ポアソン型ランダム測度

ポアソン型ランダム測度は、部分空間への制限の下で閉じている、つまり間引きの下で閉じている 3 つのランダム計数測度の族です。これらは、この特性を持つ分布の標準的な非負のべき級数族の中で唯一の分布であり、ポアソン分布、負の二項分布、二項分布が含まれます。^[1] PT 分布族は、カッツ分布族、^[2]パンジャー分布または(a,b,0) クラス分布^{[3]としても知られており、}コンウェイ・マクスウェル・ポアソン分布^[4]を通じて取得できます。

を、法則、平均、存在する場合は分散 を持つ非負の整数値のランダム変数 とします。を測定可能空間上の確率測度とします。を、法則 での値を取る iid ランダム変数 (石) の集合とします。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\geq 0}=\mathbb {N} _{>0}\cup \{0\}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle c\in (0,\infty )}$${\displaystyle \delta ^{2}>0}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{i}\}}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle \nu}$

ランダムカウンティング測度は、石投げ構造（STC）^[5]を介した決定論的確率測度のペアに依存する。${\displaystyle N}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle (\kappa ,\nu )}$

${\displaystyle \quad N_{\omega }(A)=N(\omega ,A)=\sum _{i=1}^{K(\omega )}\mathbb {I} _{A}(X_{i}(\omega ))\quad {\text{for}}\quad \omega \in \Omega ,\,\,\,A\in {\mathcal {E}}}$

ここで は法則を持ち、iid は法則を持つ。は混合二項過程である^[6]${\displaystyle K}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsb }$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle N}$

を正の測定可能な関数の集合とする。の確率法則はラプラス関数で表される。${\displaystyle {\mathcal {E}}_{+}=\{f:E\mapsto \mathbb {R} _{+}\}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\mathbb {E} (\nu e^{-f})^{K}=\psi (\nu e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

ここで はの生成関数です。平均と分散は次のように与えられます。 ${\displaystyle \psi (\cdot )}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} Nf=c\nu f}$

そして

${\displaystyle \quad \mathbb {V} {\text{ar}}Nf=c\nu f^{2}+(\delta ^{2}-c)(\nu f)^{2}}$

任意の共分散は次のように与えられる。 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {E}}_{+}}$

${\displaystyle \quad \mathbb {C} {\text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu (fg)+(\delta ^{2}-c)\nu f\nu g}$

がポアソン分布、負の二項分布、または二項分布である場合、それはポアソン型（PT）であると言われる。集合の結合分布は、およびに対してである。${\displaystyle K}$${\displaystyle N(A),\ldots ,N(B)}$${\displaystyle i,\ldots ,j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i+\cdots +j=k}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j)=\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j|K=k)\,\mathbb {P} (K=k)={\frac {k!}{i!\cdots j!}}\,\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j}\,\mathbb {P} (K=k)}$

次の結果は、コレクションが に拡張される場合にランダム測度の構築を拡張します。ここで、 はのランダム変換です。経験的に、は のいくつかの特性 (マーク) を表します。 の条件法則はに従って何らかの遷移カーネルに従うと仮定します。 ${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\{(X_{i},Y_{i})\}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {P} (Y\in B|X=x)=Q(x,B)}$

ランダム測度と からへの遷移確率カーネルについて考えます。 集合 が与えられた場合、変数はに対して条件付きで独立していると仮定します。すると は上のランダム測度です。ここで はと理解されます。さらに、 に対して が成り立ちます。ここで はの pgf であり、 は次のように定義されます 。${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (E,{\cal {E)}}}$${\displaystyle (F,{\cal {F)}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} =\{Y_{i}\}}$${\displaystyle Y_{i}\sim Q(X_{i},\cdot )}$${\displaystyle M=(\kappa ,\nu \times Q)}$${\displaystyle (E\times F,{\cal {E\otimes F)}}}$${\displaystyle \mu =\nu \times Q}$${\displaystyle \mu (dx,dy)=\nu (dx)Q(x,dy)}$${\displaystyle f\in ({\cal {E}}\otimes {\cal {F}})_{+}}$${\displaystyle \mathbb {E} e^{-Mf}=\psi (\nu e^{-g})}$${\displaystyle \psi (\cdot )}$${\displaystyle K}$${\displaystyle g\in {\mathcal {E}}_{+}}$${\displaystyle e^{-g(x)}=\int _{F}Q(x,dy)e^{-f(x,y)}.}$

