意味 出生が発生すると、プロセスは状態nから n + 1へ移行する 。死亡が発生すると、プロセスは状態n から状態n − 1 へ移行する。このプロセスは正の出生率によって規定される。 { λ 私 } 私 = 0 … ∞ \{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }} { μ 私 } 私 = 1 … ∞ {\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }} t {\displaystyle t} X （ t ） {\displaystyle X(t)} マルコフ性 を持ち、P 私 、 j （ t ） = P { X （ t + s ） = j | X （ s ） = 私 } {\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}} X （ t ） {\displaystyle X(t)} Δ t > 0 {\displaystyle \Delta t>0} P 私 、 j （ Δ t ） {\displaystyle P_{i,j}(\Delta t)}
P 私 、 私 + 1 （ Δ t ） = λ 私 Δ t + o （ Δ t ） 、 私 ≥ 0 、 {\displaystyle P_{i,i+1}(\Delta t)=\lambda _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 0,} P 私 、 私 − 1 （ Δ t ） = μ 私 Δ t + o （ Δ t ） 、 私 ≥ 1 、 {\displaystyle P_{i,i-1}(\Delta t)=\mu _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1,} P 私 、 私 （ Δ t ） = 1 − （ λ 私 + μ 私 ） Δ t + o （ Δ t ） 、 私 ≥ 1. {\displaystyle P_{i,i}(\Delta t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1.} このプロセスは、次の図で表されます。円はプロセスの状態（つまり、個体群の個体数）を示し、矢印は状態間の遷移を示しています。
再発と一過性 マルコフ過程における再帰性と一時性については、マルコフ連鎖 のセクション5.3を参照してください。
応用 1次元 ランダムウォーク を考えるS t 、 t = 0 、 1 、 … 、 {\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,} S 0 = 1 {\displaystyle S_{0}=1} S t = S t − 1 + e t 、 t ≥ 1 、 {\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,} e t {\displaystyle e_{t}} ± 1 {\displaystyle \pm 1} S t {\displaystyle S_{t}}
P { S t + 1 = S t + 1 | S t > 0 } = 1 2 + α S t S t 、 P { S t + 1 = S t − 1 | S t > 0 } = 1 2 − α S t S t 、 P { S t + 1 = 1 | S t = 0 } = 1 、 {\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,} どこα n {\displaystyle \alpha _{n}} 0 < α n < ミニ { C 、 n / 2 } 、 C > 0 {\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}
ここで説明するランダムウォークは、出生率を持つ出生死亡過程（マルコフ連鎖を参照）の 離散時間版である。
λ n = 1 2 + α n n 、 {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},} そして死亡率
μ n = 1 2 − α n n {\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}} つまり、ランダムウォークの再発または一時性は、誕生と死のプロセスの再発または一時性と関連している。[ 3 ]
ランダムウォークは、存在する場合には一時的なものである。c > 1 {\displaystyle c>1} K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} n 0 {\displaystyle n_{0}} n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} α n ≥ 1 4 （ 1 + ∑ k = 1 K − 1 ∏ j = 1 k 1 ln （ j ） （ n ） + c ∏ j = 1 K 1 ln （ j ） （ n ） ） 、 {\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),} 空の和K = 1 {\displaystyle K=1}
ランダムウォークは、以下が存在する場合に再帰的である。K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} n 0 {\displaystyle n_{0}} n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} α n ≤ 1 4 （ 1 + ∑ k = 1 K ∏ j = 1 k 1 ln （ j ） （ n ） ） 。 {\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}
定常溶液 出生と死亡の過程がエルゴード的であれば、定常状態の 確率が存在する。π k = リム t → ∞ p k （ t ） 、 {\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),} p k （ t ） {\displaystyle p_{k}(t)} k {\displaystyle k} t 。 {\displaystyle t.} p k （ 0 ） 、 {\displaystyle p_{k}(0),}
π k = π 0 ∏ 私 = 1 k λ 私 − 1 μ 私 、 k = 1 、 2 、 … 、 {\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,} π 0 = 1 1 + ∑ k = 1 ∞ ∏ 私 = 1 k λ 私 − 1 μ 私 。 {\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.} これらの極限確率は、次の無限微分方程式系から得られる。 p k （ t ） : {\displaystyle p_{k}(t):}
p 0 ′ （ t ） = μ 1 p 1 （ t ） − λ 0 p 0 （ t ） {\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,} p k ′ （ t ） = λ k − 1 p k − 1 （ t ） + μ k + 1 p k + 1 （ t ） − （ λ k + μ k ） p k （ t ） 、 k = 1 、 2 、 … 、 {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,} そして初期条件∑ k = 0 ∞ p k （ t ） = 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}
