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数学および電気通信において、無線ネットワークの確率幾何学モデルとは、無線ネットワークの様々な側面を表現するために設計された、確率幾何学に基づく数学モデルを指します。関連する研究は、これらのモデルを分析し、無線通信ネットワークをよりよく理解して、様々なネットワーク性能指標を予測および制御することを目的としています。これらのモデルでは、確率幾何学および点過程、空間統計、幾何確率、パーコレーション理論などの関連分野の手法、ならびに幾何学、確率論、確率過程、待ち行列理論、情報理論、フーリエ解析などのより一般的な数学分野の手法を使用する必要があります。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]
1960 年代初頭に、無線ネットワークを研究するために確率幾何学モデル[ 5 ]が開発されました。このモデルは先駆的であり、連続体パーコレーションの起源と考えられています。[ 6 ]幾何学的確率に基づくネットワークモデルは、後に 1970 年代後半に提案され使用され[ 7 ]、1980 年代を通じてパケット無線ネットワークの調査に使用され続けました[ 8 ] [ 9 ]。その後、モバイルアドホックネットワーク、センサー ネットワーク、車載アドホックネットワーク、コグニティブ無線ネットワーク、および異種セルラーネットワークなどのいくつかのタイプのセルラーネットワークを含む、多くの無線ネットワーク技術の研究にその使用が大幅に増加しました。[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]主要なパフォーマンスとサービス品質の量は、多くの場合、信号対干渉雑音比などの情報理論の概念に基づいており、これはネットワークの接続性とカバレッジを定義する数学的基礎を形成します。[ 4 ] [ 11 ]
確率幾何学モデル（ランダム空間モデルとも呼ばれる）の研究の根底にある主な考え方は、無線ネットワークにおけるユーザーの規模と予測不可能性のため、ノードの位置やネットワーク構造、および前述の量は本質的にランダムであると仮定するのが最善であるということである。確率幾何学を用いることで、シミュレーション手法や（扱いにくい、あるいは不正確な）決定論的モデルに頼ることなく、これらの量の閉形式または半閉形式の式を導出することができる。[ 10 ]
確率幾何学とは、ある空間（多くの場合ユークリッド空間）上で定義されたランダムな対象を数学的に研究する学問分野です。無線ネットワークにおいては、ランダムな対象は通常、単純な点（受信機や送信機などのネットワークノードの位置を表す場合がある）または形状（例えば、送信機の通信範囲）であり、ユークリッド空間は3次元空間、あるいはより一般的には地理的領域を表す2次元平面です。無線ネットワーク（例えば、セルラーネットワーク）では、他の送信機の干渉により、基となる幾何学（ノードの相対的な位置）が重要な役割を果たしますが、有線ネットワーク（例えば、インターネット）では、基となる幾何学の重要性は低くなります。
無線ネットワークは、空間と共通の周波数帯域を共有する（情報理論的な）チャネルの集合と見なすことができます。各チャネルは、データを受信機のセットに送信しようとする送信機のセットで構成されています。最も単純なチャネルはポイントツーポイントチャネルで、単一の送信機が単一の受信機にデータを送信することを目的としています。情報理論の用語では、ブロードキャストチャネル[ 13 ]は、単一の送信機が異なる受信機に異なるデータを送信することを目的とする1対多の状況であり、たとえば、セルラーネットワークのダウンリンクで発生します[ 14 ] 。多重アクセスチャネルはその逆で、複数の送信機が異なるデータを単一の受信機に送信することを目的としています[ 13 ] 。この多対1の状況は、たとえば、セルラーネットワークのアップリンクで発生します[ 14 ] 。多対多の状況など、他のチャネルタイプも存在します。これらの（情報理論的な）チャネルはネットワークリンクとも呼ばれ、その多くが任意の時点で同時にアクティブになります。
