ポイントプロセス演算

確率と統計において、点過程演算または点過程変換は、点過程と呼ばれるランダムなオブジェクトに対して実行される数学演算の一種であり、空間内にランダムに配置された点として表現できる現象の数学的モデルとしてよく使用されます。これらの演算は、純粋にランダム、決定論的、またはその両方であり、数学モデルとしても使用できる新しい点過程を構築するために使用されます。演算には、点過程から点を削除または間引くこと、複数の点過程を 1 つの点過程に結合または重ね合わせること、点過程の基礎となる空間を別の空間に変換することが含まれます。点過程演算と結果として得られる点過程は、点過程の理論や、確率幾何学や空間統計などの関連分野で使用されます。^[1]

ランダム点過程演算で特に便利な結果をもたらす点過程の1つはポアソン点過程である。^[2]ポアソン点過程は、点過程演算を何らかのポアソン点過程に適用し、点過程演算にいくつかの条件を与えると、結果として得られる過程は別のポアソン点過程演算になることが多いという、ある種の数学的閉包を示すことが多いため、数学モデルとしてよく使用される。^{[2] [1]}

点過程演算は、適用されるランダムな点過程演算の数が無限大に近づくという数学的極限で研究されてきた。これは、点過程演算の収束定理につながった。この定理は、 1940年代のConny Palmと、その後の 1950 年代と 1960 年代のAleksandr Khinchinによる先駆的な研究に端を発しており、両者とも電話の着信と一般的な待ち行列理論の研究の文脈で、実数直線上の点過程を研究した。 ^[3]元の点過程と点過程演算が特定の数学的条件を満たしている場合、点過程演算がプロセスに適用されると、結果として得られる点過程は、ある領域に位置する点過程の点の平均数を与える非ランダムな平均測度を持つ場合、確率的にポアソン点過程に似た動作をすることが多い。言い換えれば、適用される操作の数が無限大に近づくにつれて、点過程は分布的に（または弱く）ポアソン点過程に収束するか、その測度がランダム測度であればコックス点過程に収束する。^{[4]再生過程に対する}パーム・ヒンチン定理などの収束結果は、さまざまな現象の数学的なモデルとしてポアソン点過程を使用することを正当化するためにも使用される。

点過程は、ある基礎となる数学的空間上にランダムに散らばった点の集合を表すために使用できる数学的オブジェクトである。点過程にはさまざまな解釈があり、さまざまな種類の点過程表記法に反映されている。^{[1] [5]} たとえば、点が点過程に属するか、そのメンバーである場合、これは次のように記述できます。^[1]${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

は点過程をランダム集合として表す。あるいは、あるボレル集合に位置する点の数は次のように表記されることが多い: ^{[1] [6] [7]}${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

これは点過程の ランダム測定解釈を反映しています。

点過程は基礎となる数学的空間上で定義される必要がある。この空間は多くの場合、ここで と表記されるd次元ユークリッド空間であるが、点過程はより抽象的な数学的空間上で定義することもできる。^[4]${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

確率幾何学、空間統計学、および関連分野における点過程を用いた適切なモデルを開発するために、点過程に対して実行できる有用な変換が多数あり、その中には細線化、重ね合わせ、マッピング（または空間の変換）、クラスタリング、ランダム変位などがある。^{[2] [1] [7] [8]}

間引き操作では、定義済みの規則を使用して点過程から点を削除し、新しい点過程を形成します。これらの間引き規則は決定論的である場合があり、ランダムではありません。これは、最も単純な規則の 1 つである -間引きがこれに該当します 。[1] の各点は、ある^確率(または)で独立して削除 (または保持) されます。この規則は、非負関数を導入して位置依存の -間引きを定義することで一般化できます。この場合、削除される点の確率は となり 、 は基になる空間上の点の位置に依存します。さらに一般化すると、間引き確率自体がランダムになります。 ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle 1-p}$${\displaystyle \textstyle p(x)\leq 1}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle p}$