続いて、最後の微分方程式 系は、短時間におけるシステムのダイナミクスを記述する差分方程式 系から導出される。Δ t {\displaystyle \Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t} のオーダーになります。 Δ t {\displaystyle \Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t} 複数の出産 、複数の死亡 、少なくとも1回の出産と少なくとも1回の死亡 など、確率は より小さいオーダーである。 Δ t {\displaystyle \Delta t} k にある場合、区間内の出生確率はΔ t {\displaystyle \Delta t} λ k Δ t + o （ Δ t ） {\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)} μ k Δ t + o （ Δ t ） {\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)} 1 − λ k Δ t − μ k Δ t + o （ Δ t ） {\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)} 個体群の過程において、「出生」は個体群のサイズを 1つ増やす方向への遷移であり、「死亡」は個体群のサイズを1つ減らす方向への遷移である。
出生・死亡過程の例 純粋な誕生過程 とは、誕生と死の過程であり、μ 私 = 0 {\displaystyle \mu _{i}=0} 私 ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0}
純粋な死のプロセス は、誕生と死のプロセスであり、λ 私 = 0 {\displaystyle \lambda _{i}=0} 私 ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0}
待ち行列理論 で用いられるM/M/1モデル M/M/cモデルは
系統動態学における使用 出生死過程は、系統動態学において 系統樹 の事前分布として使用されます。つまり、出生イベントが木の枝に対応し、死亡イベントが葉ノードに対応する二分木です。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
系統動態学における一般化された出生死亡過程の使用は、データから出生率と死亡率をどの程度特定できるかについての調査を刺激した。[ 8 ] [ 9 ]
待ち行列理論での使用 待ち行列理論では、出生死過程は待ち行列モデル の最も基本的な例であり、M/M/C/K/∞ {\displaystyle \infty } ケンドールの 完全表記）キュー。これは、無限母集団から抽出されたポアソン分布に従う到着と、 指数分布に従う サービス時間を持つC個の サーバ、そしてキュー内のK 個の場所を持つキューです。無限母集団を仮定しているにもかかわらず、このモデルは様々な電気通信システムに適したモデルです。
純粋な出産プロセスλ k ≡ λ {\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda } 微分方程式 系が得られます。
p 0 ′ （ t ） = − λ p 0 （ t ） 、 {\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,} p k ′ （ t ） = λ p k − 1 （ t ） − λ p k （ t ） のために k = 1 、 2 、 … {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,} 初期条件の下でp 0 （ 0 ） = 1 {\displaystyle p_{0}(0)=1} p k （ 0 ） = 0 、 k = 1 、 2 、 … {\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }
p k （ t ） = （ λ t ） k k ! e − λ t 。 {\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.} つまり、（均質な）ポアソン過程 は純粋な出生過程である。
M/M/Cは、 C 台のサーバーと無限バッファを備えたマルチサーバーキューです。その特徴は、以下の生成および消滅パラメータによって表されます。
μ 私 = 私 μ のために 私 ≤ C − 1 、 {\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,} そして
μ 私 = C μ のために 私 ≥ C 、 {\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,} と
λ 私 = λ すべての人々のために 私 。 {\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,} この場合の微分方程式系は次の形式をとる。
p 0 ′ （ t ） = μ p 1 （ t ） − λ p 0 （ t ） 、 {\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,} p k ′ （ t ） = λ p k − 1 （ t ） + （ k + 1 ） μ p k + 1 （ t ） − （ λ + k μ ） p k （ t ） のために k = 1 、 2 、 … 、 C − 1 、 {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,} p k ′ （ t ） = λ p k − 1 （ t ） + C μ p k + 1 （ t ） − （ λ + C μ ） p k （ t ） のために k ≥ C 。 {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}
純粋な死のプロセスμ k = k μ {\displaystyle \mu _{k}=k\mu } 微分方程式 系が得られます。
p C ′ （ t ） = − C μ p C （ t ） 、 {\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,} p k ′ （ t ） = （ k + 1 ） μ p k + 1 （ t ） − k μ p k （ t ） のために k = 0 、 1 、 … 、 C − 1. {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,} 初期条件の下でp C （ 0 ） = 1 {\displaystyle p_{C}(0)=1} p k （ 0 ） = 0 、 k = 0 、 1 、 … 、 C − 1 、 {\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}
p k （ t ） = （ C k ） e − k μ t （ 1 − e − μ t ） C − k 、 {\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},} これは、時間パラメータに依存する二項分布 のバージョンを示しています。t {\displaystyle t} 二項過程を 参照）。