無線ネットワークで関心の持てる幾何学的オブジェクトの例は数多くあります。たとえば、ユークリッド平面上の点の集合を考えてみましょう。各点について、その点を中心とする円盤を平面上に配置します。円盤は互いに重なり合うことができ、各円盤の半径はランダムで、他のすべての半径とは（確率的に）独立しています。これらの円盤の和集合からなる数学的オブジェクトは、ブール（ランダム円盤）モデル[ 4 ] [ 15 ] [ 16 ]として知られており、たとえば、センサーネットワークのセンシング領域を表すことができます。すべての半径がランダムではなく、共通の正の定数である場合、結果として得られるモデルは、ギルバート円盤（ブール）モデルとして知られています。[ 17 ]
平面上に円盤を配置する代わりに、各ノードに互いに重ならない（または重複しない）部分領域を割り当てることができます。すると、平面は互いに重ならない部分領域の集合に分割されます。例えば、各部分領域は、基となる点パターンのどの点よりも、その点パターンの特定の点に近い平面上のすべての位置の集合で構成される場合があります。この数学的構造はボロノイ分割として知られており、例えば、ユーザーが最も近い基地局に接続するセルラーネットワークにおける接続セルを表すことができます。
点上にディスクやボロノイセルを配置する代わりに、上述の情報理論的チャネルから定義されたセルを配置することができる。例えば、点の点間チャネルセルは[ 18 ]で、受信機がその点に位置する送信機から一定の品質の点間チャネルを維持できる平面上のすべての位置の集合として定義されている。もう一方の点もアクティブな送信機である場合、これはそれ自体が点間チャネルとなる。
いずれの場合も、基となる点パターンがランダム（例えば、点過程）であるか、決定論的（例えば、点の格子）であるか、あるいはその両方の組み合わせであるかによって、ブールモデル、ボロノイ分割、およびそこから構築される点対点チャネルセルなどの他の幾何学的構造の性質が影響を受ける。
有線通信では、情報理論（特にシャノン・ハートレーの定理）の分野から、信号対雑音比（SNR）の研究の必要性が生じます。無線通信では、複数のチャネルが同時にアクティブになっている場合、他のチャネルからの干渉は雑音とみなされ、信号対干渉雑音比（SINR）と呼ばれる量が必要となります。例えば、ポイントツーポイントチャネルの集合がある場合、特定の送信機・受信機ペアのチャネルのSINRは次のように定義されます。
ここで、 Sは受信機における送信機からの受信信号の電力、I はネットワーク内の他のすべての (干渉する) 送信機の合成電力、Nはある熱雑音項の電力です。干渉がない場合 (つまりI = 0) はSINR はSNRに減少します。雑音が無視できるネットワーク (「干渉制限」ネットワークとも呼ばれる) では、N = 0 となり、信号対干渉比(SIR) が得られます。
確率幾何学無線ネットワークモデルの一般的な目標は、SINRまたはSINRの関数（カバレッジ（またはアウトテージ）と接続性を決定する関数）の式を導出することです。たとえば、非公式にはチャネル上で信号を正常に送信できない確率であるアウトテージ確率p outの概念は、ポイントツーポイントの場合、チャネルのSINRがネットワーク依存のしきい値以下である確率として定義することで、より正確になります。[ 19 ]カバレッジ確率p cは、SINRがSINRしきい値より大きい確率です。つまり、SINRしきい値tが与えられた場合、アウトテージ確率とカバレッジ確率は次のように与えられます。
そして
確率幾何学モデルの目的の一つは、他のすべてのチャネルによって生じる干渉を考慮に入れた場合の、典型的なチャネルのシャノンチャネル容量またはレートの確率法則を導出することである。
ポイントツーポイントチャネルの場合、他の送信機によって発生する干渉はノイズとみなされ、このノイズがガウス分布である場合、典型的なシャノンチャネル容量の法則は、シャノンの公式（ビット/秒）によるSINRの法則によって決定されます。
ここで、Bはチャネルの帯域幅（ヘルツ）です。言い換えれば、カバレッジまたは停止確率とシャノンチャネル容量の間には直接的な関係があります。このようなランダムな設定の下でのCの確率分布を決定する問題は、いくつかの種類の無線ネットワークアーキテクチャまたはタイプで研究されてきました。
