マチュー関数

一部の用法では、マチュー関数は、任意の値に対するマチュー微分方程式の解を指します。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle q}$混乱が生じない場合、他の著者は特に次のことを指してこの用語を使用します。${\displaystyle \pi }$- または$2π$周期解は、特定の値に対してのみ存在する。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle q}$[ ^{5 ]より正確には}、与えられた（実数）${\displaystyle q}$このような周期解は、無限個の値に対して存在する。${\displaystyle a}$特性数と呼ばれるもので、慣習的に2つの別々の数列としてインデックス付けされる。${\displaystyle a_{n}(q)}$そして${\displaystyle b_{n}(q)}$、 のために${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$対応する関数は次のように表される。${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$それぞれ、コサイン楕円関数、サイン楕円関数、または第一種マチュー関数とも呼ばれます。

仮定した結果、${\displaystyle q}$が実数であれば、特性数とそれに関連する関数はどちらも実数値になります。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$パリティと周期性（どちらも${\displaystyle x}$）以下のように：^{[ 5 ]}

整数によるインデックス付け${\displaystyle n}$特性数を昇順に並べるのに役立つだけでなく、次のような利点もあります。${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$比例する${\displaystyle \cos nx}$そして${\displaystyle \sin nx}$として$q→0$。 と${\displaystyle n}$整数であるため、これは次の分類につながります。$\displaystyle ce_n$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$整数位数のマチュー関数（第一種）として。一般に${\displaystyle a}$そして${\displaystyle q}$これら以外にも、分数階のマチュー関数や非周期解など、様々な解を定義することができる。

密接に関連しているのが、修正マチュー関数（動径マチュー関数とも呼ばれる）であり、これはマチューの修正微分方程式の解である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

これは、元のマチュー方程式と関連付けることができる。${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$したがって、第１種の整数次修正マチュー関数は、${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$^{は[ 7 ]}で定義されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

これらの関数は、次の場合に実数値になります。${\displaystyle x}$本当です。

本稿全体を通して採用する一般的な正規化^{[ 8 ]は、}

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

また、${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$として${\displaystyle q\rightarrow 0}$。

マチュー方程式には2つのパラメータがあります。フロケ理論によれば、これらのパラメータのほぼすべての選択肢において、解はゼロに収束するか、無限大に発散するかのどちらかになります。

マシュー方程式が次のようにパラメータ化されている場合${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$、 どこ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$すると、安定領域と不安定領域は次の曲線によって分離されます。^{[ 13 ]}

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

マチュー方程式は2階微分方程式なので、2つの線形独立な解を構成できます。フロケの理論によれば、${\displaystyle a}$が特性数に等しい場合、これらの解のうちの1つは周期的であり、もう1つは非周期的であると考えることができます。周期解は、${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$は、第1種整数位のマチュー関数と呼ばれる。非周期的なものは、${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$それぞれ、であり、第2種マシュー関数（整数階）と呼ばれます。非周期解は不安定であり、すなわち、として発散します。${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$[ ^{14 ]​}

修正されたマチュー関数に対応する第2の解${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$自然に定義される${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$そして${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$。

分数階のマチュー関数は、次のような解として定義できます。${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$、${\displaystyle p}$非整数、${\displaystyle \cos px}$そして${\displaystyle \sin px}$として${\displaystyle q\rightarrow 0}$[ ^{7 ]}もし^​${\displaystyle p}$は無理数であり、非周期的です。ただし、それらは有界のままです。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$。

溶液の重要な特性${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$、 のために${\displaystyle p}$非整数であるということは、同じ値に対して存在するということである。${\displaystyle a}$対照的に、${\displaystyle p}$は整数です。${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$同じ値では決して発生しない${\displaystyle a}$（上記のインスの定理を参照。）

これらの分類は、以下の表にまとめられています。修正マチュー関数も同様に定義されます。

第１種のマチュー関数はフーリエ級数として表すことができる：^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

展開係数${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$そして${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$関数${\displaystyle q}$しかし、${\displaystyle x}$マチュー方程式に代入すると、下添え字に関して3項漸化式に従うことが示される。例えば、各${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$^[ 16 ^]​

