解析解を持つ量子力学システムの一覧

時間依存の非相対論的シュレーディンガー方程式の閉じた形の解を理解することで、量子力学に関する多くの洞察が得られます。それは次の形をとります。

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi {\left(\mathbf {r} ,t\right)}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V{\left(\mathbf {r} \right)}\right]\psi {\left(\mathbf {r} ,t\right)}=i\hbar {\frac {\partial \psi {\left(\mathbf {r} ,t\right)}}{\partial t}},}$$

ここで、は系の波動関数、はハミルトニアン演算子、 は時間である。この方程式の定常状態は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解くことによって求められる。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V{\left(\mathbf {r} \right)}\right]\psi {\ left(\mathbf {r} \right)}=E\psi {\left(\mathbf {r} \right)},}$$

これは固有値方程式です。多くの場合、特定の物理システムとその関連する位置エネルギーに対して、シュレーディンガー方程式の数値解のみが見つかります。ただし、固有関数の形とそれに関連するエネルギー、つまり固有値を見つけることができる物理システムのサブセットが存在します。解析解を持つこれらの量子力学システムは、以下にリストされています。

• 2状態量子システム（最も単純な量子システム）
• 自由粒子

• 1次元ポテンシャル
  • リングまたはリング導波管内の粒子
  • デルタ電位
    • 単一のデルタ電位
    • 二重井戸デルタ電位
  • ステップの可能性
    • 箱の中の粒子/無限のポテンシャル井戸
    • 有限のポテンシャル井戸
    • ステップポテンシャル
    • 長方形のポテンシャル障壁
  • 三角ポテンシャル
  • 二次ポテンシャル
    • 量子調和振動子
    • 均一磁場を印加した量子調和振動子^[1]
  • 逆平方根ポテンシャル^[2]
  • 周期的なポテンシャル
    • 格子内の粒子
    • 有限長の格子内の粒子[ ^3]
  • ペシュル・テラーの可能性
  • 量子振り子
• 3次元のポテンシャル
  • 回転システム
    • リニアリジッドローター
    • 対称トップ
  • 球対称ポテンシャル内の粒​​子
    • 水素原子または水素に似た原子（例：ポジトロニウム）
    • ディリクレ境界条件を持つ球状空洞内の水素原子[ ^4]
    • ミーポテンシャル^[5]
    • フックの原子
    • モールス電位
    • スフェリウム原子​
• 調和トラップにおけるゼロ距離相互作用^[6]
• 多状態ランダウ・ツェナーモデル^[7]
• ラッティンガー液体（粒子間相互作用を含むモデルに対する唯一の正確な量子力学的解）

• 量子力学的ポテンシャルのリスト– 解析的可解性を考慮しない物理的に関連するポテンシャルのリスト
• 積分可能なモデルのリスト
• WKB近似
• 準正確に解ける問題

• マティス、ダニエル C. (1993)。『多体問題: 1 次元で正確に解けるモデルの百科事典』。ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-02-0975-9。