インスタントン

インスタントン（または擬粒子^{[1] [2] [3] ）は、理論物理学と}数理物理学に登場する概念である。インスタントンは、量子力学または量子場の理論における、有限でゼロでない作用を持つ運動方程式の古典的な解である。より正確には、ユークリッド時空上の古典的な場の理論の運動方程式の解である。^[4]

このような量子理論では、運動方程式の解は作用の臨界点として考えることができます。作用の臨界点は、作用の極大値、極小値、または鞍点です。インスタントンは、次の理由から量子場理論で重要です。

• これらは経路積分において、システムの古典的な振る舞いに対する主要な量子補正として現れ、
• これらは、ヤン＝ミルズ理論などのさまざまなシステムにおけるトンネル効果の挙動を研究するために使用できます。

ダイナミクスに関連して、インスタントンのファミリーにより、インスタントン、つまり運動方程式の異なる臨界点が互いに関連づけられるようになります。物理学では、インスタントン (およびノイズ誘起反インスタントン) の凝縮が、自己組織化臨界として知られるノイズ誘起カオス位相の説明になると考えられているため、インスタントンは特に重要です。

数学的には、ヤン＝ミルズインスタントンは、非可換ゲージ理論における物理的時空の役割を果たす4次元リーマン多様体上の主バンドルにおける自己双対または反自己双対接続である。インスタントンは、その位相型内でエネルギー関数を絶対的に最小化するヤン＝ミルズ方程式の位相的に非自明な解である。 ^{[5]このような解が最初に発見されたのは、4次元ユークリッド空間を}4次元球面にコンパクト化した場合にであり、時空に局在することが判明したため、擬粒子やインスタントンという名前が付けられた。

ヤン＝ミルズインスタントンは、多くの場合、代数曲面上の代数ベクトル束に関連付けるツイスター理論や、幾何学的不変量理論の手順であるADHM構成、またはハイパーケーラー還元（ハイパーケーラー多様体を参照）によって明示的に構築されている。後にフィールズ賞を受賞したサイモン・ドナルドソンの画期的な研究では、与えられた4次元微分可能多様体上のインスタントンのモジュライ空間を、その微分可能構造に依存する多様体の新しい不変量として使用し、同相4次元多様体ではなく微分同相4次元多様体の構築に適用した。インスタントンの研究で開発された多くの方法は、モノポールにも適用されている。これは、磁気モノポールがヤン＝ミルズ方程式の次元縮小の解として生じるためである。^[6]

インスタントンは、ポテンシャル障壁を通過する量子力学的粒子の遷移確率を計算するために使用できます。インスタントン効果を持つシステムの1つの例は、二重井戸ポテンシャル内の粒​​子です。古典的な粒子とは対照的に、粒子が自身のエネルギーよりも高いポテンシャルエネルギーの領域を通過する確率はゼロではありません。^[4]

二重井戸型ポテンシャル内の単一粒子の運動の量子力学を考えてみましょう。 ポテンシャルエネルギーは で最小値を取ります。これらは古典力学で粒子がそのうちの 1 つに位置する傾向があるため、古典的極小値と呼ばれます。古典力学には 2 つの最低エネルギー状態があります。 ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$${\displaystyle x=\pm 1}$

量子力学では、シュレーディンガー方程式を解く

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

エネルギー固有状態を特定します。これを行うと、2 つの状態ではなく、唯一の最低エネルギー状態のみが見つかります。基底状態の波動関数は、量子干渉または量子トンネル効果により、古典的な最小値の 1 つだけではなく、両方の最小値に局在します。 ${\displaystyle x=\pm 1}$

インスタントンは、ユークリッド時間における経路積分定式化の半古典的近似内でなぜこれが起こるのかを理解するためのツールです。まず、波動関数自体を近似的に計算する WKB 近似を使用してこれを確認し、次に経路積分定式化を使用してインスタントンを導入します。

この確率を計算する一つの方法は、半古典的なWKB近似を用いることで、 の値が小さいことが必要である。粒子 の 時間に依存しないシュレーディンガー方程式は次のように表される。${\displaystyle \hbar}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