これら 3 つの操作はすべて独立した間引きの一種であり、ポイント間の相互作用はポイントが削除される場所 (または保持される場所) には影響しません。もう 1 つの一般化は、ポイント プロセスのポイントがポイント プロセスの他のポイントとの関係での位置に応じて削除される (または保持される) 従属間引きです。間引きは、間引きされたポイント プロセスの各ポイントの特定の半径内にポイントが存在しない (間引きのため) ハードコア プロセスなどの新しいポイント プロセスを作成するために使用できます。^[1]

重ね合わせ演算は、 2つ以上の点過程を1つの基礎となる数学的空間または状態空間に結合するために使用されます。平均測度を持つ点過程の可算集合または集合がある場合、それらの重ね合わせは ${\displaystyle \textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle {N}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N}_{i},}$

も点過程を形成します。この表現では、重ね合わせ操作は集合の和集合) で表され、これは点過程のランダム集合解釈を意味します。詳細については、 点過程の表記法を参照してください。

それぞれがポアソン点過程である場合、結果として得られる過程も平均強度を持つポアソン点過程となる。 ${\displaystyle \textstyle {N}_{i}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \Lambda =\sum \limits _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

クラスタリングと呼ばれる点操作は、与えられた点過程におけるすべての点を点のクラスターに置き換えることを伴います。各クラスターも点過程ですが、点の数は有限です。すべてのクラスターを結合すると、クラスター点過程が形成されます。${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle N^{x}}$

${\displaystyle {N}_{c}=\bigcup _{x\in {N}}N^{x}.}$

多くの場合、クラスターは すべて有限点の集合であり、各集合は独立かつ同一に分布していると想定されます。さらに、元の点過程の強度が一定であれば、クラスター点過程の強度は ${\displaystyle \textstyle N^{x}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

${\displaystyle \lambda _{c}=c\lambda ,}$

ここで、定数は各点の数の平均です。 ${\displaystyle \textstyle c}$${\displaystyle \textstyle N^{x}}$

数学モデルでは、点過程の点を、基礎となる数学的空間上のある場所から他の場所へランダムに移動させることが必要になる場合があります。^[2] この点過程の操作は、ランダム変位 [2] または変換と呼ばれます。^[ 4 ]過程^内 の各点が過程内の他のすべての点に対して独立して変位または変換される場合、その操作は独立した変位または変換を形成します。^{[4]通常、すべてのランダムな変換は共通の}確率分布を持つと想定されます。したがって、変位は、基礎となる数学的空間内で独立した同一に分布するランダムベクトルの集合を形成します。

点過程にランダムな変位や移動を適用することは、例えば生態系^[2]や無線ネットワーク^{[5]における物体の移動性の数学的モデルとして利用することができる。}

変位定理^[2]として知られる結果は、ポアソン点過程（同じ基礎空間上）の点の ランダムな独立変位が別のポアソン点過程を形成することを効果的に示しています。

有用であると考えられるもう一つの特性は、ある基礎空間から別の基礎空間に点過程を写像する能力である。例えば、平面R ^{2上で定義された点過程は}、直交座標から極座標 に変換することができる。^[2]

マッピング（または変換）がいくつかの条件に従う場合、マッピング定理^[2]と呼ばれる結果によれば、元のプロセスが何らかの強度尺度を持つポアソン点過程である場合、結果として得られるマッピングされた（または変換された）点の集合も別の強度尺度を持つポアソン点過程を形成することになります。

一般に、ある点過程に対して一度実行された点演算は、何度でも実行できる。点過程の理論では、実行された演算の数が無限に近づくにつれて、収束結果を介して、結果として生じる点過程の挙動を研究するための結果が導出されている。 ^[4]たとえば、一般的な点過程の各点が、あるランダムかつ独立した方法で繰り返し移動される場合、非公式に言えば、新しい点過程はますますポアソン点過程に類似するようになる。同様の収束結果は、間引きと重ね合わせの演算（基礎となる空間の適切な再スケーリングを伴う）に対しても開発されている。^[4]