ変位演算子と同等です。期待値を計算します。 ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}|\alpha _{0}|\cos {(\omega t-\phi )}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}|\alpha _{0}|\sin {(\omega t-\phi )}}$

ここで、は複素αによって寄与される位相です。これらの式は粒子の振動挙動を裏付けています。 ${\displaystyle \phi }$

数値法を使用して計算された不確実性は次のとおりです。

${\displaystyle \sigma _{x}(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(t)={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

となる。位置-運動量の不確実性が最小となる波動関数はガウス波動関数のみであり、コヒーレント状態の波動関数は位置-運動量の不確実性が最小となるため、量子力学における一般的なガウス波動関数は次の形式となる。期待値を時間の関数として代入すると、必要な時間変動波動関数が得られる。${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$

各エネルギー固有状態の確率を計算すると、波動関数のエネルギー分布がわかります。

${\displaystyle P(E_{n})=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$

これはポアソン分布に対応します。

nが大きい場合、固有状態は古典的な許容領域、つまりエネルギーE _nを持つ古典的な粒子が移動できる領域に局在します。固有状態は、転換点の近くでピークになります。転換点とは、古典的な粒子が方向を変える、古典的な許容領域の端にある点です。この現象は、エルミート多項式の漸近解析とWKB 近似によって検証できます。

xにおける振動の周波数は、エネルギーE _n および位置xの古典粒子の運動量p ( x )に比例します。さらに、振幅の二乗 (確率密度を決定) はp ( x )に反比例し 、古典粒子がx付近で過ごす時間の長さを反映します。転換点の小さな近傍でのシステムの挙動は、単純な古典的説明はありませんが、エアリー関数を使用してモデル化できます。エアリー関数の特性を使用すると、粒子が古典的に許容される領域の外側にある確率を、およそ次のように推定できます。 これは、漸近的に、積分によっても与えられます。 $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

量子力学の位相空間定式化では、準確率分布のいくつかの異なる表現における量子調和振動子の固有状態を閉じた形式で記述することができます。これらの中で最も広く使用されているのは、ウィグナー準確率分布です。

エネルギー固有状態| n⟩のウィグナー準確率分布は、上記の自然単位では^{[引用が必要]} であり、 ここでLn_はラゲール多項式です。この例は、エルミート多項式とラゲール多項式がウィグナー写像を通じてどのようにリンクされているかを示しています。 $${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(2(x^{2}+p^{2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$

一方、調和振動子の固有状態のHusimi Q 関数はさらに単純な形式になります。上記の自然単位で作業する場合、次の式が得られます 。この主張は、 Segal–Bargmann 変換 を 使って検証できます。具体的には、Segal–Bargmann 表現の累乗演算子は単に を乗算したもので、基底状態は定数関数 1 であるため、この表現の正規化された調和振動子の状態は単に です。この時点で、Segal–Bargmann 変換に関して Husimi Q 関数の式を参照できます。 $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$${\displaystyle z=x+ip}$${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$

1次元の調和振動子は、N次元に容易に一般化できる。ここで、N = 1, 2, 3, … 。1次元では、粒子の位置は単一の座標 xで指定されていた。N次元では、これはN個の位置座標に置き換えられ、 x ₁ , …, x _Nとラベル付けされる。各位置座標に対応するのは運動量であり、これをp ₁ , …, p _Nとラベル付けする。これらの演算子間の 標準的な交換関係は、$${\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}$$

このシステムのハミルトニアンは $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}$$

このハミルトニアンの形から明らかなように、N次元調和振動子は、同じ質量とバネ定数を持つN 個の独立した 1 次元調和振動子とまったく同じです。この場合、量x ₁、...、x _{N は}、 N個の粒子のそれぞれの位置を表します。これは、 r ²ポテンシャルの便利な特性であり、これにより、位置エネルギーを 1 つの座標ごとに異なる項に分割できます。

この観察により、解決は簡単になります。特定の量子数セットの場合、N次元振動子のエネルギー固有関数は、1 次元固有関数で次のように表されます。 ${\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }$$

ラダー演算子法では、N組のラダー演算子を定義する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}$$

1次元の場合と同様の手順で、a _i演算子とa ^† _i演算子のそれぞれがエネルギーをℏωだけ下げたり上げたりすることがわかります。ハミルトニアンは、 このハミルトニアンは、動的対称群U ( N ) ( N次元のユニタリー群) の下で不変であり、次のように定義されます。 ここで、はU ( N )の定義行列表現の要素です。 $${\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}$$$${\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),}$$${\displaystyle U_{ji}}$

システムのエネルギーレベルは $${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}$$ $${\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}$$

1 次元の場合と同様に、エネルギーは量子化されます。基底状態のエネルギーは、 N個の独立した1次元振動子との類推から予想されるように、1 次元の基底エネルギーのN倍です。さらにもう 1 つの違いがあります。1 次元の場合、各エネルギー レベルは固有の量子状態に対応します。N次元では、基底状態を除いて、エネルギー レベルは縮退しており、同じエネルギーを持つ状態が複数存在します。