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

インデックスの二次再帰である${\displaystyle 2r}$常に2つの独立した解を見つけることができる${\displaystyle X_{2r}}$そして${\displaystyle Y_{2r}}$したがって、一般解は、この2つの線形結合として表すことができる。${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$さらに、この特定のケースでは、漸近解析^{[ 17 ]}により、基本解の可能な選択肢の1つが次の性質を持つことが示されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

特に、${\displaystyle X_{2r}}$有限である一方${\displaystyle Y_{2r}}$分岐する。${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$したがって、フーリエ級数表現のためには、${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$収束する、${\displaystyle a}$は次のように選択されなければならない。${\displaystyle c_{2}=0.}$これらの選択肢${\displaystyle a}$特性数に対応する。

しかし一般に、変数係数を持つ3項漸化式の解は単純な方法では表現できず、したがって簡単に決定する方法はない。${\displaystyle a}$状態から ${\displaystyle c_{2}=0}$さらに、特性数の近似値が分かっていても、それを使って係数を求めることはできません。${\displaystyle A_{2r}}$漸化式を数値的に反復して増加させることにより${\displaystyle r}$理由は、${\displaystyle a}$特性数を近似するだけで、${\displaystyle c_{2}}$同一ではない${\displaystyle 0}$そして発散解${\displaystyle Y_{2r}}$最終的には十分に大きい場合に支配的になる${\displaystyle r}$。

これらの問題を克服するには、より高度な半解析的/数値的手法が必要であり、例えば、連分数展開の使用^{[ 18 ] [ 5 ]} 、漸化式を行列の固有値問題として定式化すること^{[ 19 ]}、または逆漸化アルゴリズムの実装^{[ 17 ]}などが挙げられる。3項漸化式の複雑さは、マチュー関数を含む単純な公式や恒等式が少ない理由の1つである^{[ 20 ] 。}

実際には、Mathieu 関数と対応する特性数は、 Mathematica、Maple、MATLAB、SciPyなどの既製ソフトウェアを使用して計算できます。${\displaystyle q}$低次${\displaystyle n}$また、摂動的にべき級数として表現することもできます。${\displaystyle q}$これは物理的な応用において有用である。^{[ 21 ]}

第2種のマチュー関数を表現する方法はいくつかあります。^{[ 22 ]} 1つの表現方法はベッセル関数によるものです。^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle n,q>0}$、 そして${\displaystyle J_{r}(x)}$そして${\displaystyle Y_{r}(x)}$これらは第一種および第二種のベッセル関数である。

修正マチュー関数の数値評価の伝統的な手法は、ベッセル関数の積級数を用いることである。^{[ 24 ]}大きな場合${\displaystyle n}$そして${\displaystyle q}$減算エラーを避けるために、数列の形式を慎重に選択する必要がある。^{[ 25 ] [ 26 ]}

小規模向け${\displaystyle q}$、${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$同様の挙動を示す${\displaystyle \cos nx}$そして${\displaystyle \sin nx}$任意の${\displaystyle q}$それらは三角関数の対応するものとは大きく異なる可能性がありますが、一般的には周期性を保ちます。さらに、任意の実数に対して${\displaystyle q}$、${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$まさに${\displaystyle m}$単純なゼロ${\displaystyle 0<x<\pi }$、そして${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ゼロは、${\displaystyle x=\pi /2}$[ ^{27 ] [ 28 ]​}

のために${\displaystyle q>0}$そして${\displaystyle x\rightarrow \infty }$修正されたマチュー関数は、減衰周期関数として振る舞う傾向がある。

以下では、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$フーリエ展開からの因子${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$参照される可能性があります（明示的な表現と計算を参照）。これらは以下に依存します。${\displaystyle q}$そして${\displaystyle n}$しかし、${\displaystyle x}$。

それらの同値性と周期性により、${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$そして ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$の倍数による反射と平行移動の下で単純な性質を持つ${\displaystyle \pi }$: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

負の値を持つ関数も記述できます${\displaystyle q}$陽性反応を示す人に関して${\displaystyle q}$: ^{[ 5 ] [ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