次の結果は直接的な帰結です。

量は、およびの測定可能な部分空間上の明確に定義されたランダム測度です。さらに、任意の に対して、 が成り立ちます。 ${\displaystyle N_{A}=(N\mathbb {I} _{A},\nu _{A})}$${\displaystyle (E\cap A,{\mathcal {E}}_{A})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{A}=\{A\cap B:B\in {\mathcal {E}}\}}$${\displaystyle \nu _{A}(B)=\nu (A\cap B)/\nu (A)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}_{+}}$${\displaystyle \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+b)}$${\displaystyle b=1-\nu (A)}$

を使用する場所に注意してください。 ${\displaystyle \psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+1-a)=\psi _{A}(\nu _{A}e^{-f})}$${\displaystyle \nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}=a\nu _{A}e^{-f}}$

ランダム測定の確率法則は、そのラプラス関数、つまり生成関数によって決定されます。

を に制限されたの計数変数とします。と がパラメータ の再スケーリングを条件として同じ法則族を共有する場合、 は骨分布と呼ばれます。pgf の 骨条件は によって与えられます。 ${\displaystyle K_{A}=N\mathbb {I} _{A}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset E}$${\displaystyle \{N\mathbb {I} _{A}:A\subset E\}}$${\displaystyle K=N\mathbb {I} _{E}}$${\displaystyle h_{a}(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \psi _{\theta }(at+1-a)=\psi _{h_{a}(\theta )}(t)}$

骨の分布と状態の概念を備え、ポアソン型 (PT) ランダムカウント測定の存在と一意性に関する主な結果は次のように与えられます。

pgf が およびの標準非負べき級数 (NNPS) 族に属すると仮定します。空間上のランダム測度を考え、 が拡散していると仮定します。すると、を持つ任意の に対して、制限ランダム測度が となるような写像が存在し、つまり、 ${\displaystyle K\sim \kappa _{\theta }}$${\displaystyle \psi _{\theta }}$${\displaystyle \{0,1\}\subset {\text{supp}}(K)}$${\displaystyle N=(\kappa _{\theta },\nu )}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle A\subset E}$${\displaystyle \nu (A)=a>0}$${\displaystyle h_{a}:\Theta \rightarrow \Theta }$${\displaystyle N_{A}=(\kappa _{h_{a}(\theta )},\nu _{A})}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi _{h_{a}(\theta )}(\nu _{A}e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

iff はポアソン、負の二項、または二項 (ポアソン型) です。 ${\displaystyle K}$

この定理の証明は、一般化された加法的なコーシー方程式とその解に基づいています。定理は、すべての NNPS 分布のうち、PT だけが、その制約がと同じ分布族を共有する、つまり、細線化に対して閉じているという特性を持つと述べています。PT のランダム測度は、ポアソンランダム測度、負の二項ランダム測度、および二項ランダム測度です。ポアソンは、互いに素な集合に対して独立して加法的ですが、負の二項は正の共分散を持ち、二項は負の共分散を持ちます。二項過程は、 である二項ランダム測度の極限ケースです。 ${\displaystyle N\mathbb {I} _{A}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p\rightarrow 1,n\rightarrow c}$

のpgf 上の「骨」条件は、分布的自己相似性プロパティをエンコードします。これにより、 pgf によってエンコードされた部分空間への制限（間引き）内のすべてのカウントは、標準パラメータの再スケーリングを通じて の同じファミリーに属します。これらのアイデアは、離散ランダム変数の自己分解性と安定性のアイデアと密接に関連しているようです。^[7]二項間引きは、時系列をカウントするための基本モデルです。^{[8] [9]}ポアソンランダム測度は、よく知られている分割プロパティを持ち、加法（完全にランダム）ランダム測度のクラスのプロトタイプであり、レヴィ過程の構造、コルモゴロフ方程式のジャンプ（マルコフジャンプ過程） 、およびブラウン運動のエクスカーションと関連しています。^[10]したがって、PTファミリーの自己相似性プロパティは、複数の領域の基礎となります。 PT ファミリーのメンバーは、多くのランダム測定とプロセスを構築できる「プリミティブ」またはプロトタイプのランダム測定です。 ${\displaystyle \psi _{\theta }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \psi _{A}}$${\displaystyle \psi _{\theta }}$${\displaystyle K}$