一般的に、通信システムにおける確率論と確率過程の理論の手法の使用は、アグナー・アーランの先駆的なテレトラフィック研究に遡る1世紀以上に及ぶ長く複雑に絡み合った歴史を持っています。[ 20 ]確率幾何学モデルの設定では、エドガー・ギルバート[ 5 ]が1960年代に無線ネットワークの数学的モデルを提案しました。これは現在ギルバートディスクモデルとして知られており[ 17 ] 、連続体パーコレーション理論の分野を生み出しました。これは離散パーコレーションの一般化です。[ 6 ] 1970年代後半から、レナード・クラインロックらはポアソン過程に基づく無線モデルを使用してパケット転送ネットワークを研究しました。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]この研究は1990年代まで続き、ショットノイズの研究と交差しました。
確率幾何学の一般理論と手法、特に点過程は、電子システムで発生するショットノイズと呼ばれるノイズの一種を理解することによって動機づけられることが多かった。点過程の特定の数学関数については、これらの関数の和の平均（または期待値）を求める標準的な方法は、1世紀以上前にノーマン・R・キャンベルがショットノイズについて行った先駆的な研究に由来するキャンベルの公式[ 4 ] [ 21 ]または定理[ 22 ]である。 [ 23 ] [ 24 ]ずっと後の1960年代に、ギルバートはヘンリー・ポラックとともに、ポアソン過程の応答関数と同一分布のランダム変数の和から形成されるショットノイズ過程[ 25 ]を研究した。ショットノイズ過程は、点過程の分野でより形式的な数学的研究を促し[ 26 ] [ 27 ] 、特性関数の使用を伴うことが多く、後にネットワーク内の他のノードからの信号干渉のモデルに使用されるようになった。
1990年代初頭頃、ポアソン過程とべき乗則反発関数に基づくショットノイズが研究され、安定した分布を持つことが観察された。[ 28 ]研究者らは独立 して、干渉ノードまたは送信機の位置がポアソン過程に従って配置される無線ネットワークでユーザーが経験する干渉に対して、フーリエ変換とラプラス変換の手法を開発することに成功した。干渉のモデルとして、ポアソンショットノイズが安定した分布を持つことが、特性関数または同等のラプラス変換の使用によって再び独立して示された。これらの特性関数またはラプラス変換は、対応する確率分布よりも扱いやすい場合が多い。[ 1 ] [ 2 ] [ 30 ]
さらに、受信信号電力（すなわち有用信号電力）が指数分布に従う（例えば、レイリーフェージングによる）ことと、ポアソンショットノイズ（ラプラスが既知）を仮定すると、SINR に基づくカバレッジ確率の明示的な閉形式表現が可能になります。 [ 19 ] [ 31 ]この観察は、確率的幾何モデルを構築する際にレイリーフェージングの仮定が頻繁に行われる理由を説明するのに役立ちます。[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]
その後、2000年代初頭に研究者たちは、確率幾何学、特にカバレッジ過程の枠組みでSINRカバレッジ下の領域の特性を調べ始めました。[ 18 ]連続体パーコレーション理論の手法を用いて、SINRの観点からの接続性が研究されました。より具体的には、ギルバートの初期の結果がSINRの場合の設定に一般化されました。[ 32 ] [ 33 ]
無線ネットワークは、ネットワーク内でデータを生成、中継、または消費するノード（システムに応じて、各ノードは送信機、受信機、またはその両方）で構成されます。たとえば、携帯電話ネットワークの基地局とユーザー、またはセンサーネットワークのセンサーノードなどです。確率幾何学無線モデルを開発する前に、信号伝搬とノード位置を数学的に表現するためのモデルが必要です。伝搬モデルは、信号が送信機から受信機にどのように伝搬するかを捉えます。ノード位置モデルは、ノードの位置を点過程として（理想化して）表現します。これらのモデルの選択は、無線ネットワークの性質とその環境に依存します。ネットワークの種類は、特定のアーキテクチャ（たとえば、セルラー）や、チャネル、ひいてはネットワークの通信構造を制御するチャネルまたはメディアアクセス制御（MAC）プロトコルなどの要因に依存します。特に、ネットワーク内での送信の衝突を防ぐために、MACプロトコルは、特定のルールに基づいて、送信機と受信機のペアが時間的にも空間的にもネットワークにアクセスできるタイミングを規定し、これはアクティブノード位置モデルにも影響を与えます。