退化は比較的簡単に計算できます。例として、3 次元の場合を考えます。n = n ₁ + n ₂ + n ₃と定義します。同じn を持つすべての状態は同じエネルギーを持ちます。特定のnに対して、特定のn _{1 を}選択します。すると、n ₂ + n ₃ = n − n ₁となります。可能なペアはn − n ₁ + 1 個あります{ n ₂、n ₃ }。 n _{2 は}0からn − n ₁までの値を取り、各n _{2に対して}n ₃の値は固定されています。したがって、退化の次数は次のようになります。 一般的なNおよびn の式[ g _nは、ユニタリ群U ( N )の対称既約n乗表現の次元]: 上記の 特殊なケースN = 3 は、この一般的な方程式から直接導かれます。ただし、これは区別可能な粒子、またはN次元内の 1 つの粒子 (次元は区別可能であるため)にのみ当てはまります。 1 次元調和トラップ内のNボソンの場合、縮退はN以下の整数を使用して整数n を分割する方法の数に応じてスケールされます。 $${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$$${\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}}$$

$${\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}$$

これは、 N個の量子を および の状態 ket に配置するという制約により生じます。これらの制約は、整数分割の場合と同じ制約です。 ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$

球対称の 3 次元調和振動子内の粒子のシュレーディンガー方程式は、変数の分離によって明示的に解くことができます。この手順は、水素のような原子の問題で実行される分離に似ていますが、球対称のポテンシャル が異なり 、μは粒子の質量です。以下では磁気量子数としてm が使用されるため、質量は この記事の前半で 示したmではなくμで示されます。$${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$

この方程式の解は^[16] である。 $${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$正規化定数です。${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

一般化ラゲール多項式です。多項式の次数k は非負の整数です。

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$は球面調和関数である。
• ħは換算プランク定数である。${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

エネルギーの固有値は エネルギーは通常単一の量子数で記述される$${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

k は非負の整数なので、任意の偶数nに対してℓ = 0, 2, …, n − 2, nが成り立ち、任意の奇数nに対してℓ = 1, 3, …, n − 2, n が成り立ちます。磁気量子数m は− ℓ ≤ m ≤ ℓ を満たす整数なので、任意のnおよびℓに対して、 mでラベル付けされた2 ℓ  + 1 個の異なる量子状態が存在します。したがって、レベルnでの退化は、nが偶数か奇数 かに応じて、合計が 0 または 1 から始まる場所です 。この結果は上記の次元の公式に従っており、関連する退化群 SU(3) [ ^17]の対称表現の次元に相当します。$${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$

調和振動子の表記は、多数の粒子からなる 1 次元格子に拡張できます。N個の同一原子からなる1 次元の量子力学的調和鎖を考えてみましょう。これは格子の最も単純な量子力学的モデルであり、ここからフォノンがどのように発生するかを見ていきます。このモデル用に開発する形式は、2 次元および 3 次元に容易に一般化できます。

前の節と同様に、質量の位置を 平衡位置から測った x ₁、x ₂、…で表す（つまり、粒子i が平衡位置にある場合はx _i = 0）。2次元以上の場合、 x i_はベクトル量である。このシステムの ハミルトニアンは

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$ ここで、 m_は各原子の（均一であると仮定した）質量、 xiと pi_はi番目の原子の位置と運動量演算子であり、合計は最近傍原子（nn）に対して行われます。ただし、より便利なフーリエ空間で作業できるように、ハミルトニアンを粒子座標ではなく波動ベクトルの通常モードで書き直すのが通例です。

そこで、 x の離散フーリエ変換として定義される N 個の「正規座標」Q kと_、 pのフーリエ変換として定義されるN 個の「共役運動量」 Πを導入する。 $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$ $${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

量k _{n は}フォノンの波数、つまり 2 π を波長 で割った値になります。原子の数は有限なので、量子化された値を取ります。

これにより、実空間または波数ベクトル空間のいずれにおいても、望ましい交換関係が維持される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

一般的な結果から、 基本的な三角法を通して、位置エネルギー項が 次の式で 表されることは簡単である 。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}$$$${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

ハミルトニアンは波動ベクトル空間では次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

位置変数間の結合が変換されて除去されていることに注意してください。Q と Π がエルミートである場合(実際はそうではありません)、変換されたハミルトニアンはN 個の非結合調和振動子を記述します。

量子化の形は境界条件の選択に依存する。簡単のため、周期境界条件を課し、( N +1)番目の原子を最初の原子と同等と定義する。物理的には、これは鎖の端を結合することに対応する。結果として得られる量子化は

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

nの上限は最小波長から来ており、これは上で説明したように格子間隔a の2 倍です。

モードω _kの調和振動子の固有値またはエネルギーレベルは $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

ゼロ点エネルギーを無視すると、レベルは均等に配置され、 $${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {7}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$$

したがって、調和振動子格子を次のエネルギーレベルに押し上げるには、正確な量のエネルギー ħωを調和振動子格子に供給する必要があります。電磁場が量子化される光子の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれます。

すべての量子系は波のような性質と粒子のような性質を示す。フォノンの粒子のような性質は、他の場所で説明されている第二量子化法と演算子技術を使用することで最もよく理解される。^[18]

連続体極限では、a  → 0、N  → ∞となり、Na は固定されます。標準座標Q _{k は}スカラー場の分離された運動量モードに移行し、位置インデックスi (変位動的変数ではない) はスカラー場のパラメータx引数になります。 ${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle \phi (x,t)}$

• 二原子分子の振動は、量子調和振動子の2体バージョンの一例である。この場合、角周波数は次のように表される。ここで、は換算質量であり、およびは2つの原子の質量である。^[19]$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$
• フックの原子は、量子調和振動子を使用したヘリウム原子の単純なモデルです。
• 上で説明したように、フォノンをモデル化します。
• 均一な磁場内の質量を持つ電荷は、1 次元の量子調和振動子、つまりランダウ量子化の例です。${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {B} }$

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