M/M/1/K キューは、サイズK のバッファを持つ単一サーバキューです。このキューは、通信分野だけでなく、個体群に容量制限がある場合の生物学分野でも応用されています。通信分野では、M/M/1 キューのパラメータを再び使用します。
λ 私 = λ のために 0 ≤ 私 < K 、 {\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,} λ 私 = 0 のために 私 ≥ K 、 {\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,} μ 私 = μ のために 1 ≤ 私 ≤ K 。 {\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,} 生物学、特に細菌の増殖においては、個体数がゼロの場合、増殖する能力がないため、
λ 0 = 0. {\displaystyle \lambda _{0}=0.\,} さらに、その収容能力が個体が人口過剰で死亡する限界を表している場合、
μ K = 0. {\displaystyle \mu _{K}=0.\,} 時刻tにおいてシステムが状態 k にある確率に関する微分方程式は以下のとおりである。
p 0 ′ （ t ） = μ p 1 （ t ） − λ p 0 （ t ） 、 {\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),} p k ′ （ t ） = λ p k − 1 （ t ） + μ p k + 1 （ t ） − （ λ + μ ） p k （ t ） のために k ≤ K − 1 、 {\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,} p K ′ （ t ） = λ p K − 1 （ t ） − （ λ + μ ） p K （ t ） 、 {\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,} p k （ t ） = 0 のために k > K 。 {\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}
双方向の出生と死亡のプロセス 両側出生死亡過程は、出生率と死亡率が異なる点を除いて、標準的なものとほぼ同じように定義されます。λ 私 {\displaystyle \lambda _{i}} μ 私 {\displaystyle \mu _{i}} 私 = 0 、 ± 1 、 ± 2 、 … {\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots } 10 ] 、
∑ 私 = 1 ∞ ∏ n = 1 私 μ n λ n = ∞ そして ∑ 私 = 1 ∞ ∏ n = 1 私 λ − n μ − n = ∞ 。 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .} エルゴード性とヌル再帰性の概念は、標準的な出生死過程における対応する概念を拡張することによって同様に定義される。
注記 ↑ ウィリアム・フェラー （1939年）。 「Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung」。アクタ生命理論 。5 (1): 11–40 。土井 : 10.1007/BF01602932。↑ Karlin, Samuel ; McGregor, James (1957). "The classification of birth and death processes" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 86 (2): 366– 400. doi : 10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8 . 1 2 Abramov, Vyacheslav M. (2020). "ベルトラン・ド・モルガン検定の拡張とその応用" .The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444–448 . arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 . ↑ Abramov, Vyacheslav M. (2022). "正級数の収束のための必要十分条件" (PDF) . Journal of Classical Analysis . 19 (2): 117– 125. arXiv : 2104.01702 . doi : 10.7153/jca-2022-19-09 . S2CID 233025219 . ↑ Stadler T (2010年12 月 ) 「出生死亡樹における 時間的サンプリング」。 理論 生物学ジャーナル 。267 ( 3): 396–404。Bibcode : 2010JThBi.267..396S。doi : 10.1016 /j.jtbi.2010.09.010。PMID 20851708 。 ↑ Kühnert D、Wu CH、Drummond AJ (2011 年 12 月)。 「 急速 に 進化する感染症の系統発生と疫学モデリング」 。Infection , Genetics and Evolution。11 ( 8): 1825–41。doi : 10.1016 / j.meegid.2011.08.005。PMC 7106223。PMID 21906695 。 ↑ Zarebski AE、du Plessis L 、Parag KV、Pybus OG (2022年2月)。 「系統発生データと疫学的 データ を 組み合わせた計算可能な出生死亡モデル」 。PLOS Computational Biology。18 ( 2 ) e1009805。Bibcode : 2022PLSCB..18E9805Z。doi : 10.1371 / journal.pcbi.1009805。PMC 8903285。PMID 35148311 。 ↑ Louca S、Pennell MW (2020年4月)。 「 現存 するタイムツリーは、 無数の多様化の歴史と一致する」 ( PDF ) 。Nature 。508 ( 7804): 502–505。Bibcode : 2020Natur.580..502L 。doi : 10.1038/ s41586-020-2176-1 。PMID 32322065 。S2CID 215775763 。 ↑ Legried B 、Terhorst (2022 年8 月 ) 。 「識別可能な系統 発生 的出生死モデル の クラス」 。PNAS。119 (3 5 ) e2119513119。Bibcode : 2022PNAS..11919513L。doi : 10.1073/ pnas.2119513119。PMC 9436344。PMID 35994663 。 ↑ Pruitt, William E. (1963). "Bilateral birth and death processes" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 107 (3): 508– 525. doi : 10.1090/S0002-9947-1963-0150858-0 .
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