BPST インスタントン

理論物理学において、BPSTインスタントンは、アレクサンダー・ベラヴィン、アレクサンダー・ポリャコフ、アルバート・シュワルツ、ユー・S・チュプキンによって発見された巻き数1のインスタントンである。 ^{[1]これは、SU(2)}ヤン・ミルズ理論のユークリッド時空における運動方程式の古典的解であり（つまり、ウィック回転後）、理論の2つの異なる位相真空間の遷移を記述することを意味する。特にポリャコフが1975年に3次元コンパクトQEDにおける閉じ込めの原因がインスタントンであることを証明して以来、これは閉じ込めの問題を解決する道を開くと当初期待されていた。 ^[2]しかし、この期待は実現しなかった。

BPSTインスタントンは、ヤン・ミルズ場方程式の本質的に非摂動的な古典解である。これは、ヤン・ミルズSU(2)ラグランジアン密度を最小化するときに見つかる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

ここで、F _μν ^a = ∂ _μ A _ν ^a – ∂ _ν A _μ ^a + g ε ^abc A _μ ^b A _ν ^cは場の強度です。インスタントンは有限作用の解なので、F _{μν は}時空無限大でゼロになる必要があり、これはA _{μ が}純粋なゲージ構成になることを意味します。私たちの4次元世界の時空無限大はS ³です。ゲージ群SU(2)はまったく同じ構造を持っているので、無限大でA _{μ が}純粋なゲージである解は、S ³からそれ自身への写像です。^[1]これらの写像は、整数q、ポンチャギン指数（または巻き数）でラベル付けできます。インスタントンはq = 1であるため、（無限大で）連続的に1に変形することができないゲージ変換に対応します。^[3]したがって、BPST解は位相的に安定です。

関係式F _μν ^a = ± ⁠に従う自己双対構成が示される。1/2⁠ ε ^μναβ F _αβ ^{a は}作用を最小化する。^[4]プラス記号の付いた解はインスタントンと呼ばれ、マイナス記号の付いた解は反インスタントンと呼ばれる。

インスタントンと反インスタントンは、次のように局所的に作用を最小化することが示されます。

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$、 どこ。${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

最初の項は自己双対または反自己双対構成によって最小化されますが、最後の項は全微分であるため、解の境​​界（つまり ）のみに依存します。したがって、これは位相不変量であり、整数と何らかの定数（ここでの定数は）の積として示すことができます。この整数はインスタントン数と呼ばれます（ホモトピー群 を参照）。 ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$

インスタントン解は^{[5]で明示的に与えられる。}

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}}$

ここで、z _μはインスタントンの中心、ρはインスタントンのスケールである。η ^a _μνは't Hooft記号である。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.}$

x ²が大きい場合、 ρ は無視できるほど小さくなり、ゲージ場は純粋なゲージ変換のそれに近づきます。実際、場の強さは次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

そして無限大ではr ⁻⁴と同じ速さでゼロに近づきます。

反インスタントンは同様の表現で記述されますが、 't Hooft 記号が反 't Hooft 記号に置き換えられます。これは通常の 't Hooft 記号と等しくなりますが、ローレンツ指数の 1 つが 4 である成分の符号が逆になる点が異なります。 ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}}$

BPST解には多くの対称性がある。^[6] 平行移動と膨張は解を他の解に変換する。座標反転（x ^μ → x ^μ / x ²）はサイズρのインスタントンをサイズ1/ρの反インスタントンに変換し、その逆も行う。ユークリッド4次元空間での回転と特殊な共形変換は解を不変にする（ゲージ変換を除く）。

インスタントンの古典的作用は^{[4]に等しい。}

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

この量は経路積分形式では指数関数的であるため、関数 e ^{−1/ x^2}は他の場所ではゼロではないにもかかわらず、原点で テイラー級数がゼロになるため、これは本質的に非摂動的な効果です。

上に示したBPSTインスタントンの表現は、いわゆる通常のランダウゲージにおけるものである。特異なランダウゲージにおいて、上に示した表現とゲージ的に等価な別の形式が存在する。これらの両方のゲージにおいて、表現は ∂ _μ A ^μ = 0 を満たす。特異ゲージでは、インスタントンは

