記憶喪失

確率と統計学において、記憶のなさは特定の確率分布の特性です。これは、あるイベントを待つのにすでに費やされた時間が、待ち時間がどれだけ長くなるかに影響を与えない状況を表します。記憶のない状況を正確にモデル化するには、システムの過去の状態を無視する必要があります。確率はプロセスの履歴の影響を受けません。^[1]

記憶を持たない分布は、幾何確率分布と指数確率分布の 2 種類だけです。

ほとんどの現象は記憶がないわけではなく、つまり、観察者は時間の経過とともにそれらに関する情報を取得することになります。たとえば、X がランダム変数で、車のエンジンの寿命が「エンジンが故障するまでの走行距離」で表現されているとします。直感的に、すでに 300,000 マイル走行したエンジンの X は、1,000 マイルしか走行していない 2 番目の (同等の) エンジンのXよりもはるかに低くなることは明らかです。したがって、このランダム変数には記憶がないという特性はありません。

対照的に、記憶がないことを示す状況を検討してみましょう。長い廊下があり、壁には何千もの金庫が並んでいるとします。各金庫には 500 段階のダイヤルがあり、それぞれにランダムに開く位置が割り当てられています。風変わりな人が廊下を歩き、各金庫の前で一度立ち止まり、ランダムに 1 回開けようとします。この場合、ランダム変数X を、その人の探索の存続期間として定義し、「その人が金庫を正常に開けるまでに何回試行しなければならないか」という形で表現します。この場合、E[ X ] は、すでに何回試行したかに関係なく、常に 500 という値になります。新しい試行にはそれぞれ (1/500) の成功確率があるため、その人は次の 500 回の試行で 1 つの金庫を開ける可能性が高くなりますが、新しい失敗のたびに、最終的な成功に向けて「進歩」することはありません。たとえ金庫破りが 499 回連続 (または 4,999 回) 失敗したとしても、次に成功するまであと 500 回の試行を待つことになります。代わりに、この人物が 1 つの金庫に集中して、その金庫を開ける以前の試みを「記憶」していたとしたら、最大 500 回の試行で金庫を開けられることが保証されます (実際、当初は 500 回ではなく 250 回の試行で十分だと予想されていました)。

放射性粒子が崩壊するまでの時間を説明する放射性崩壊の普遍法則は、記憶のなさの現実の例です。待ち行列理論でよく使われる（理論的な）記憶のなさの例として、店主が次の客が来るまで待たなければならない時間があります。

離散確率変数 が記憶を持たない場合、と が自然数であるときに が成り立ちます。を式の左辺に代入しても等式は成り立ちます。 ^[2]${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n)}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle >}$

記憶のない唯一の離散確率変数は、の値を取る幾何確率変数です。^{[3]この確率変数は}、独立した同一分布のベルヌーイ試行の無限シーケンスで最初の成功がいつ発生するかを表します。^[4]記憶のないプロパティは、以前に失敗した試行の数が、成功に必要な将来の試行の数に影響を与えないことを主張します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

幾何ランダム変数は、一連の独立した同一分布のベルヌーイ試行において最初の成功までの失敗した試行の数を表す の値を取るものとして定義することもできます。これらのランダム変数は、上記のメモリレス条件を満たしていませんが、わずかに修正されたメモリレス条件を満たしています。^[5]${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle \Pr(X>m+n\mid X\geq m)=\Pr(X>n).}$$

最初の定義と同様に、このメモリなしの条件を満たす離散ランダム変数のみが、 の値を取る幾何ランダム変数です。連続の場合、メモリなしのこれらの 2 つの定義は同等です。 ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

連続ランダム変数 が記憶を持たない場合、それはを満たします。ここで、およびは非負の実数です。^[6]を代入しても等式は成り立ちます。^[7]${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Pr(X>s+t\mid X>t)=\Pr(X>s)}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \geq }$

記憶のない唯一の連続ランダム変数は指数ランダム変数です。これは、連続するイベント間の時間などのランダムプロセスをモデル化します。^[8]記憶のないプロパティは、前のイベントからの時間の長さが、次のイベントが発生するまでの将来の時間に影響を与えないことを主張します。

唯一の記憶のない連続確率分布は指数分布であり、次の証明に示されている。^[9]

まず、分布の生存関数としても知られる を定義します。無記憶性の性質と条件付き確率の定義から、次のようになります。${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>t)}}=\Pr(X>s)}$$

これにより、関数方程式 が得られ、は自然数となります。同様に、は自然数ですが、 は除きます。したがって、すべての有理数はを満たします。は連続しており、有理数の集合は実数集合 において稠密であるため、は非負の実数です。 のとき、結果としてとなります。 $${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s)}$$$${\displaystyle S(pt)=S(t)^{p}}$$${\displaystyle p}$$${\displaystyle S\left({\frac {t}{q}}\right)=S(t)^{\frac {1}{q}}}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a={\tfrac {p}{q}}}$$${\displaystyle S(at)=S(t)^{a}}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S(xt)=S(t)^{x}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t=1}$$${\displaystyle S(x)=S(1)^{x}}$$$${\displaystyle S(x)=e^{-\lambda x}}$$${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$