階乗モーメント測定

確率と統計において、階乗モーメント測度は数学的な量、関数、またはより正確には、点過程と呼ばれる数学的対象 に関連して定義される測度であり、点過程は確率過程の一種であり、時間、空間、またはその両方でランダムに配置された点として表現可能な物理現象の数学的モデルとしてよく使用される。モーメント測度は階乗モーメントの考え方を一般化したものであって、非負の整数値ランダム変数の研究に役立つ。^[1]

点過程の第1階乗モーメント測度は、その第1階乗モーメント測度または強度測度と一致し、^{[2]空間のある領域にある点過程の点の}期待数 または平均数を示します。一般に、ある領域内の点の数がランダム変数と見なされる場合、この領域のモーメント階乗測度はこのランダム変数の階乗モーメントです。^[3] 階乗モーメント測度は、幅広いクラスの点過程を完全に特徴付けるため、点過程を一意に識別するために使用できます。

階乗モーメント測度が絶対連続である場合、ルベーグ測度に関して密度（導関数の一般化された形式）を持つと言われ、この密度は、階乗モーメント密度、積密度、一致密度^[1] 、結合強度^[4] 、 相関関数、または多変量周波数スペクトル^[5]など、さまざまな名前で知られています。点過程の第 1 および第 2 階乗モーメント密度は、ペア相関関数 の定義に使用され、点過程の点間の相互作用または相関の強さを統計的に定量化する方法を提供します。^[6]

階乗モーメント測定は、点過程の研究^{[1] [6] [7]}や、関連分野の確率幾何学^[3]や空間統計^{[6] [8]において有用なツールとして役立ち、}生物学、地質学、物理学、電気通信などのさまざまな科学技術分野に応用されています。^{[1] [3] [9]}

点過程は、何らかの基礎となる数学的空間上で定義される数学的対象である。これらの過程は空間、時間、またはその両方にランダムに散在する点の集合を表すためによく使用されるため、基礎となる空間は通常、ここではR ^dで示されるd次元ユークリッド空間であるが、より抽象的な数学的空間上で定義されることもある。 ^[7]

点過程には様々な解釈があり、それは様々なタイプの点過程表記法に反映されている。^{[3] [9]} 例えば、点がNで表される点過程に属するかその要素である場合、これは次のように書くことができる。^[3]${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

は点過程をランダム集合として解釈することを表す。あるいは、ボレル集合Bに位置するNの点の数は次のように表記されることが多い: ^{[2] [3] [8]}

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

これは点過程のランダム測定の解釈を反映している。これら2つの表記法はしばしば並行して、あるいは互換的に使用される。^{[3] [8] [2]}

ある正の整数 に対して、上の点過程の - 階乗は次のように定義されます: ^[2]${\displaystyle \textstyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle {N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

ここで、 はにおける必ずしも互いに素ではないボレル集合の集合であり、で表される集合の- 倍直積を形成する。 ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}.}$

記号は、集合 のディラック測度となるような指示関数を表します。上記の式の合計は、順列を含むすべての異なる点の組に対して実行されます。これは、点過程 のn乗の定義と対照的です。記号は 乗算を表します が、点過程のさまざまな表記法が存在するため、点過程のn乗の階乗は他の表記法を使用して定義されることもあります。 ^[2]${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$${\displaystyle \textstyle B_{n}}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \Pi }$

n次階乗モーメント測度またはn次階乗モーメント測度は次のように定義されます 。

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],}$

ここで、E は点過程Nの期待値（演算子）を表します。言い換えると、n次階乗モーメント測度は、ある点過程のn次階乗 の期待値です。

点過程Nのn次の階乗モーメント測度は次のように定義される^[3]。

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],}$

ここで、は上の任意の非負の測定可能な関数であり、上記の合計は順列を含むすべての異なる点の組に対して実行されます。したがって、階乗モーメント測度は、モーメント測度とは対照的に、積集合に繰り返される点がないように定義されます。^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}}$${\displaystyle n}$

第一階乗モーメント測度は第一モーメント測度と一致する：^[2]${\displaystyle \textstyle M^{1}}$

${\displaystyle M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

ここで、は、他の用語の中でも、強度測度^[3]または平均測度^[10]として知られており、集合内で見つかるまたは配置される点の期待値として解釈される。${\displaystyle \textstyle M^{1}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

2 つのボレル集合の 2 番目の階乗モーメント測度は次のようになります 。${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).}$

あるボレル集合 に対して、この測度の名称は、番目の階乗モーメント測度が次のように簡約されるときに明らかになります。 ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle n\,}$

${\displaystyle M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],}$

これは確率変数の階乗モーメントである。^[3]${\displaystyle \textstyle n\,}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

階乗モーメント測度が絶対連続である場合、それはルベーグ測度に関して密度（より正確には、ラドン・ニコディム導関数または密度）を持ち、この密度は階乗モーメント密度または積密度、結合強度、相関関数、または多変量周波数スペクトルとして知られています。- 番目の階乗モーメント密度を で表すと、次の式に関して定義されます。^[3]${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

さらに、これは次の表現を意味します

${\displaystyle E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},}$

ここで、 は上で定義された任意の非負の有界測定可能関数です。 ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{n}}$

空間統計学と確率幾何学では、点過程の点間の統計的相関関係を測定するために、点過程のペア相関関数は次のように定義される。^{[3] [6]}${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},}$

ここで、点。一般に、は 典型的な統計的意味での（点間の）相関がないことに相当します。^[6]${\displaystyle x_{1},x_{2}\in R^{d}}$${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\geq 0}$${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1}$

強度測度を持つ一般的なポアソン点過程の場合、次の式で表されます。^[3]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

ここで は の強度測度または第一モーメント測度であり、あるボレル集合に対して次のように与えられます。 ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].}$

同次ポアソン点過程の場合、 次の式で表される。^[2]${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

ここで は の長さ、面積、または体積（またはより一般的にはルベーグ測度）です。さらに、次の階乗モーメント密度は次式で表されます。^[3]${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

同次ポアソン点過程の相関関数は単純に

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1,}$

これは、この点プロセスの点間の相互作用の欠如を反映しています。

単純な点過程の一般汎関数の期待値は、ある特定の数学的条件が満たされれば、対応する階乗モーメント測度からなる（おそらく無限の）展開または級数を持つ。 ^{[11] [12]ある関数の}導関数の級数で構成されるテイラー級数と比較すると、n番目の階乗モーメント測度は、テイラー級数のn番目の導関数の役割を果たす。言い換えれば、ある単純な点過程の一般汎関数fが与えられた場合、非ポアソン点過程に対するこのテイラーのような定理は、ある数学的条件が満たされ、展開の収束を保証することを条件として、 関数Eの期待値に対する展開が存在することを意味する。

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