さらに、

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

三角関数の対応物と同様に${\displaystyle \cos nx}$そして${\displaystyle \sin nx}$周期的なマチュー関数${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$直交関係を満たす

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

さらに、${\displaystyle q}$固定して${\displaystyle a}$固有値として扱われるマチュー方程式はシュトゥルム・リウヴィル形式である。これは、固有関数が${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$完全なセットを形成する、つまり任意の${\displaystyle \pi }$- または${\displaystyle 2\pi }$-周期関数${\displaystyle x}$シリーズとして展開できます${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$そして${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$[ ^{4 ]​}

マチュー方程式の解は、核に関するある種の積分恒等式を満たす。${\displaystyle \chi (x,x')}$解決策

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

より正確には、${\displaystyle \phi (x)}$与えられた条件でマチュー方程式を解く${\displaystyle a}$そして${\displaystyle q}$すると積分は

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

どこ${\displaystyle C}$は複素平面上の経路であり、同じ条件でマチュー方程式も解く。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle q}$ただし、以下の条件を満たす場合に限る。^{[ 30 ]}

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$解決する${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• 検討対象地域では、${\displaystyle \psi (x)}$存在し、${\displaystyle \chi (x,x')}$分析的である
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$の端点で同じ値を持つ${\displaystyle C}$

適切な変数変換を用いると、次の式が得られる。${\displaystyle \chi }$波動方程式に変換して解くことができます。例えば、一つの解は次のようになります。${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$このようにして得られた恒等式の例としては、^{[ 31 ]が挙げられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

後者のタイプの恒等式は、修正マシュー関数の漸近特性を研究するのに役立つ。^{[ 32 ]}

また、第１種と第２種の関数の間には、例えば次のような積分関係が存在する。^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

あらゆる複合施設に有効${\displaystyle x}$そして現実${\displaystyle q}$。

以下の漸近展開が成り立つ。${\displaystyle q>0}$、${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$、${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$、 そして${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

したがって、修正されたマチュー関数は、大きな実引数に対して指数関数的に減衰します。同様の漸近展開は、${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$そして${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$; これらは大きな実数引数に対して指数関数的に減衰する。

偶数および奇数の周期的なマチュー関数について${\displaystyle ce,se}$および関連する特性番号${\displaystyle a}$ 大きな値に対して漸近展開を導出することもできる${\displaystyle q}$^{[ 34 ]}特に特性数については、次のようになる。${\displaystyle N}$ほぼ奇数、つまり${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

ここでの置換における対称性に注目してください${\displaystyle q^{1/2}}$そして${\displaystyle N}$による${\displaystyle -q^{1/2}}$そして${\displaystyle -N}$これは展開の重要な特徴である。この展開の項は、次数までの項まで明示的に得られている。${\displaystyle |q|^{-7/2}}$[ ^{35 ]} ここ^で${\displaystyle N}$は近似的に奇数であるのは、${\displaystyle q\to \infty }$周期ポテンシャルのすべての最小セグメント${\displaystyle \cos 2x}$実質的に独立した調和振動子になる（したがって${\displaystyle N_{0}}$奇数）。${\displaystyle q}$障壁をトンネルで貫通することが可能になり（物理的な言葉で言えば）、特性数の分裂につながる。${\displaystyle a\to a_{\mp }}$（量子力学では固有値と呼ばれる）偶数および奇数の周期的なマシュー関数に対応する。この分割は境界条件^{[ 35 ]}によって得られる（量子力学では、これは固有値をエネルギーバンドに分割する）。^{[ 36 ]}境界条件は次のとおりである。

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

上記の展開に関連する漸近周期マシュー関数にこれらの境界条件を課すと、${\displaystyle a}$得られるもの

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

対応する特性数または固有値は展開によって得られます。

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

上記の適切な式を挿入すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

のために${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$これらは偶数マチュー固有関数に関連付けられた固有値です。${\displaystyle ce_{N_{0}}}$または${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$（つまり、上付きマイナス符号付き）および奇数マチュー固有関数${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$または ${\displaystyle se_{N_{0}}}$（つまり、小文字のプラス記号付き）。固有関数の明示的かつ正規化された展開は、^{[ 35 ]}または^{[ 36 ]に記載されています。}

