球対称ポテンシャル中の粒子

それでは、${\displaystyle V(r)=0}$無次元変数の導入$${\displaystyle \rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},}$$この方程式は、次のベッセル方程式になります。${\displaystyle J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)}$:$${\displaystyle \rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0}$$正のエネルギーに対する正則解は、いわゆる第一種ベッセル関数によって与えられる。${\displaystyle J_{\ell +1/2}(\rho )}$そのため、解答は${\displaystyle R(r)}$いわゆる球面ベッセル関数

$${\displaystyle R(r)=j_{\ell }(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr).}$$

真空中の極座標におけるシュレーディンガー方程式の解は、3つの量子数によってラベル付けされる。すなわち、離散的なインデックスℓとm、および連続的に変化するkである。${\displaystyle [0,\infty )}$:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$これらの解は、平面波によって与えられる明確な（線形）運動量ではなく、明確な角運動量の状態を表しています。${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$。

可能性を考慮する${\displaystyle V(r)=V_{0}}$のために${\displaystyle r<r_{0}}$そして${\displaystyle V(r)=0}$他の場所、つまり半径の球の内部${\displaystyle r_{0}}$電位は${\displaystyle V_{0}}$そして球の外側ではゼロとなる。このような有限の不連続性を持つポテンシャルは方形ポテンシャルと呼ばれる。^{[ 3 ]}

まず束縛状態、つまり粒子が箱の中にほぼ収まっている状態（閉じ込められた状態）を考えます。これらの状態はエネルギーを持ちます。${\displaystyle E}$球の外側の電位よりも小さい、つまり負のエネルギーを持つ。また、無限個の離散的な束縛状態を持つクーロンポテンシャルとは異なり、球状の方形井戸は有限の範囲を持つため、束縛状態は有限個（あるいは存在しない）であることも注目に値する。

この解法は基本的に上記の真空の場合と同様で、全波動関数の正規化が追加され、球の内側と外側で、前例と同じ種類の2つのシュレーディンガー方程式（すなわち、定数ポテンシャル）を解く。正規化可能な物理的波動関数には、以下の制約が満たされなければならない。

1. 波動関数は原点において正則でなければならない。
2. 波動関数とその導関数は、電位不連続点において連続でなければならない。
3. 波動関数は無限遠で収束しなければならない。

最初の制約は、ノイマン関数とハンケル関数が原点で特異であるという事実から生じる。${\displaystyle \psi }$真空の場合、他の可能性よりも第一種ベッセル関数が選択される。同じ理由で、球内部の解は次のようになる。$${\displaystyle R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.}$$束縛状態の場合、${\displaystyle V_{0}<E<0}$束縛状態は真空の場合と比較して新しいものをもたらす。${\displaystyle E<0}$これは、3番目の制約条件と合わせて、無限遠で収束する唯一の解として第1種ハンケル関数を選択する（これらの関数の原点における特異点は、我々が球の外側にいるため問題にならない）。$${\displaystyle R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}}$$連続性に関する2番目の制約${\displaystyle \psi }$で${\displaystyle r=r_{0}}$正規化と併せて定数の決定を可能にする${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$導関数（便宜上、対数導関数）の連続性には、エネルギーの量子化が必要である。

ポテンシャル井戸が無限に深い場合、${\displaystyle V_{0}=0}$球体の内部と${\displaystyle \infty }$外側では、球の内部の波動関数（球面ベッセル関数）を球の外側の完全にゼロの波動関数に一致させるという問題になります。許容されるエネルギーは、境界で動径波動関数がゼロになるエネルギーです。したがって、球面ベッセル関数のゼロを使用して、エネルギー スペクトルと波動関数を見つけます。${\displaystyle u_{\ell ,k}}$k^番目のゼロ${\displaystyle j_{\ell }}$、 我々は持っています：$${\displaystyle E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}}$$つまり、問題はこれらの零点の計算に帰着する。${\displaystyle u_{\ell ,k}}$通常は表や電卓を使用して解く必要があります。なぜなら、これらのゼロは一般的な場合には解くことができないからです。