空気などの様々な媒体を伝搬する電磁信号（または波）の伝搬には、建物などの障害物との衝突によって生じるマルチパス伝搬（反射、屈折、回折、分散による）を考慮した、適切かつ扱いやすいモデルが必要です。伝搬モデルは、確率幾何学無線ネットワークモデルの構成要素です。一般的なアプローチは、信号伝搬のランダム成分と決定論的（または非ランダム）成分からなる2つの独立した部分を持つ伝搬モデルを検討することです。
決定論的要素は通常、電磁信号の電力減衰をモデル化するために信号が（その発生源から）伝搬する距離を用いる何らかの経路損失関数または減衰関数によって表されます。距離依存の経路損失関数は、単純なべき乗則関数（例えば、Hataモデル）、急速に減衰する指数関数、両者の組み合わせ、または別の減少関数である可能性があります。扱いやすさから、モデルにはしばしばべき乗則関数が組み込まれています。
ここで、パスロス指数α > 2であり、| x − y |は点yと点xにある信号源との間の距離を表します。
ランダム成分は、障害物による吸収や反射に伴う特定の種類の信号減衰を捉えることを目的としています。使用されている減衰モデルには、レイリー分布（電力に対して指数分布に従うランダム変数を使用）、対数正規分布、ライス分布、ナカガミ分布などがあります。
信号伝搬における決定論的要素とランダム要素の両方は、通常、無線ネットワークの全体的なパフォーマンスにとって有害であると考えられている。
確率幾何学ネットワークモデルにおける重要な課題は、ネットワークノードの位置を表す数学モデルを選択することです。標準的な仮定は、ノードが何らかの空間（多くの場合ユークリッド空間R n、さらに多くの場合平面R 2）内の（理想化された）点として表現され、それが（空間）点過程として知られる確率的またはランダムな構造を形成するというものです。[ 10 ]
無線ネットワークノードの位置をモデル化するために、いくつかの点過程が提案されている。その中でも最も頻繁に使用されるのはポアソン過程であり、ポアソンネットワークモデルを与える。[ 10 ]ポアソン過程は、その扱いやすさと研究の深さから、一般的に多くの分野で数学モデルとして広く用いられている。[ 15 ] [ 22 ]ポアソン過程は、一定のノード密度λを持つ均質過程（定常過程であることを意味する）であると仮定されることが多い。平面上のポアソン過程の場合、これは、境界領域B内にn個の点またはノードが存在する確率が次式で与えられることを意味する。
ここで、| B |はBの面積、n !はnの階乗を表します。上記の式は、面積項を体積項に置き換えることで、 R3の場合にも簡単に拡張できます。
ポアソンモデルの数学的な扱いやすさや容易さは、主にその「完全な独立性」によるものです。これは基本的に、互いに重ならない（または重複しない）2つ（またはそれ以上）の境界領域がそれぞれ、互いに独立した2つ（またはそれ以上）のポアソン数の点を含んでいることを意味します。この重要な特性はポアソン過程の特徴であり、その定義としてよく使用されます。[ 22 ]
ポアソン過程の完全な独立性または「ランダム性」[ 35 ]特性は、重ね合わせ特性などの点過程演算の有用な特性と結果をもたらします。密度λ1からλnまでのポアソン過程は、密度を持つ別のポアソン過程である。
さらに、ポアソン過程（密度λ）をランダムに間引くと、各点が確率p（または1 - p）で独立に削除（または保持）され、別のポアソン過程（密度(1 - p ) λ）が形成され、保持された点も削除された点のポアソン過程とは独立したポアソン過程（密度pλ）を形成します。[ 15 ] [ 22 ]
これらの性質と均質ポアソン過程の定義は、不均質（または非均質）ポアソン過程にも適用されます。不均質ポアソン過程は、位置に依存する密度λ ( x )を持つ非定常確率過程であり、 xは点（通常は平面R²内）です。詳細については、ポアソン過程に関する記事を参照してください。