電位が一定であれば、比例係数までの解は平面波となる。

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

と

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

これは、粒子のエネルギーがポテンシャルエネルギーよりも小さい場合、指数関数的に減少する関数が得られることを意味します。関連するトンネル振幅は、

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

ここで、aとb はトンネル軌道の始点と終点です。

あるいは、経路積分を使用するとインスタントン解釈が可能になり、このアプローチでも同じ結果が得られます。経路積分定式では、遷移振幅は次のように表すことができます。

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

ウィック回転（解析接続）の過程をユークリッド時空（ ）に辿ると、 ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

ユークリッド作用

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

ウィック回転により位置エネルギーの符号が変わり、最小値が最大値に変換され、最大エネルギーの 2 つの「丘」が現れます。 ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$${\displaystyle V(x)}$

ここで、二重井戸型ポテンシャル のユークリッド作用の極小値を考えてみましょう。計算を簡単にするために と設定します。2つの古典的に最もエネルギーの低い状態がどのようにつながっているかを知りたいので、と と設定します。とについて、ユークリッド作用を次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle S_{E}}$${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

上記の不等式は、条件およびの解によって飽和します。このような解は存在し、 およびの場合には解は単純な形をとります。インスタントン解の明示的な式は次のように与えられます。 ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

ここで、任意の定数は です。この解は の周りで 1 つの古典真空から別の古典真空に瞬時にジャンプするため、インスタントンと呼ばれます。 ${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

二重井戸型ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の固有エネルギーの明示的な式は、シュレーディンガー方程式に摂動法（および境界条件）を適用して導出するとともに、経路積分（およびWKB）から明示的に導出することで、ミュラー・キルステン^[7]によって与えられている。結果は次のようになる。シュレーディンガー方程式とポテンシャルのパラメータを次の式で定義する。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

そして

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

の固有値は次のようになります。 ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

明らかに、これらの固有値は、ポテンシャルの調和部分の結果として予想されるように漸近的に（）退化しています。 ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

数学的に明確に定義されたユークリッド経路積分から得られた結果は、ウィック回転して戻すことができ、（潜在的に発散する）ミンコフスキー経路積分を適切に処理することによって得られるのと同じ物理的結果を与える。この例からわかるように、ミンコフスキー経路積分で粒子が古典的に禁制の領域（ ）をトンネルで通過する遷移確率を計算することは、ユークリッド経路積分で古典的に許容される領域（ポテンシャルが − V ( X )である）をトンネルで通過する遷移確率を計算することに対応する（図で言えば、ユークリッドの図では、この遷移は、逆立ちした二重井戸型ポテンシャルの一方の丘からもう一方の丘へと転がる粒子に対応する）。ユークリッド運動方程式のこの古典的な解は、しばしば「キンク解」と呼ばれ、インスタントンの一例である。この例では、二重井戸型ポテンシャルの 2 つの「真空」（すなわち基底状態）が、問題のユークリッド化されたバージョンでは丘に変わる。 ${\displaystyle V(x)}$

このように、 （ユークリッド、すなわち虚数時間を伴う）（１＋１）次元場理論のインスタントン場の解は、最初の量子化された量子力学的記述であり、物理的（１次元空間＋実時間）ミンコフスキー系の２つの真空（基底状態、高次状態は周期的なインスタントンを必要とする）間のトンネル効果として解釈することができる。

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

インスタントン、すなわち

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

（つまりエネルギーを伴う）は ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

ユークリッド時間は どこにありますか。${\displaystyle \tau =it}$

注意すべきは、これら2つの真空のうちの1つの周りの素朴な摂動論（ミンコフスキーの記述）だけでは、この非摂動的なトンネル効果は決して示されず、この量子力学システムの真空構造の図を劇的に変えてしまうということである。実際、素朴な摂動論は境界条件によって補完されなければならず、これらが非摂動効果をもたらす。これは、上記の明示的な式や、コサインポテンシャル（マシュー関数を参照）や他の周期ポテンシャル（ラメ関数や回転楕円体波動関数などを参照）などの他のポテンシャルに対する類似の計算からも明らかであり、シュレーディンガー方程式を使用するか経路積分を使用するかには関係ない。^[8]

