スーパーポテンシャル

理論物理学において、超ポテンシャルは超対称量子力学の関数である。超ポテンシャルが与えられると、シュレーディンガー方程式のポテンシャルとしてそれぞれ機能する 2 つの「パートナー ポテンシャル」が導出される。パートナー ポテンシャルは、固有値がゼロになる可能性を除けば、同じスペクトルを持つ。つまり、2 つのポテンシャルによって表される物理システムは、基底状態がゼロになる可能性を除けば、同じ特性エネルギーを持つ。

1 次元の非相対論的粒子で、「スピン」と呼ばれる 2 状態の内部自由度を持つものについて考えます。(これは、非相対論的量子力学で見られる通常のスピンの概念とはまったく異なります。なぜなら、「実際の」スピンは3 次元空間の粒子にのみ適用されるからです。) bとそのエルミート随伴関数 b ^{† は、それぞれ「スピンアップ」粒子を「スピンダウン」粒子に変換する}演算子、およびその逆の演算子を表します。さらに、b と b † は、反交換子 { b , b † } が 1 に等しくなるように正規化され、b 2は0^に等しくなるようにし^ます。pは粒子^の運動量、xは[ x , p ]=i での位置を表します。ここで、自然単位系を使用して、となります。W (スーパーポテンシャル) は x の任意の微分可能関数を表し、超対称演算子Q 1_とQ 2_を次のように 定義します。${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW)b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW)b^{\dagger }\right]}$

演算子Q ₁とQ ₂は自己随伴である。ハミルトニアンは

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

ここで、W' はWの導関数を表します。また、{ Q ₁ , Q ₂ }=0 であることにも注意してください。これらの状況下では、上記のシステムはN =2 超対称性のおもちゃのモデルです。スピンダウン状態とスピンアップ状態は、量子場理論に倣って、それぞれ「ボソン」状態と「フェルミオン」状態と呼ばれることがよくあります。これらの定義では、Q ₁とQ _{2 は}「ボソン」状態を「フェルミオン」状態にマッピングし、その逆も同様です。ボソンまたはフェルミオンセクターに制限すると、次の式で決定される 2 つのパートナーポテンシャルが得られます。

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}}\pm {\frac {W'}{2}}}$

自然と何らかのつながりがあるかもしれない4 つの時空次元を持つ超対称 量子場理論では、スカラー場はカイラル超場の最低の要素として発生し、自動的に複素数値になる傾向があることがわかります。カイラル超場の複素共役を反カイラル超場として識別できます。超場のセットからアクションを取得するには、2 つの方法があります。

• とによって張られる超空間全体にわたって超場を積分すると、${\displaystyle x_{0,1,2,3}}$${\displaystyle \theta ,{\bar {\theta }}}$

または

• カイラル超場を、ではなくとによって張られる超空間のカイラル半分に積分します。${\displaystyle x_{0,1,2,3}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

2 番目の選択肢は、カイラル超場の任意の正則関数が、超対称性の下で不変なラグランジアン内の項として現れる可能性があることを示しています。この文脈では、正則とは、関数がカイラル超場のみに依存し、その複素共役には依存しないことを意味します。このような関数W をスーパーポテンシャルと呼ぶことができます。 Wがカイラル超場において正則であるという事実は、複素解析の強力な数学的ツールを使用できるため、超対称性理論が比較的扱いやすい理由を説明するのに役立ちます。実際、 W は摂動補正を受けないことが知られており、これは摂動非くりこみ定理と呼ばれます。非摂動プロセスによって、たとえばインスタントンによるベータ関数への寄与を通じて、これが補正される可能性があることに注意してください。

• コマール超ポテンシャル

• Stephen P. Martin、「超対称性の入門」arXiv :hep-ph/9709356。
• B. Mielnik および O. Rosas-Ortiz、「因数分解: 小さなアルゴリズムか、それとも優れたアルゴリズムか?」、J. Phys. A: Math. Gen. 37: 10007-10035、2004
• クーパー、フレッド; カレ、アビナッシュ; スハトメ、ウダイ (1995). 「超対称量子力学」.物理学レポート. 251 : 267–385. arXiv : hep-th/9405029 . Bibcode :1995PhR...251..267C. doi :10.1016/0370-1573(94)00080-M.