出産の過程

確率論では、誕生過程または純粋誕生過程^{[1] は、}連続時間マルコフ過程の特殊なケースであり、ポアソン過程の一般化である。これは、自然数の値を取り、1 つだけ増加するか (「誕生」)、または変化しない連続過程を定義する。これは、死亡のない誕生-死亡過程の一種である。誕生が発生する率は、そのパラメータが過程の現在の値のみに依存する 指数ランダム変数によって与えられる。

出生率と初期値を持つ出生過程は、最小右連続過程であり、到着間隔はパラメータを持つ独立した指数ランダム変数である。^[2]${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$${\displaystyle X_{0}=k}$${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$

速度と初期値を持つ誕生プロセスは、次のようなプロセスです。 ${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$独立している${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

(3 番目と 4 番目の条件では、o表記はほとんど使用されません。)

これらの条件は、プロセスが から始まり、非減少であり、プロセスの値が のときに、 の速度で継続的に独立した単一生成を持つことを保証します。^[3]${\displaystyle i}$${\displaystyle \lambda_{n}}$${\displaystyle n}$

誕生過程は、非ゼロのQ行列要素と初期分布（確率1で値を取るランダム変数）を持つ連続時間マルコフ過程（CTMC）として定義できます。 ^[4]${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

ある著者は、出生過程が0から始まること、つまり であることを要求するが^[3]、他の著者は初期値が自然数の確率分布によって与えられることを許容する。 ^[2]爆発的な出生過程の場合、状態空間は無限大を含むことができる。[ 2 ^]出生率は強度とも呼ばれる。^[3]${\displaystyle X_{0}=0}$

CTMCに関しては、誕生過程はマルコフ特性を持つ。通信クラス、既約性などに関するCTMCの定義は誕生過程にも当てはまる。誕生-死亡過程の再発と一時性に関する条件により、^[5]任意の誕生過程は一時的である。誕生過程の遷移行列はコルモゴロフの前進方程式と後退方程式を満たしている。 ${\displaystyle ((p_{i,j}(t))_{i,j\in \mathbb {N} }),t\geq 0)}$

逆方程式は以下の通りである: ^[6]

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{i}(p_{i+1,j}(t)-p_{i,j}(t))}$（のために）${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

順方向方程式は以下の通りである: ^[7]

${\displaystyle p'_{i,i}(t)=-\lambda _{i}p_{i,i}(t)}$（のために）${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}p_{i,j-1}(t)-\lambda _{j}p_{i,j}(t)}$（のために）${\displaystyle j\geq i+1}$

順方向方程式から次のことがわかる。^[7]

${\displaystyle p_{i,i}(t)=e^{-\lambda _{i}t}}$（のために）${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}e^{-\lambda _{j}t}\int _{0}^{t}e^{\lambda _{j}s}p_{i,j-1}(s)\,{\text{d}}s}$（のために）${\displaystyle j\geq i+1}$

ポアソン過程とは異なり、誕生過程は有限の時間内に無限に誕生する可能性があります。が有限である場合、誕生過程は爆発すると定義します。 が有限である場合、その過程は確率 1 で爆発的です。それ以外の場合は、確率 1 で非爆発的です (「正直」)。^{[8] [9]}${\displaystyle T_{\infty }=\sup\{T_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle T_{\infty }}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}<\infty }$

ポアソン過程とは、出生率が一定である出生過程である。^[3]${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda }$${\displaystyle \lambda >0}$

単純な出産過程とは、出産率が である出産過程のことである。^[10]これは、各個体が出産率 で繰り返し独立して出産する集団をモデル化する。ユールはこれらの過程を研究したため、ユール過程と呼ばれることもある。^[11]${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$${\displaystyle \lambda }$

人口の単純な出生過程から、時間経過に伴う出生数は次のように表される。^[3]${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{n-m}+o(h)}$

正確に言えば、出生数はパラメータが および である負の二項分布である。特殊なケースでは、これは成功率が である幾何分布である。^[12]${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{-\lambda t}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle e^{-\lambda t}}$

プロセスの期待値は指数関数的に増大する。具体的には、 の場合である。 [ 10 ^]${\displaystyle X_{0}=1}$${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$

移民を伴う単純な出生過程は、この過程を率で修正したものである。これは、システムへの移民の一定率に加えて、各人口構成員の出生を伴う人口をモデル化する。^[3]${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }$

• Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992).確率とランダムプロセス（第2版）. Oxford University Press. ISBN 0198572220。
• カーリン、サミュエル、マクレガー、ジェームズ (1957)。「誕生と死のプロセスの分類」( PDF)。アメリカ数学会誌。86 (2): 366–400。
• ノリス、JR (1997)。マルコフ連鎖。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780511810633。
• ロス、シェルドン M. (2010)。確率モデル入門（第 10 版）。アカデミック プレス。ISBN 9780123756862。
• アップトン、G.; クック、I. (2014)。統計辞典（第3版）。ISBN 9780191758317。