したがって、摂動的なアプローチでは、物理システムの真空構造を完全には記述できない可能性があります。これは、たとえば「アクシオン」の理論で重要な結果をもたらす可能性があります。アクシオンでは、非自明な QCD 真空効果 (インスタントンなど)によってペッチェイ-クイン対称性が明示的に損なわれ、質量のないナンブ-ゴールドストーン ボソンが質量のある擬似ナンブ-ゴールドストーン ボソンに変換されます。

1 次元場の理論または量子力学では、ユークリッド時間と有限のユークリッド作用を伴う古典的な (ニュートンのような) 運動方程式の解である場の構成を「インスタントン」と定義します。ソリトン理論の文脈では、対応する解はキンクとして知られています。古典的な粒子の挙動との類似性を考慮して、このような構成または解は、他のものと同様に、擬似粒子または擬古典的構成として総称されます。「インスタントン」(キンク) 解には、「反インスタントン」(反キンク) として知られる別の解が伴い、インスタントンと反インスタントンはそれぞれ +1 と -1 の「位相電荷」によって区別されますが、ユークリッド作用は同じです。

「周期的インスタントン」はインスタントンの一般化です。^[9]明示的な形式では、周期関数（実質的には三角関数の一般化）であるヤコビアン楕円関数で表現できます。無限周期の限界では、これらの周期的インスタントン（「バウンス」や「バブル」などと呼ばれることが多い）はインスタントンに縮小されます。

これらの擬古典的構成の安定性は、擬粒子構成の周りの理論を定義するラグランジアン展開し、その周りの小さな変動の方程式を調べることで調べることができます。4次ポテンシャル（二重井戸、反転二重井戸）および周期的（マシュー）ポテンシャルのすべてのバージョンについて、これらの方程式はラメ方程式であることが発見されました。ラメ関数を参照してください。^[10]これらの方程式の固有値は既知であり、不安定性の場合、経路積分の評価によって減衰率を計算できます。^[9]

反応速度理論の文脈では、周期的インスタントンは化学反応における原子のトンネル速度を計算するために使用される。化学反応の進行は、高次元のポテンシャルエネルギー面（PES）上の擬似粒子の動きとして記述することができる。熱反応速度定数は、自由エネルギーの虚数部と次のように関連付けることができる^[11]。${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

ここで、は標準的な分割関数であり、位置表現におけるボルツマン演算子のトレースを取得することによって計算されます。 ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

ウィック回転とユークリッド時間を と同一視すると、質量加重座標における分配関数の経路積分表現が得られる。^[12]${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

次に、経路積分は最急降下積分によって近似され、古典的解とその周りの二次変動からの寄与のみを考慮に入れます。これにより、質量加重座標における速度定数の表現が得られます。

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

ここで、は周期的なインスタントンであり、は反応物の状態構成を表す静止擬粒子の自明な解です。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

二重井戸型ポテンシャルについては、反転二重井戸型ポテンシャルの固有値を導くことができる。しかし、この場合、固有値は複素数である。方程式によってパラメータを定義すると、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

ミュラー・キルステンによって与えられた固有値は、${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

この式の虚数部はベンダーとウーのよく知られた結果と一致している。^[13]彼らの表記では${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

量子場理論(QFT) を研究する際、理論の真空構造がインスタントンに注目するかもしれません。二重井戸の量子力学システムが示すように、単純な真空は場の理論の真の真空ではないかもしれません。さらに、場の理論の真の真空は、位相的に等価でないいくつかのセクターの「重なり」、いわゆる「位相 真空」である可能性があります。

インスタントンとその解釈のよく理解され、説明的な例は、非可換ゲージ群^{[注 2]}を持つ QFT の文脈で見ることができる。ヤン・ミルズ理論では、これらの非同値なセクターは (適切なゲージでは) SU(2)の3 番目のホモトピー群(その群多様体は3 次元球面) によって分類できる。特定の位相真空 (真の真空の「セクター」) は、変更されていない変換、ポンチャギン指数によってラベル付けされる。 の 3 番目のホモトピー群は整数の集合であることがわかっているので、 ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$${\displaystyle (S^{3})=}$${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