特別な場合${\displaystyle \ell =0}$（球対称軌道）球面ベッセル関数は${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$、そのゼロは簡単に次のように与えられる${\displaystyle u_{0,k}=k\pi }$それらのエネルギー固有値は次のとおりです。 $${\displaystyle E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}}$$

3D等方性調和振動子のポテンシャルは $${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.}$$ N次元等方性調和振動子のエネルギーは次のようになります 。$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,}$$ つまり、${\displaystyle n}$は非負の整数である。${\displaystyle \omega }$は、​${\displaystyle N}$発振器のモード。この場合${\displaystyle N=3}$すると、動径シュレディンガー方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.}$$

ご紹介します $${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}}$$ そしてそれを思い出す${\displaystyle u(r)=rR(r)}$動径シュレディンガー方程式には正規化された解が存在することを示す。 $${\displaystyle R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),}$$ 関数${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})}$は一般化されたラゲール多項式である。${\displaystyle \gamma r^{2}}$順序の${\displaystyle k}$。

正規化定数${\displaystyle N_{n\ell }}$は、 $${\displaystyle N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.}$$

固有関数${\displaystyle R_{n\ell }(r)}$エネルギーに関連している${\displaystyle E_{n}}$、 どこ $${\displaystyle \ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$$これは量子調和振動子 と同じ結果であり、${\displaystyle \gamma =2\nu }$。

水素様原子は、原子核と電子からなる2粒子系である。2つの粒子は、クーロンの法則によって与えられるポテンシャルを介して相互作用する。 $${\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}}$$ どこ

• ε₀_は真空の誘電率であり、
• Zは原子番号（eZは原子核の電荷）です。
• eは素電荷（電子の電荷）であり、
• rは電子と原子核の間の距離である。

シュレーディンガー方程式を簡略化するために、原子のエネルギーと長さの単位を定義する以下の定数を導入します。

$${\displaystyle E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.}$$

どこ${\displaystyle \mu \approx m_{e}}$換算質量は${\displaystyle m_{e}\ll m_{\text{nucleus}}}$制限。代替${\displaystyle y=Zr/a_{0}}$そして${\displaystyle W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})}$上記の動径シュレーディンガー方程式に代入すると、すべての自然定数が隠された方程式が得られます。 $${\displaystyle \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.}$$ この方程式には2種類の解が存在する。

クラス（i）のWが負の場合、量${\displaystyle \alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}}$は現実的で肯定的です。${\displaystyle y}$すなわち、${\displaystyle x\equiv \alpha y}$シュレーディンガー方程式を与える。 $${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.}$$

のために${\displaystyle x\rightarrow \infty }$xの逆べき乗は無視できるほど小さく、大きな値に対する正規化可能な（したがって物理的な）解は${\displaystyle x}$は${\displaystyle \exp[-x/2]}$同様に、${\displaystyle x\rightarrow 0}$逆二乗が支配的で、小さな場合の物理的解は${\displaystyle x}$x ^{ℓ +1}です。したがって、全範囲の解を得るには、 $${\displaystyle u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).}$$

の方程式${\displaystyle f_{l}(x)}$となる、 $${\displaystyle \left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.}$$

提供された${\displaystyle n-\ell -1}$は非負整数であり、この方程式は次のように多項式解を持つ。 $${\displaystyle L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,}$$ これらは次数が一般化されたラゲール多項式である${\displaystyle k}$エネルギーは$${\displaystyle W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.}$$

主量子数${\displaystyle n}$満たす${\displaystyle n\geq \ell +1}$。 以来${\displaystyle \alpha =2/n}$総動径波動関数は $${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),}$$ 正規化により、余分な項が吸収されます。${\textstyle {\frac {1}{r}}}$$${\displaystyle N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},}$$^{[ 4 ]} 経由

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.}$$

対応するエネルギーは $${\displaystyle E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .}$$