ポアソン過程の独立性は単純化されているにもかかわらず、展開されたネットワークの構成を現実的に表現していないとして批判されてきた。[ 34 ]例えば、無線ネットワーク内の 2 つ (またはそれ以上) のノードが通常 (任意に) 互いに近くに配置されない場合 (例えば、セルラー ネットワークの基地局) のノードの「反発」を捉えていない。さらに、MAC プロトコルは、同時アクティブな送信機パターンの幾何学に相関または非ポアソン構成を誘発することが多い。二次送信機が一次受信機から遠く離れている場合にのみ送信が許可される認知無線ネットワークの場合にも強い相関が生じる。これらの批判やその他の批判に答えるために、二項過程、クラスタ過程、マターン ハードコア過程、[ 2 ] [ 4 ] [ 36 ] [ 37 ]およびストラウス過程とジニブレ過程など、ノードの位置を表現するための多くの点過程が提案されている。[ 10 ] [ 38 ] [ 39 ]例えば、マターンハードコア過程は、ポアソン点過程を依存的に間引くことによって構築されます。依存的な間引きは、結果として得られるハードコア過程の任意の点について、その点から一定の半径内に他の点が存在しないように行われ、その結果、過程内の各点の周りに「ハードコア」が作成されます。[ 4 ] [ 15 ] 一方、ソフトコア過程は、ハードコア過程とポアソン過程（反発がない）の中間のどこかの範囲の点反発を持ちます。より具体的には、ソフトコア点過程内の点が別の点の近くに存在する確率は、その点が他の点に近づくにつれて何らかの方法で減少し、その結果、他の点が存在する可能性は低いものの、各点の周りに「ソフトコア」が作成されます。
これらの点過程やその他の点過程に基づくモデルは、例えばセルラー基地局の構成など、いくつかの状況では現実により近いものとなるが、[ 34 ] [ 40 ]扱いやすさが失われることが多い。一方、ポアソン過程は数学と技術を大幅に簡略化するため、無線ネットワークの確率幾何学モデルの開発に引き続き使用されている。[ 10 ]また、非ポアソンセルラーネットワークのSIR分布は、ポアソンネットワークのSIR分布に水平シフトを適用することで近似できることが示されている。[ 41 ]
ネットワークモデルの種類は、ネットワークのアーキテクチャ構成（セルラー、アドホック、コグニティブ無線）、使用されているメディアアクセス制御（MAC）プロトコル、その上で実行されているアプリケーション、ネットワークがモバイルか静的かといった要素の組み合わせによって決まります。
21世紀初頭頃には、モバイルアドホックネットワークやセンサーネットワークなど、多くの新しいネットワーク技術が登場しました。これらのネットワークのモデルを開発するために、確率幾何学とパーコレーション技術が使用されてきました。[ 2 ] [ 42 ]ユーザーのトラフィックの増加により、確率幾何学がセルラーネットワークに適用されるようになりました。[ 43 ]
ポアソン双極ネットワークモデルは、ポアソン過程に基づく確率幾何学モデルの一種であり、モバイルアドホックネットワーク（MANET）のモデルの初期の例です。 [ 2 ] [ 31 ] [ 44 ] MANETは、モバイルデバイスがインフラストラクチャ（基地局やアクセスポイント）に依存しない自己組織化無線通信ネットワークです。MANETモデルでは、送信機はランダムな点過程を形成し、各送信機の受信機はランダムな距離と向きに配置されます。チャネルは、送信機と受信機のペアまたは「双極子」の集合を形成します。チャネルの信号は、関連する双極子を介して送信される信号であり、干渉は、双極子以外のすべての送信機によって生成される信号です。送信機と受信機の双極子を考慮するアプローチは、ポアソン双極ネットワークモデルの1つの開発と分析につながりました。単位空間あたりの平均成功送信数を最大化する媒体アクセス確率の選択は、特に[ 31 ]で導出されました。
無線センサーネットワークは、空間的に分散した自律型センサーノードの集合体で構成されます。各ノードは、温度、音、圧力などの物理的または環境的条件を監視し、収集したデータをネットワークを介してメインの場所に協調的に中継するように設計されています。非構造化センサーネットワークでは、[ 45 ]ノードの配置はランダムに行われる場合があります。すべてのセンサーネットワークの主な性能基準は、ネットワークがデータを収集する能力であり、これがネットワークのカバー範囲またはセンシング領域を定量化する必要性を生み出します。ネットワークの接続性、つまり収集したデータをメインの場所に中継する能力を評価することも重要です。