位相的に等価でない真空は無限に存在し、 で表され、 はそれらの対応するポンチャギン指数である。インスタントンは、ユークリッド時空における古典的な運動方程式を満たす場の構成であり、これらの異なる位相的真空間のトンネル効果として解釈される。これはまた、そのポンチャギン指数である整数でラベル付けされる。指数を持つインスタントンを想像して、位相的真空と間のトンネル効果を定量化することができる。Q = 1 の場合、構成は発見者であるAlexander Belavin、Alexander Polyakov、Albert S. Schwarzおよび Yu. S. Tyupkin にちなんでBPST インスタントンと名付けられる。理論の真の真空は「角度」theta でラベル付けされ、位相的セクターの重なりである。 ${\displaystyle N\rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle |N\rangle }$${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

ジェラルド・トホーフトは[1]で、フェルミオンと結合した理論におけるBPSTインスタントンの効果の場の理論的計算を初めて行いました。彼は、インスタントン背景におけるディラック方程式のゼロモードが、低エネルギー有効作用における非摂動的なマルチフェルミオン相互作用につながることを示しました。

構造群G、基底M、接続A、曲率（ヤン・ミルズ場テンソル）Fを持つ主バンドル上の古典的なヤン・ミルズ作用は、

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

ここで は上の体積形式です。 の内積、すなわち のリー代数が値を取る上のキリング形式によって与えられる場合、これは と表記できます。 ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

例えば、ゲージ群 U(1)の場合、Fは電磁場テンソルになります。定常作用の原理から、ヤン・ミルズ方程式が導かれます。

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

最初の方程式は、d F = d ² A = 0 なので恒等方程式ですが、2 番目の方程式は接続Aの 2 次偏微分方程式であり、ミンコフスキー電流ベクトルがゼロにならない場合は、2 番目の方程式の右辺のゼロは に置き換えられます。しかし、これらの方程式がいかに類似しているかに注目してください。それらはホッジスターだけ異なります。したがって、より単純な 1 次 (非線形) 方程式の解は ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

は自動的にヤン・ミルズ方程式の解にもなります。この簡略化は 4 個の多様体で発生します。つまり、2 次元形式上では となります。このような解は通常存在しますが、その正確な性質は、基本空間 M、主バンドル P、ゲージ群 G の次元と位相に依存します。 ${\displaystyle s=1}$${\displaystyle *^{2}=+1}$

非可換ヤン＝ミルズ理論では、Dは外共変微分である。さらに、ビアンキ恒等式${\displaystyle DF=0}$${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

満足です。

量子場の理論では、インスタントンは4次元ユークリッド空間（ミンコフスキー時空のウィック回転として考えられている）における位相的に非自明な場の構成である。具体的には、空間無限遠で純粋なゲージに近づくヤン・ミルズゲージ場Aを指す。これは、場の強度が

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

無限遠で消えます。インスタントンという名前は、これらの場が空間と（ユークリッド）時間、つまり特定の瞬間に局在するという事実に由来しています。

2次元空間上のインスタントンの場合は、ゲージ群の最も単純なケース、つまりアーベル群であるU(1)が許容されるため、視覚化が容易である可能性があります。この場合、場Aは単なるベクトル場として視覚化できます。インスタントンは、たとえば矢印が中心点から離れる方向を指している構成です(つまり、「ヘッジホッグ」状態)。ユークリッド4次元では、アーベルインスタントンは不可能です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

インスタントンの場の構成は真空のものとは非常に異なります。このため、摂動効果のみを含むファインマン図を使用してインスタントンを研究することはできません。インスタントンは基本的に非摂動的です。

ヤン・ミルズエネルギーは次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

ここで、∗ はホッジ双対である。ヤン・ミルズ方程式の解が有限のエネルギーを持つと主張するならば、解の無限遠（極限としてとられる）における曲率はゼロでなければならない。これは、チャーン・サイモンズ不変量が3次元境界で定義できることを意味する。これは、ストークスの定理を介して、積分を取ることと同等である。

