ポイントプロセス

統計学と確率論において、点過程または点体とは、実数直線やユークリッド空間などの数学的空間上にランダムに配置された乱数の数学的点の集合である。^{[1] [2]}

実数直線上の点過程は、点が自然な順序で並び、点過程全体を点間の（ランダムな）間隔で完全に記述できるため、特に研究しやすい重要な特殊なケースです。^{[3]これらの点過程は、顧客の行列への到着（}待ち行列理論）、ニューロン内のインパルス（計算神経科学）、ガイガーカウンター内の粒子、通信ネットワーク内のラジオ局の位置^{[4] 、または}ワールドワイドウェブ上の検索など、時間内のランダムイベントのモデルとして頻繁に使用されます。

ユークリッド空間上の一般的な点過程は空間データ分析に利用することができ、^{[5] [6]林業、植物生態学、疫学、地理学、地震学、材料科学、天文学、電気通信、計算神経科学、 [7]}経済学^[8]など、 多様な分野で興味深いものです。

点過程は歴史的に異なるコミュニティによって開発されてきたため、点過程の数学的解釈にはランダム計数測度やランダム集合などさまざまなものがあり、 ^{[9] [10]表記法も異なります。表記法については}点過程表記法のページ で詳しく説明しています。

点過程と確率過程を2つの異なるオブジェクトとみなす著者もいるが、点過程は確率過程から生じるか、または確率過程と関連するランダムオブジェクトである^{[11] [12]}が、点過程と確率過程の違いは明確ではないと指摘されている^[12] 。また、点過程を確率過程とみなす著者もいる。この場合、点過程は、実数直線や -次元ユークリッド空間など、その定義の 基となる空間^[a]の集合によってインデックス付けされる。^{[15] [16]} 更新過程や計数過程などの他の確率過程は、点過程の理論で研究されている^{[17] [12]} 。歴史的に「プロセス」という言葉は、あるシステムの時間的発展を意味していたため、「点過程」という用語が好まれないこともある。そのため、点過程はランダム点場とも呼ばれる^{[18] 。}${\displaystyle n}$

数学において、点過程とは、値が集合S上の「点パターン」であるランダム要素です。厳密な数学的定義では、点パターンは局所的に有限な計数測度として指定されますが、より応用的な目的では、点パターンを極限点を持たないSの可算な部分集合として考えれば十分です。^{[説明が必要]}

一般的な点過程を定義するには、まず確率空間と測定可能な空間から始めます。ここで は局所的にコンパクトな第 2 可算ハウスドルフ空間で、はその ボレル σ 代数です。ここで、から へ の整数値の局所的に有限なカーネル、つまり次のような マッピング を考えます。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. 任意の に対して、は上の（整数値の）局所有限測度です。${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$${\displaystyle S}$
2. 任意の に対して、は 上のランダム変数です。${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

このカーネルは、ランダム測度を次のように定義します。 は測度 (つまり、)に マッピングするマッピングを定義するものと考えます。ここで、 は上のすべての局所有限測度の集合です。ここで、このマッピングを測定可能にするには、上の -体を定義する必要があります。この-体は、が比較的コンパクトな である形式のすべての評価マップが 測定可能になるように、最小代数として構築されます。この -体を備えると、 はランダム要素になります。ここで、任意の に対して、 上の局所有限測度です。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }}$${\displaystyle S}$

ここで、上の点過程とは、上記のように構築された整数値のランダム測度（または同等の整数値のカーネル）を意味します。状態空間Sの最も一般的な例は、ユークリッド空間R ⁿまたはそのサブセットであり、特に興味深い特殊なケースは実数半直線 [0,∞) によって与えられます。ただし、点過程はこれらの例に限定されず、点自体がR ⁿのコンパクトなサブセットである場合にも使用できます。この場合、ξは通常、粒子過程と呼ばれます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi }$

点過程という名前にもかかわらず、S は実数直線の部分集合ではない可能性があり、ξ が確率過程であることを示唆する可能性があります。

点過程ξのあらゆるインスタンス（またはイベント）は次のように表される。

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

ここで、はディラック測度、nは整数値のランダム変数、 はSのランダム要素です。がほぼ確実に異なる場合（または同等に、すべての に対してほぼ確実に異なる場合）、点過程は単純と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

イベント (イベント空間内のイベント、つまり一連の点) の別の異なるが便利な表現はカウント表記法です。カウント表記法では、各インスタンスが関数(整数値を取る連続関数) として表現されます。 ${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt}$