構造化されていないセンサーネットワークのランダムな性質は、確率幾何学的手法の使用を促してきました。たとえば、連続パーコレーション理論とカバレッジプロセスのツールは、カバレッジと接続性を研究するために使用されてきました。[ 42 ] [ 46 ]これらのネットワークや一般的なワイヤレスネットワークを研究するために使用されるモデルの 1 つは、連続パーコレーション理論からのカバレッジプロセスの一種であるポアソン-ブールモデルです。
センサーネットワークの主な制約の 1 つはエネルギー消費であり、通常、各ノードにはバッテリーと、場合によっては組み込み型のエネルギーハーベスティング機能があります。センサーネットワークのエネルギー消費を削減するために、ノードのサブコレクションを低エネルギー消費のスリープモードに移行させるさまざまなスリープ方式が提案されています。これらのスリープ方式は、明らかにセンサーネットワークのカバレッジと接続性に影響を与えます。単純な非協調または分散型の「点滅」モデルなどの基本的な省電力モデルが提案されており、各ノードは (各時間間隔で) 一定の確率で独立して電源をオフに (またはオン) します。パーコレーション理論のツールを使用して、このようなスリープ方式を持つセンサーネットワークの遅延と接続性のパフォーマンスを分析するために、点滅ブールポアソンモデルと呼ばれる新しいタイプのモデルが提案されました。[ 42 ]
セルラーネットワークとは、セルと呼ばれる複数の区画に分割された地域に分散配置された無線ネットワークであり、各セルには少なくとも1つの固定位置にある送受信機（セル基地局）が設置されています。セルラーネットワークでは、各セルは隣接するセルとは異なる周波数帯を使用することで、干渉を軽減し、各セル内での帯域幅を拡大しています。セルラーネットワークの事業者は、ネットワークの規模を決定するために、特定のパフォーマンス指標またはサービス品質（QoS）指標を把握する必要があります。これは、必要なQoSレベルに対するユーザートラフィックの需要を満たすために、基地局の密度を調整することを意味します。
セルラーネットワークでは、ユーザー（または電話）から基地局へのチャネルはアップリンクチャネルとして知られています。逆に、ダウンリンクチャネルは基地局からユーザーへのチャネルです。ダウンリンクチャネルは確率幾何学モデルで最もよく研究されていますが、より難しい問題であるアップリンクの場合のモデルは開発され始めています。[ 47 ]
ダウンリンクの場合、送信機と受信機は2つの独立した点プロセスとみなすことができます。最も単純なケースでは、受信機（つまりユーザー）ごとに1つのポイントツーポイントチャネルがあり、特定の受信機の場合、このチャネルは受信機に最も近い送信機（つまり基地局）からのものとなります。別の選択肢としては、受信機に対して最も信号強度の高い送信機を選択する方法があります。いずれの場合も、同じ送信機に対して複数のチャネルが存在する可能性があります。
セルラーネットワークを分析する最初のアプローチは、平面上のどこにでも存在すると考えられる典型的なユーザーを考慮することです。点過程のエルゴード性（均質ポアソン過程を使用する場合に満たされる）を仮定すると、典型的なユーザーの結果はユーザーの平均値に対応します。典型的なユーザーのカバレッジ確率は、セルラーネットワークに接続できるネットワークユーザーの割合として解釈されます。
アロハモデルに関する以前の研究[ 44 ]を基に、ポアソンネットワークの典型的なユーザーのカバー確率が導出されました。[ 43 ] [ 48 ]セルラーネットワークのポアソンモデルは、六角形モデルよりも扱いやすいことがわかっています。[ 43 ]一方、この観察は、六角形モデルのランダムノードと参照基地局間のチャネル減衰確率分布関数の詳細かつ正確な導出が[ 49 ]で明示的に導出され、この結果を使用してアウトテージ確率を扱いやすく導出できるという事実によって反論される可能性があります。