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

これはホモトピー不変量であり、インスタントンが どのホモトピークラスに属するかを示します。

非負の被積分関数の積分は常に非負なので、

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

θ はすべての実数に対して成り立つ。つまり、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

この境界が飽和している場合、解はBPS状態です。このような状態では、ホモトピー不変量の符号に応じて、∗ F = Fまたは∗ F = − Fのいずれかになります。

標準モデルでは、インスタントンは電弱セクターと色力学セクターの両方に存在すると予想されているが、その存在はまだ実験的に確認されていない。^{[14]インスタントン効果は、量子}色力学（QCD）の真空中の凝縮体の形成を理解する上で、また、QCDの軸電流異常によって質量を獲得した、いわゆる「イータプライム粒子」ゴールドストーンボソン^{[注 3]}の質量を説明する上で重要である。空間次元が1つ追加された理論では、対応するソリトンが存在する場合もあることに注意されたい。インスタントンの最近の研究では、インスタントンはDブレーンやブラックホール、そしてもちろんQCDの真空構造などのトピックに結び付けられている。たとえば、方向性のある弦理論では、Dpブレーンは、N個の D（p + 4）ブレーンのスタック上の世界体積（ p  + 5）次元U（N ）ゲージ理論におけるゲージ理論インスタントンである 。

インスタントンは、ゲージ理論の非摂動的なダイナミクスにおいて中心的な役割を果たします。インスタントンを生成する物理的な励起の種類は時空の次元数に依存しますが、驚くべきことに、これらのインスタントンを扱うための形式は比較的次元に依存しません。

4次元ゲージ理論では、前のセクションで説明したように、インスタントンは非自明な4形式 特性クラスを持つゲージバンドルです。ゲージ対称性がユニタリ群または特殊ユニタリ群の場合、この特性クラスは2番目のチャーンクラスであり、ゲージ群U(1)の場合は消えます。ゲージ対称性が直交群の場合、このクラスは1番目のポンチャギンクラスです。

ヒッグス場を持つ3次元ゲージ理論では、トホーフト・ポリアコフ単極子がインスタントンの役割を果たす。1977年の論文「クォークの閉じ込めとゲージ群のトポロジー」で、アレクサンダー・ポリアコフは、スカラー場と結合した3次元QEDにおけるインスタントン効果が光子の質量につながることを実証した。

2次元アーベルゲージ理論では、ワールドシートインスタントンは磁気渦です。これらは弦理論における多くの非摂動効果の原因であり、ミラー対称性において中心的な役割を果たしています。

1次元量子力学では、インスタントンは摂動論では見えない トンネル効果を記述します。

超対称ゲージ理論は、許容される量子補正の種類を制限する非繰り込み定理に従うことが多い。これらの定理の多くは摂動論で計算可能な補正にのみ適用されるため、摂動論では見られないインスタントンがこれらの量に対する唯一の補正を提供する。

超対称理論におけるインスタントン計算のための場の理論的手法は、1980 年代に複数の著者によって広範に研究されました。超対称性は、インスタントン背景におけるフェルミオンとボゾンの非ゼロ モードのキャンセルを保証するため、インスタントン鞍点の 't Hooft 計算は、ゼロ モードの積分に簡略化されます。

N  = 1 の超対称ゲージ理論では、インスタントンが超ポテンシャルを変更し、真空をすべて持ち上げることがあります。1984 年に、イアン・アフレック、マイケル・ダイン、ネイサン・セイバーグは、論文「超対称 QCD における動的超対称性の破れ」で、超ポテンシャルに対するインスタントン補正を計算しました。より正確には、理論に含まれるカイラル物質のフレーバーが特殊ユニタリーゲージ群の色の数より 1 つ少ない場合にのみ計算を実行できました。これは、フレーバーが少ないと非可換ゲージ対称性が破れていないために赤外発散が生じ、フレーバーが多い場合は寄与がゼロになるためです。カイラル物質のこの特別な選択では、物質スカラー場の真空期待値を選択して弱結合でゲージ対称性を完全に破り、信頼性の高い半古典的な鞍点計算を進めることができます。その後、さまざまな質量項による摂動を考慮することで、理論が弱結合でなくなった場合でも有効な、任意の数の色とフレーバーが存在する場合の超ポテンシャルを計算することができました。