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(x-z)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

特異ゲージでは、この表現はインスタントンの中心に特異点を持ちますが、x が無限大になるとより速くゼロになります。

ランダウゲージ以外のゲージで作業する場合、文献には同様の表現が見つかります。

有限温度では、BPST インスタントンはカロロンと呼ばれるものに一般化されます。

上記は、SU(2) をゲージ群とするヤン・ミルズ理論に有効です。任意の非アーベル群に簡単に一般化できます。その場合、インスタントンは、群空間のいくつかの方向では BPST インスタントンによって与えられ、他の方向ではゼロによって与えられます。

ヒッグス機構による自発的対称性の破れを伴うヤン＝ミルズ理論に目を向けると、BPSTインスタントンはもはや場の方程式の正確な解ではないことがわかります。近似解を見つけるために、制約付きインスタントンの形式論を使用することができます。^[7]

BPSTのようなインスタントンはQCDの真空構造において重要な役割を果たすと予想されている。インスタントンは実際に格子計算で発見されている。インスタントンを使った最初の計算では希薄ガス近似が使用された。得られた結果はQCDの赤外線問題を解決しなかったため、多くの物理学者がインスタントン物理学から遠ざかることとなった。しかし後にインスタントン液体モデルが提案され、より有望なアプローチであることが判明した。^[8]

希薄インスタントン気体モデルは、 QCD真空が BPST インスタントンの気体で構成されているという仮定から出発しています。1 個または少数のインスタントン (または反インスタントン) を含む解のみが正確に知られていますが、インスタントンと反インスタントンの希薄気体は、互いに遠く離れた 1 つのインスタントン解の重ね合わせを考慮することで近似できます。't Hooft はそのような集団の有効作用を計算し、^{[5]大きなインスタントンに対して}赤外線発散があることを発見しました。これは、無限に大きいインスタントンが無限に多く真空に存在することを意味します。

その後、インスタントン液体モデルが研究されました。このモデルは、インスタントンの集合は、個々のインスタントンの単なる合計では説明できないという仮定から始まります。インスタントン間の相互作用を導入したり、変分法 (「谷近似」など) を使用して、正確なマルチインスタントン解を可能な限り近似しようとするさまざまなモデルが提案されました。多くの現象論的成功が達成されました。^[8]閉じ込めは、ヤン・ミルズ理論における最大の問題であると思われますが、インスタントンではまったく答えがありません。

弱い相互作用はSU(2)で記述されるため、インスタントンがそこでも役割を果たすことが期待できます。もしそうなら、それらは重粒子数の破れを誘発するでしょう。ヒッグス機構により、インスタントンはもはや正確な解ではありませんが、代わりに近似を使用できます。結論の1つは、ゲージボソン質量の存在が大きなインスタントンを抑制するため、インスタントンガス近似が一貫しているということです。

^{インスタントンの非摂動的な性質により、その効果はすべて e −16π 2 / g 2}の係数によって抑制され、これは電弱理論では 10 ⁻¹⁷⁹のオーダーになります。

インスタントンと反インスタントンは、ウィック回転ヤン・ミルズ場方程式の唯一の解ではありません。q が 2 と 3 の場合にマルチインスタントン解が見つかっており、より高いqの場合も部分解が存在します。一般的なマルチインスタントン解は、谷近似を使用してのみ近似できます。つまり、特定の仮説 (通常は必要なインスタントン数の合計) から開始し、与えられた制約の下で数値的に作用を最小化します (インスタントンの数とインスタントンのサイズを一定に保ちます)。

自己双対ではない解も存在する。^[9]これらは作用の局所的最小値ではなく、鞍点に対応する。

インスタントンはメロンとも密接な関係があり、^[10]位相電荷1/2のユークリッドヤンミルズ場方程式の特異な非双対解である。インスタントンは2つのメロンで構成されていると考えられている。

• インスタントン
• メロン
• ウー・ヤン・モノポール