十分に強く独立した対数正規シャドウフェージング（またはシャドウイング）と特異なべき乗則減衰関数が存在する場合、六角形ネットワークについてはシミュレーション[ 50 ]で観測され、その後、一般的な定常（六角形を含む）ネットワークでは、典型的なユーザーのSINRやSIRなどの量が、基となるネットワークがポアソンであるかのように確率的に振る舞うことが数学的に証明されました[ 51 ] [ 52 ]。言い換えれば、パス損失関数が与えられた場合、一定のシャドウイングを伴うポアソンセルラーネットワークモデルを使用することは、（SIR、SINRなどの観点から）基地局が一定の密度で決定論的またはランダムな構成に従って配置されている数学モデルで、十分に大きく独立したフェージングまたはシャドウイングを仮定することと同等です。
結果は元々対数シャドウイング用に導出されたものですが、その後、フェージングとシャドウイングのモデルの大部分に拡張されました[ 52 ]。対数正規シャドウイングの場合、シャドウイング間に何らかの相関がある場合、無線ネットワークは依然としてポアソン分布のように見えることが数学的に示されています[ 53 ] 。
セルラーネットワークの文脈では、異種ネットワーク（HetNet とも呼ばれる）は、マクロ基地局、ピコ基地局、フェムト基地局など、複数のタイプの基地局を使用して、より良いカバレッジとビットレートを提供するネットワークです。これは特に、マクロ基地局で屋外の開けた環境、オフィスビル、家、地下エリアのみをカバーすることの難しさに対処するために使用されます。最近のポアソンベースのモデルは、ダウンリンクの場合のこのようなネットワークのカバレッジ確率を導出するために開発されました。[ 54 ] [ 55 ] [ 56 ]一般的なアプローチは、ネットワークのレイヤーまたは「階層」を複数用意し、それらを互いに結合または重ね合わせて、1 つの異種ネットワークまたはマルチ階層ネットワークにすることです。各階層がポアソンネットワークである場合、ポアソン過程の重ね合わせ特性により、結合されたネットワークもポアソンネットワークになります。[ 22 ]次に、この重ね合わせたポアソンモデルのラプラス変換を計算し、ユーザーが瞬間的に最も強い基地局に接続されている場合[ 54 ]と、平均的に最も強い基地局に接続されている場合（小規模フェージングは含まない） [ 55 ]の、複数の階層を持つセルラーネットワークの（ダウンリンクチャネル）のカバレッジ確率を算出します。
近年、セルラーネットワーク（またはその他のネットワーク）における「典型的なユーザー」を想定したモデル構築手法が広く用いられている。しかしながら、これはあくまでも初期的なアプローチであり、ネットワークのスペクトル効率（または情報伝送速度）のみを特徴づけることができるに過ぎない。言い換えれば、このアプローチは、他のユーザーと無線ネットワークのリソースを共有する必要のない単一ユーザーに提供できる最良のサービスを捉えているに過ぎない。
典型的なユーザーアプローチを超えたモデルが、単一ユーザーだけでなくユーザー集団のQoSメトリクスを分析することを目的として提案されている。大まかに言えば、これらのモデルは静的、半静的、半動的、および（完全）動的の4種類に分類できる。[ 57 ] より具体的には、次のとおりである。
これらのモデルを構築する際の最終目標は、以下の3つの主要なネットワークパラメータ、すなわち、単位面積当たりのユーザートラフィック需要、ネットワーク密度、およびユーザーQoS指標を関連付けることです。これらの関係はネットワーク設計ツールの一部を構成し、ネットワーク事業者が必要なパフォーマンスレベルにおけるトラフィック需要を満たすために、基地局の密度を適切に調整することを可能にします。
MACプロトコルは、送信機が無線媒体にアクセスできるタイミングを制御します。その目的は、アクティブな受信機が受ける干渉電力を制限することで、衝突を低減または防止することです。MACプロトコルは、利用可能なチャネルの基本的なパターンに基づいて、同時にアクティブなチャネルのパターンを決定します。したがって、異なるMACプロトコルは、利用可能なチャネルに対して異なる間引き処理を実行するため、異なる確率幾何学モデルが必要となります。
スロット付き Aloha 無線ネットワークは、チャネルが各時間間隔で確率pで独立して媒体にアクセスする Aloha MAC プロトコルを採用しています。[ 2 ]基盤となるチャネル (つまり、ポイントツーポイントの場合の送信機) がポアソン過程 (密度λ ) に従って配置されている場合、ネットワークにアクセスするノードもポアソン ネットワーク (密度pλ ) を形成し、ポアソン モデルの使用が可能になります。ALOHA は最も単純で古典的な MAC プロトコルの 1 つであるだけでなく、電力制御スキームとして解釈するとナッシュ均衡を達成することも示されています。 [ 71 ]
