フシミQの表現

1940年にコディ・フシミによって導入された フシミQ表現^[1]は、量子力学^[2]で一般的に使用される準確率分布であり、位相空間定式化における光などの量子状態の位相空間分布を表します。^[3]これは量子光学^[4]の分野で使用され、特にトモグラフィーの目的で使用されます。また、超伝導体における量子効果の研究にも応用されています。^[5]

フシミQ分布（量子光学の文脈ではQ関数と呼ばれる）は、位相空間における準確率の最も単純な分布の1つです。これは、反正規順序で書かれた観測量が光学的等価定理に従うような方法で構築されています。つまり、これは本質的に密度行列を正規順序に並べたものです。これにより、他の準確率分布と比較して、式を通じて比較的簡単に計算できます。

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle ,}$

これはコヒーレント状態への射影を含む演算子のトレースに比例する。これは状態ρの図式表現を生成し、その数学的特性のいくつかを説明する。^{[6]計算が比較的容易なのは、他の準確率分布に比べて滑らかであることに関係している。実際、これは}ウィグナー準確率分布のワイエルシュトラス変換、すなわちガウスフィルタによる平滑化 として理解することができる。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}|\alpha \rangle \langle \alpha |}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta )e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta .}$

このようなガウス変換は、畳み込み定理によってフーリエ領域で本質的に可逆であるため、Q は、ウィグナー分布によって提供されるものと同等の位相空間における量子力学の記述を提供します。

あるいは、波動関数の セガル・バーグマン変換を取り、関連する確率密度を計算することによって、フシミ Q 分布を計算することもできます。

Qは1に正規化され、

${\displaystyle \int Q(\alpha )\,d^{2}\alpha =1}$

は非負定値^[7]かつ有界である：

${\displaystyle 0\leq Q(\alpha )\leq {\frac {1}{\pi }}.}$

Q は標準の結合確率分布のように非負定値で有界であるという事実にもかかわらず、異なるコヒーレント状態は直交しないため、この類似性は誤解を招く可能性があります。2 つの異なる点α は、互いに素な物理的偶発性を表しません。したがって、確率論の第 3 公理で必要とされるように、 Q(α) は相互に排他的な状態の確率を表しません。

Qはグラウバー・スダルシャンP表現の異なるワイエルシュトラス変換によっても得られる。

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ,}$

、およびコヒーレント状態の標準的な内積 が与えられます。${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\beta ,\beta ^{*})|{\beta }\rangle \langle {\beta }|\,d^{2}\beta }$

• 準確率分布 § 特性関数
• 非古典的な光
• グラウバー・スダルシャン P 表現
• ヴェールエントロピー