これは観測間隔内のイベントの数です。 、 と表記されることもあり、または を意味します。 ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$${\displaystyle N_{T}}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0,T}}$

点過程 ξ の期待測度 Eξ (平均測度とも呼ばれる ) は、 S上の測度であり、 Sのすべてのボレル部分集合BにB内のξの点の期待数を割り当てる。つまり、

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

点過程Nのラプラス関数は、 Nの状態空間上のすべての正の値を持つ関数fの集合からへの写像であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

これらは、ランダム変数の特性関数と同様の役割を果たします。 1 つの重要な定理は、2 つの点過程のラプラス関数が等しい場合、それらの点過程は同じ法則を持つというものです。

点過程の べき乗は、積空間上で次のように定義されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi ^{n},}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

単調類定理により、これは 上の積測度を一意に定義します 。期待値は番目のモーメント測度と呼ばれます。最初のモーメント測度は平均測度です。 ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$${\displaystyle n}$

とする。ルベーグ測度に関する点過程の結合強度は、任意の互いに素な有界ボレル部分集合に対して${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

点過程の場合、結合強度は常に存在するわけではありません。多くの場合、ランダム変数のモーメントがランダム変数を決定することを考えると、結合強度についても同様の結果が期待されます。実際、これは多くのケースで示されています。^[2]

点過程は、がすべての に対してと同じ分布を持つ場合、定常であると言われます。定常点過程とは、ある定数および に対する平均測度で、ルベーグ測度を表します。これは、点過程の強度と呼ばれます。 上の定常点過程には、ほぼ確実に合計で 0 個または無限個の点があります。定常点過程とランダム測度の詳細については、Daley & Vere-Jones の第 12 章を参照してください。^[2]定常性は、 よりも一般的な空間の点過程に対して定義され、研究されてきました。 ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

点過程変換は、点過程を別の点過程にマッピングする関数です。

点過程の例をいくつか見てみましょう。${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

点過程の最も単純で最も普遍的な例はポアソン点過程であり、これはポアソン過程の空間的一般化である。直線上のポアソン（計数）過程は、2つの特性によって特徴付けられる。すなわち、互いに素な区間内の点（またはイベント）の数は独立しており、ポアソン分布に従う。ポアソン点過程は、これら2つの特性を使用して定義することもできる。すなわち、次の2つの条件が満たされる場合、点過程はポアソン点過程である と言える。${\displaystyle \xi }$

1)互いに素な部分集合に対して独立である ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) 任意の有界部分集合 に対して、はパラメータ を持つポアソン分布を持ちます。ここで、 は ルベーグ測度を表します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \lambda \|B\|,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

2つの条件を組み合わせて次のように書くことができる。任意の 互いに素な有界部分集合と非負整数に対して、${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

定数はポアソン点過程の強度と呼ばれます。ポアソン点過程は、1つのパラメータによって特徴付けられることに留意してください。これは単純で定常な点過程です。より具体的には、上記の点過程を同次ポアソン点過程と呼びます。非同次ポアソン過程は、上記のように定義されますが、を に置き換えます。ここで、は の非負関数です。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Cox過程(サー・デイビッド・コックスにちなんで命名) は、の代わりにランダム測度を使用する点でポアソン点過程の一般化です。より正式には、 をランダム測度とします。ランダム測度によって駆動される Cox 点過程は、次の 2 つの特性を持つ 点過程です。${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \xi }$

1. が与えられた場合、任意の有界部分集合に対してパラメータ を持つポアソン分布となる。${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \Lambda (B)}$${\displaystyle B.}$
2. 互いに素な部分集合の有限集合とを条件として、は独立である。${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

ポアソン点過程（同次および非同次）がコックス点過程の特別なケースとして成り立つことは容易に分かる。コックス点過程の平均測度はであり、したがってポアソン点過程の特別なケースでは、それは${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

コックス点過程の場合、は強度測度と呼ばれる。さらに、が（ランダム）密度（ラドン・ニコディム微分）を持つ場合、すなわち、 ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

はCox 点過程の強度場と呼ばれます。強度測度または強度場の定常性は、対応する Cox 点過程の定常性を意味します。 ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Cox 点過程には、次のような多くの特定のクラスがあり、詳細に研究されてきました。

• 対数ガウスコックス点過程：^[19] ガウス確率場の場合${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$
• ショットノイズコックス点過程：^[20] ポアソン点過程とカーネル${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• 一般化ショットノイズコックス点過程：^[21] 点過程とカーネル${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• レヴィ基底コックス点過程：^[22] レヴィ基底と核に対して、そして${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$${\displaystyle L(\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• 永久コックス点過程：^[23] k個の独立したガウス確率場の${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• シグモイド型ガウスコックス点過程：^[24] ガウス確率場とランダム${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