無線ネットワークの初期のいくつかの確率モデルは、スロット付き Aloha の性能を研究することを目的として、ポアソン点過程に基づいていました。[ 7 ] [ 72 ] [ 73 ]レイリーフェージングとべき乗則パス損失関数の下で、干渉項をショットノイズとして扱い、ラプラス変換モデルを使用することにより、アウトテージ (または同等に、カバレッジ) 確率式が導出されました。[ 19 ] [ 74 ]これは後に一般的なパス損失関数に拡張され、[ 31 ] [ 44 ] [ 75 ]さらに純粋なまたはスロットなし Aloha の場合に拡張されました。[ 76 ]
キャリアセンス多重アクセス（CSMA）MACプロトコルは、互いに近いチャネルが同時に媒体にアクセスしないようにネットワークを制御します。ポアソン点過程に適用すると、このプロトコルは、望ましい「反発」を示すマターン型ハードコア（フェージングの場合はソフトコア）点過程に自然につながることが示されています。[ 2 ] [ 36 ]チャネルがスケジューリングされる確率は閉形式で知られており、スケジューリングされたノードの点過程のいわゆるペア相関関数も同様です。[ 2 ]
コード分割多重アクセス（CDMA）MACプロトコルを使用するネットワークでは、各送信機は、他の信号と直交し、受信機に既知のコードで信号を変調します。これにより、他の送信機からの干渉が軽減され、干渉に直交係数を乗じることで数学モデルで表現できます。この種の表現に基づく確率幾何学モデルは、ポアソン過程に従って配置された送信機のカバーエリアを分析するために開発されました。[ 18 ]
従来の MAC ベースのモデルでは、ポイントツーポイント チャネルが想定され、干渉はノイズとして扱われていました。近年、ネットワーク情報理論の分野から生じる、より複雑なチャネルを研究するためのモデルが開発されています。[ 77 ]より具体的には、最も単純な設定の 1 つである、ポアソン点過程として表現される送信機と受信機のペアの集合のモデルが開発されました。[ 78 ]このモデルでは、「ポイントツーポイント コード」を含む干渉低減スキームの効果が調べられました。ランダムかつ独立に生成されたコードワードで構成されるこれらのコードは、送信機と受信機が情報を交換するタイミングを許可し、MAC プロトコルとして機能します。さらに、このモデルでは、各ペアに対してチャネルの集合または「パーティ」が定義されました。このパーティは多重アクセス チャネルであり、[ 77 ]つまりチャネルの多対一の状況です。パーティの受信機はペアの受信機と同じであり、ペアの送信機は他の送信機とともにパーティの送信機の集合に属します。確率幾何学を用いて、カバレッジの確率とカバレッジセルの幾何学的特性が導出された。[ 78 ]また、点対点符号と同時復号を用いる場合、干渉をノイズとして扱うシナリオと比較して、ポアソン構成に比べて得られる統計的利得が任意に大きくなることも示された。 [ 77 ]
確率幾何学無線モデルは、認知無線ネットワーク[ 79 ] [ 80 ]、リレーネットワーク[ 81 ] 、車両アドホックネットワークなど、いくつかのネットワークタイプに対して提案されている。
確率幾何学無線ネットワークモデルの詳細については、Haenggi の教科書[ 4 ] 、 Baccelli と Błaszczyszyn による 2 巻のテキスト[ 1 ] [ 2 ] (オンラインで入手可能)、およびサーベイ記事[ 11 ]を参照してください。無線ネットワークの干渉については、Ganti と Haenggi による干渉に関するモノグラフ[ 30 ] (オンラインで入手可能) を参照してください。より一般的な設定での確率幾何学と空間統計の入門については、Baddeley による講義ノート[ 21 ] ( Springer の購読でオンラインで入手可能) を参照してください。点過程の完全かつ厳密な扱いについては、Daley と Vere-Jones による 2 巻のテキスト[ 35 ] [ 82 ] ( Springer の購読でオンラインで入手可能) を参照してください。