同様の漸近展開は、ラメ関数や長球および扁球波動関数など、他の周期微分方程式の解についても得ることができる。

マシュー方程式の漸近解の漸近的性質は、展開の高次の挙動を調べることによって詳細に調査されてきた。^{[ 37 ] [ 38 ]}

マシュー関数は、1) 3 次元のラプラス方程式、および 2) 2 次元または 3 次元のヘルムホルツ方程式に楕円座標の変数分離を適用したときに生じます。ヘルムホルツ方程式は古典的な波の空間的変化をモデル化するための典型的な方程式であるため、マシュー関数はさまざまな波動現象を記述するために使用できます。たとえば、計算電磁気学では、楕円円筒からの電磁波の散乱や、楕円導波路での波の伝搬を解析するために使用できます。^{[ 39 ]}一般相対性理論では、アインシュタイン場方程式の厳密な平面波解は、マシュー関数で表すことができます。

さらに最近では、マチュー関数は、自己推進粒子の定常状態統計を記述するスモルコフスキー方程式の特殊なケースを解くために使用されている。^{[ 40 ]}

このセクションの残りの部分では、2次元ヘルムホルツ方程式の解析について詳しく説明します。^{[ 41 ]}直交座標では、ヘルムホルツ方程式は次のようになります。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

楕円座標は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$、${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$、 そして${\displaystyle c}$は正の定数である。これらの座標におけるヘルムホルツ方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

定数${\displaystyle \mu }$曲線は焦点距離を持つ共焦点楕円です${\displaystyle c}$したがって、これらの座標は楕円境界を持つ領域でヘルムホルツ方程式を解くのに便利です。変数分離は${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$マチュー方程式が得られる

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle a}$は分離定数です。

具体的な物理的例として、ヘルムホルツ方程式は、均一な張力下にある弾性膜の固有振動モードを記述するものと解釈できます。この場合、次の物理的条件が課されます。^{[ 42 ]}

• 周期性に関して${\displaystyle \nu }$つまり${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• 焦点間線を横切る変位の連続性：${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• 焦点間線を横切る導関数の連続性：${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

与えられた${\displaystyle k}$これにより、解は次の形式に限定されます。${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$そして${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$、 どこ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$これは、許容値を制限することと同じです。${\displaystyle a}$与えられた${\displaystyle k}$制限事項${\displaystyle k}$そして、次のような境界面に物理的条件を課すことによって生じる。${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$例えば、膜をクランプして${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$課す${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$それには、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

これらの条件は、システムの通常モードを定義する。

周期的に変化する力を伴う動的問題では、運動方程式がマチュー方程式の形をとることがあります。このような場合、マチュー方程式の一般的な性質、特に解の安定性に関する知識は、物理的ダイナミクスの定性的な特徴を理解するために不可欠となることがあります。^{[ 43 ]}この流れに沿った古典的な例は倒立振子です。^{[ 44 ]}他の例は次のとおりです。

• 周期的に張力が変化する弦の振動^{[ 43 ]}
• 列車が走行する際の鉄道レールの安定性
• 季節によって強制される個体群動態
• 強制振動子におけるパラメトリック共振現象
• 四重極イオントラップ内のイオンの動き^{[ 45 ]}
• 回転する電気双極子のシュタルク効果
• リミットサイクルの安定性に関するフロケ理論
• 周期的なノイズ項を持つカルダー・パリシ・チャン界面成長方程式の解析的進行波解^{[ 46 ]}

マチュー関数は、特定の量子力学系、特に量子振り子や結晶格子のような空間的に周期的なポテンシャルを持つ系において重要な役割を果たします。

修正されたマチュー方程式は、特異ポテンシャルの量子力学を記述する際にも現れる。特定の特異ポテンシャルの場合${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$動径シュレディンガー方程式

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

方程式に変換できます

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

この変換は、以下の置換によって実現される。

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$