ジェンセンの不等式により、コックス点過程が次の不等式を満たすことが証明できる。すべての有界ボレル部分集合に対して、 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

ここで、 は強度測度を持つポアソン点過程を表します。したがって、コックス点過程の点の分布は、ポアソン点過程の点の分布よりも変動が大きくなります。これは、コックス点過程のクラスタリングまたは魅力的な特性と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

物理学、ランダム行列理論、組合せ論に応用される重要な点過程のクラスは、行列式点過程である。^[25]

ホークス過程は、自己励起計数過程とも呼ばれ、条件付き強度が次のように表される単純な点過程である。 ${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

ここで、 は過去の出来事が強度過程の現在の値に及ぼす正の影響を表すカーネル関数であり、は強度の期待値、予測値、または決定論的部分を表す非定常関数であり、は過程のi番目の出来事の発生時刻である。^[26]${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

非負の確率変数のシーケンスが与えられ、それらが独立であり、 の累積分布関数がに対してで与えられる場合（ は正の定数）、 は幾何過程（GP）と呼ばれる。^[27]${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

幾何学的過程には、α級数過程^[28]や二重幾何学的過程^[29]など、いくつかの拡張がある。

歴史的に研究された最初の点過程は、実数半直線R ₊ = [0,∞)を状態空間として持ち、この文脈では通常時間として解釈されます。これらの研究は、電話交換機への通話など、時間内のイベントを点が表す 通信システムをモデル化したいという願望によって動機付けられました^{[30] 。}

R ₊上の点過程は、典型的には、それらの（ランダムな）イベント間の時間（ T ₁、  T ₂ 、...）のシーケンスを与えることによって記述され、そこから実際のイベント時間のシーケンス（X ₁、  X ₂、...）は次のように得られる。

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

イベント間の時間が独立かつ同一に分布している場合、得られる点過程は更新過程と呼ばれます。

実半直線上の点過程の強度λ ( t  |  H _t )は、濾過 H _tに関して 次のように定義される。

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _{t は}、時刻tに先行するイベントポイント時間の履歴を表すことができますが、他のフィルタリング（たとえば、Cox プロセスの場合）に対応することもできます。

-表記法では、これをより簡潔な形式で記述できます。 ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

点過程の補償子は、双対予測可能射影とも呼ばれ、次のように定義される積分条件付き強度関数である。

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

次元ユークリッド空間における点過程のパパンゲロウ強度関数は 次のように定義される。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

ここで、は半径 のを中心とする球であり、 の 外側の 点過程の情報を表します。 ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

観測データに基づくパラメータ化された単純な点過程の対数尤度は次のように表される。

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^[31]

R ⁿのコンパクトなサブセットS内の点パターンデータの分析は、空間統計学の主要な研究対象です。このようなデータは、幅広い分野で見られますが、^[32]その中には次のようなものがあります 。

• 林業と植物生態学（一般的な樹木や植物の位置）
• 疫学（感染患者の居住地）
• 動物学（動物の巣穴や巣）
• 地理（人間の居住地、町、都市の位置）
• 地震学（地震の震源）
• 材料科学（工業材料の欠陥の位置）
• 天文学（星や銀河の位置）
• 計算神経科学（ニューロンのスパイク）。

こうした種類のデータをモデル化するために点過程を使用する必要があるのは、その固有の空間構造のためです。したがって、最初に関心が寄せられる質問は、多くの場合、与えられたデータが空間集約や空間抑制を示すのではなく、完全な空間ランダム性を示すかどうか（つまり、空間ポアソン過程の実現であるかどうか）です。

対照的に、従来の多変量統計で考慮される多くのデータセットは、1 つまたは複数の共変量 (通常は非空間的) によって制御される可能性のある、独立して生成されたデータポイントで構成されます。

空間統計への応用とは別に、点過程は確率幾何学における基本的なオブジェクトの 1 つです。ボロノイ分割、ランダム幾何学グラフ、ブールモデルなど、点過程に基づいて構築されたさまざまなモデルにも広範な研究が行われています。

• 経験的尺度
• ランダム測定
• 点過程記法
• ポイントプロセス演算
• ポアソン過程
• 再生理論
• 不変測度
• 転送オペレータ
• クープマン演算子
• シフト演算子