ポントリャーギン級

数学において、ポントリャーギン類は、レフ・ポントリャーギンにちなんで名付けられた、実ベクトル束の特定の特性類である。ポントリャーギン類は、次数が 4 の倍数である コホモロジー群に属する。

上の実ベクトル束が与えられたとき、その- 次ポントリャーギン類は次のように定義される。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{k}(E)}$

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

どこ：

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$は の複素化の- 番目のチャーン類を表し、${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$は整数係数を持つの-コホモロジー群です。${\displaystyle 4k}$${\displaystyle M}$

有理ポントリャーギン類は、有理係数を持つの -コホモロジー群におけるの像として定義されます。 ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle p_{k}(E)}$${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle 4k}$${\displaystyle M}$

ポントリャーギン階級全体

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

は（2-ねじれを法として）ベクトル束のホイットニー和に関して乗法的である 、すなわち、

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

2つのベクトル束とそれ以上の場合。個々のポントリャーギン類に関しては、 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

等々。

ベクトル束のポントリャーギン類とスティフェル・ホイットニー類が消えることは、ベクトル束が自明であることを保証するものではない。例えば、ベクトル束同型まで、 9 次元球面上には唯一の非自明な階数 10 のベクトル束が存在する。(のクラッチング関数はホモトピー群から生じる。) ポントリャーギン類とスティフェル・ホイットニー類はすべて消える。ポントリャーギン類は次数 9 には存在せず、 のスティフェル・ホイットニー類はWu公式により消える。さらに、このベクトル束は安定的に非自明である。つまり、 と任意の自明な束とのホイットニー和は非自明のままである。(Hatcher 2009、p. 76) ${\displaystyle E_{10}}$${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle w_{9}}$${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}$${\displaystyle E_{10}}$

次元ベクトル束が与え られると、${\displaystyle 2k}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

ここで、は のオイラー類を表し、 はコホモロジー類の カップ積を表します。${\displaystyle e(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \smile }$

1948年頃にシー・シェン・チャーンとアンドレ・ヴェイユによって示されたように、有理ポンチャギン類

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

ベクトル束の曲率形式に多項式的に依存する微分形式として表すことができます。このチャーン・ヴェイユ理論は代数位相幾何学と大域微分幾何学の間の大きなつながりを明らかにしました。

接続を備えた次元微分可能多様体上のベクトル束 に対して、全ポントリャーギン類は次のように表される。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

ここで は曲率形式を表し、 はド・ラーム・コホモロジー群を表します。^{[引用が必要]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$

滑らかな多様体のポントリャーギン類は、その接束のポントリャーギン類として定義されます。

ノビコフは1966年に、2つのコンパクトで有向な滑らかな多様体が同相であれば、それらの有理ポントリャーギン類は同じであることを証明した。次元が5以上の場合、与えられたホモトピー型とポントリャーギン類を持つ滑らかな多様体はせいぜい有限個存在する。 ^[1]${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

複素ベクトル束のポントリャーギン類は、そのチャーン類によって完全に決定される。これは、 という事実、ホイットニー和公式、およびその複素共役束のチャーン類の性質から導かれる。つまり、および である。そして、これは関係式から与えられる。${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^[2]

例えば、この公式を曲線と曲面上の複素ベクトル束のポントリャーギン類に適用することができます。曲線の場合、

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

したがって、複素ベクトル束のポントリャーギン類はすべて自明である。曲面上では、

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

表示。オンラインバンドルでは、ディメンションの理由により、これがさらに簡素化されます。 ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$${\displaystyle c_{2}(L)=0}$

消失点が滑らかな部分多様体である4次多項式はK3面であることを思い出してください。正規分布を用いると${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

見つけることができる

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

と を示している。 は4点に対応するので、ベズーの補題により、第2チャーン数は となる。この場合、 ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$${\displaystyle [H]^{2}}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$この数は球面の3番目の安定ホモトピー群を計算するために使用できます。^[3]

ポントリャーギン数は、滑らかな多様体の特定の位相不変量です。多様体の各ポントリャーギン数は、 の次元が 4 で割り切れない場合にゼロになります。ポントリャーギン数は、多様体のポントリャーギン類によって次のように定義されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

滑らかな次元多様体と自然数の集合 が与えられると${\displaystyle 4n}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$つまり、${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

ポントリャーギン数は次のように定義される 。${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

ここで、 は- 番目のポントリャーギン類との基本類を表します。 ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle M}$

1. ポンチャギン数は有向コボルディズム不変であり、スティーフェル・ホイットニー数とともに有向多様体の有向コボルディズム類を決定します。
2. 閉じたリーマン多様体（およびポントリャーギン類）のポントリャーギン数は、リーマン多様体の曲率テンソルからの特定の多項式の積分として計算できます。
3. 署名や- 種数などの不変量は、ポンチャギン数で表現できます。署名を与えるポンチャギン数の線形結合を記述する定理については、ヒルツェブルッフの署名定理を参照してください。${\displaystyle {\hat {A}}}$

四元数構造を持つベクトル束のための四元数Pontryagin クラスもあります。

• チャーン・サイモンズ形式
• ヒルツェブルッフの署名定理

• Milnor John W. ; Stasheff, James D. (1974).特性クラス. Annals of Mathematics Studies. プリンストン、ニュージャージー; 東京: プリンストン大学出版局 / 東京大学出版局. ISBN 0-691-08122-0。
• Hatcher, Allen (2009). ベクトルバンドルと K 理論 (第 2.1 版).

• 「ポンチャギンクラス」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。