N = 2 超対称ゲージ理論では 、スーパーポテンシャルは量子補正を受けない。しかし、インスタントンから真空のモジュライ空間の計量への補正は、一連の論文で計算された。最初に、1 つのインスタントン補正が、 Nathan SeibergによってSupersymmetry and Nonperturbative beta Functions で計算された。SU(2) ヤン＝ミルズ理論の完全な補正セットは、Nathan SeibergとEdward Wittenによって「N=2 超対称ヤン＝ミルズ理論における電気磁気双対性、単極子凝縮、および閉じ込め」で計算され、その過程で、今日Seiberg–Witten 理論として知られる主題が生み出された。彼らは、N=2 超対称 QCD における単極子、双対性、およびカイラル対称性の破れ で、計算を基本物質を含む SU(2) ゲージ理論に拡張した。これらの結果は、後にさまざまなゲージ グループと物質内容に拡張され、ほとんどの場合で直接ゲージ理論の導出も得られた。ゲージ群 U(N) を持つゲージ理論の場合、ザイバーグ・ウィッテン幾何学は、2003 年にニキータ・ネクラーソフとアンドレイ・オクンコフによってネクラーソフ分割関数を使用してゲージ理論から導出され、また中島啓と吉岡浩太によって独立に導出されました。

N = 4 超対称ゲージ理論では 、インスタントンは真空のモジュライ空間上の計量に対する量子補正をもたらさない。

コリガンとフェアリーによって与えられた仮説は、ゲージ群SU(2)を持つ反自己双対ヤン・ミルズ方程式の解を、上の任意の調和関数から与えます。^{[15] [16]}この仮説はゲージ場の明示的な表現を与え、任意の大きなインスタントン数を​​持つ解を構築するために使用できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

反対称の値オブジェクトを と定義します。ここで、 ギリシャ語のインデックスは 1 から 4、ラテン語のインデックスは 1 から 3 で、 はを満たす基底です。 が調和的 である限り、 は解です。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$$${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$$${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

4 次元では、ラプラス方程式の基本解は、任意の固定値に対してです。これらを重ね合わせると、 という形式の -ソリトン解が 得られます。 インスタントン数 1 または 2 のすべての解はこの形式ですが、インスタントン数が大きい場合は、この形式ではない解が存在します。 ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

• インスタントン流体 – 非摂動的な経路積分近似
• カロロン – 有限温度インスタントン
• シドニー・コールマン – アメリカの物理学者 (1937–2007)
• ホルスタイン・ヘリング法 – 分子システムにおける漸近的に縮退したエネルギー状態の交換エネルギー分割を得るための効果的な手段Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 重力インスタントン – 真空アインシュタイン方程式を満たす4次元完全リーマン多様体
• 半古典的遷移状態理論 – 化学反応速度理論
• ヤン・ミルズ方程式 – 解がインスタントンである偏微分方程式
• ゲージ理論（数学）  - ベクトル束、主束、ファイバー束の研究

注記

引用

一般的な

• ゲージ理論におけるインスタントン、インスタントンに関する論文集、ミハイル・A・シフマン編、doi :10.1142/2281
• ソリトンとインスタントン、R. ラジャラマン（アムステルダム：ノースホラント、1987年）、ISBN 0-444-87047-4 
• インスタントンの用途、シドニー・コールマン著、Proc. Int. School of Subnuclear Physics（Erice、1977年）；およびAspects of Symmetry p. 265、シドニー・コールマン、ケンブリッジ大学出版、1985年、ISBN 0-521-31827-0；およびInstantons in Gauge Theories 
• ソリトン、インスタントン、ツイスター。M. Dunajski、オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-857063-9。 
• 4次元多様体の幾何学、SKドナルドソン、PBクロンハイマー、オックスフォード大学出版局、1990年、ISBN 0-19-853553-8。 

• ウィクショナリーのインスタントンの辞書定義