忠実に平坦な下り坂

忠実平坦降下法は代数幾何学の技法であり、忠実平坦射のターゲット上のオブジェクトについて結論を導き出すことを可能にします。平坦かつ射影的なこのような射は一般的であり、1 つの例は開被覆から来ています。

実際には、アフィンの観点から、この手法により、忠実に平坦な基底の変更を行った後のリングまたはスキームに関するいくつかのステートメントを証明することができます。

「バニラ」の忠実平坦降下法は一般に誤りです。その代わりに、忠実平坦降下法は、いくつかの有限条件 (例えば、準コンパクトまたは局所的に有限な表現) の下では有効です。

忠実平坦降下はベックのモナディシティ定理の特殊なケースである。^[1]

忠実に平坦な環準同型 が 与えられた場合、忠実に平坦な降下とは、大まかに言えば、A上のモジュールまたは代数を与えることは、いわゆる降下データ (またはデータ) とともに 上のモジュールまたは代数を与えることであるというステートメントです。つまり、何らかの追加データが提供されれば、 オブジェクト(またはステートメント) を に 降下できるということです。${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

たとえば、Aの単位イデアルを生成するいくつかの要素を考えると、は 上で忠実に平坦になります。幾何学的には、はの開被覆なので、からにモジュールを降順することは、 にモジュールを接着してA上のモジュールを得ることを意味します。この場合の降順データは、接着データ、つまり が重なり合う上でどのように識別されるかに相当します。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$${\displaystyle B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle M_{i},M_{j}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])}$

を忠実平坦な環準同型とします。- 加群が与えられると、- 加群が得られ、 は忠実平坦なので、包含 が得られます。さらに、同型によって誘導され、コサイクル条件を満たす - 加群の同型が得られます。 ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

ここで、次のように与えられる: ^[2]${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}$

とである。同型性はと によってのみ決定されるが、 は含まれない。${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M.}$

さて、忠実平坦降下の最も基本的な形式は、上記の構成を逆にすることができる、つまり、 となる- モジュールと- モジュール同型が与えられた場合、不変サブモジュール: ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

${\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

となる。^[3]${\displaystyle M\otimes B=N}$

降下データの正確な定義は次のとおりです。環準同型が与えられた場合、次のように書きます。 ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}$

をi番目の位置に挿入することによって与えられる写像に対して、つまり はとして、は として、などとして与えられます。また、が によってモジュール構造を与えられている場合、上のテンソル化に対して と書きます。 ${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{1}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle B^{\otimes n}}$${\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{i}}$

ここで、降下データを持つ- モジュールが与えられたとき、を の核として 定義する。${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$。

自然地図を考える

${\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}$。

重要な点は、この写像は忠実に平坦な場合同型であるということです。^[5]これは次のことを考えるとわかります。 ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}$

ここで、上段はBのA上の平坦性により正確であり、下段はアミチュール複体であり、グロタンディークの定理により正確です。コサイクル条件により、上記の図が可換であることが保証されます。2 番目と 3 番目の垂直マップは同型なので、最初のものも同型です。

上記は簡単にまとめると次のようになります。

ザリスキー降下法は、単に準コヒーレント層が (ザリスキー) 開被覆上にそれらを接着することによって得られるという事実を指します。これは忠実に平坦な降下の特殊なケースですが、降下問題をアフィンケースに簡略化するためによく使用されます。

詳細には、スキームX上の準連接層のカテゴリを で表すとします。ザリスキ降下法は、 上の (1)および (2)となるような同型とを持つ開部分集合上の準連接層が与えられたとき、 と互換性のある方法 (つまり に制限)となる唯一の準連接層がX上に存在することが示されます。^[6]${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$${\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}$${\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}$${\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$

洗練された言葉で言えば、ザリスキー降下は、ザリスキー位相に関して、スタック、つまり、関数 を備えたカテゴリ、有効な降下理論を持つ (相対) スキームのカテゴリ であることを示します。ここで、 は、(ザリスキー) 開部分集合Uとその上の準連結層と忘却関数のペアで構成されるカテゴリを表します。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle (U,F)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$

この分野の主要な結果については簡潔な記述があります: (スキームS上の準コヒーレント層のプレスタックは、任意のSスキームXについて、プレスタックの各X点がX上の準コヒーレント層であることを意味します。)

証明では、ザリスキ降下法とアフィンケースにおける忠実平坦降下法を使用します。

ここでは「準コンパクト」を排除することはできない。^[8]

F を体kの有限ガロア体拡大とする。すると、 F上の各ベクトル空間Vに対して、

${\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}$

ここで、積は のガロア群の要素上を通ります。 ${\displaystyle F/k}$

エタール降下は忠実な降下の結果です。

• アミトゥール コンプレックス
• ヒルベルトスキーム
• 引用スキーム

• SGA 1、Exposé VIII – これが主な参考文献です（ただし、これはGiraud（1964）の結果に依存しており、これは（より一般的な形で）SGA1の未発表のExposé VIIに取って代わりました）
• Deligne、P. (2007)、「Categories Tannakiennes」、The Grothendieck Festschrift、第 II 巻、Modern Birkhäuser Classics、pp.  111–195、doi :10.1007/978-0-8176-4575-5_3、ISBN 978-0-8176-4567-0
• Giraud, Jean (1964)、「Méthode de la descent」、Mémoires de la Société Mathématique de France、2 : 1–150、doi : 10.24033/msmf.2、MR  0190142
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ストリート、ロス (2004)、「降下理論のカテゴリカルおよび組み合わせ的側面」、応用カテゴリカル構造、12 ( 5– 6): 537– 576、arXiv : math/0303175、doi :10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36（2つのカテゴリーの詳細な説明）
• Vistoli, Angelo (2008 年 9 月 2 日)。「グロタンディーク位相、ファイバー カテゴリ、降下理論に関する注記」(PDF)。
• ウォーターハウス、ウィリアム(1979)、「アフィン群スキーム入門」、Graduate Texts in Mathematics、第66巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4612-6217-6、ISBN 978-0-387-90421-4、MR  0547117