ラプラス関数

確率論において、ラプラス関数は関数の2つの可能な数学的関数のうちの1つ、より正確には、点過程または距離空間の測度集中特性を研究するための数学的ツールとして機能する関数を指します。ラプラス関数の1つのタイプ^{[1] [2] は}特性関数^[a]としても知られ、点過程に関連して定義され、ランダム計数測度として解釈でき、点過程の特性評価と結果の導出に応用されています。^{[5]その定義は、}ランダム変数の特性関数に類似しています。

もう一つのラプラス関数は、計量を備えた確率空間用であり、空間の 測度特性の集中を研究するために使用されます。

上で定義される一般的な点過程に対して、ラプラス関数は次のように定義される: ^[6]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle L_{N}(f)=E[e^{-\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}],}$

ここで、は任意の測定可能な非負関数であり、 ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}).}$

ここで、 表記法は点過程をランダムカウント測度として解釈します。点過程表記法を参照してください。 ${\displaystyle N(dx)}$

ラプラス関数は点過程を特徴づけるものであり、点過程についてそれが分かっていれば、様々な結果を証明するために使用することができます。^{[2] [6]}

ある計量確率空間 ( X ,  d ,  μ ) に対して、ラプラス関数は次のようになります。ここで、 ( X ,  d ) は計量空間であり、μは ( X ,  d )のボレル集合上の確率測度です。

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}(\lambda ):=\sup \left\{\left.\int _{X}e^{\lambda f(x)}\,\mathrm {d} \mu (x)\right|f\colon X\to \mathbb {R} {\text{ は有界、1-リプシッツであり、}}\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=0\right\} である。}$

ラプラス関数は、正の実数直線から正の（拡張された）実数直線に写像します。数学的表記では次のようになります。

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}\colon [0,+\infty )\to [0,+\infty ]}$

( X ,  d ,  μ )のラプラス関数は、 r  > 0に対して次のよう に定義される濃度関数( X ,  d ,  μ )の境界値として使用できます。

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r):=\sup\{1-\mu (A_{r})\mid A\subseteq X{\text{ かつ }}\mu (A)\geq {\tfrac {1}{2}}\},}$

どこ

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in X\mid d(x,A)\leq r\}.}$

( X ,  d ,  μ )のラプラス関数は上限を導きます。

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r)\leq \inf _{\lambda \geq 0}e^{-\lambda r/2}E_{(X,d,\mu )}(\ラムダ ).}$

• Ledoux, Michel (2001)。『測定の集中現象』。数学概論とモノグラフ。第 89 巻。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会。pp. x+ 181。ISBN 0-8218-2864-9。 MR 1849347