混合二項過程

混合二項過程は確率論における特殊な点過程です。混合二項過程は、（混合）ポアソン過程の 有界区間 の制約から自然に生じます。

が確率分布、が分布 を持つiidランダム変数であるとします。が(ほぼ確実に) 内の値として取るランダム変数であるとします。 が独立であると仮定し、 が点 上のディラック測度を表すものとします。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle X_{i},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$${\displaystyle K,X_{1},X_{2},\dots }$${\displaystyle \delta_{x}}$${\displaystyle x}$

ランダム測定 は、次のように表現されるときに限り、混合二項過程と呼ばれる。 ${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{K}\delta _{X_{i}}}$

これは、およびに基づく二項過程で あることが条件付きで成立することと同等である。^[1]${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \{K=n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

を条件として、混合二項過程はラプラス変換を持つ。${\displaystyle K=n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=\left(\int \exp(-f(x))\;P(\mathrm {d} x)\right)^{n}}$

任意の正の測定可能な関数 に対して。 ${\displaystyle f}$

点過程と有界測定集合に対して、の制限を次のように 定義する。${\displaystyle \xi}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \xi _{B}(\cdot )=\xi (B\cap \cdot )}$。

混合二項過程は、 が およびに基づく混合二項過程である場合、 が に基づく混合二項過程である という意味で制約の下で安定である 。${\displaystyle \xi}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \xi_{B}}$

${\displaystyle P_{B}(\cdot )={\frac {P(B\cap \cdot )}{P(B)}}}$

そして、いくつかのランダム変数。 ${\displaystyle {\tilde {K}}}$

また、がポアソン過程または混合ポアソン過程である場合、は混合二項過程である。^[2]${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi_{B}}$

ポアソン型ランダム測度は、部分空間への制限の下で閉じている、つまり間引きの下で閉じている3つのランダム計数測度の族であり、混合二項過程の例である。これらは、この特性を持つ分布の標準的な非負のべき級数族の中で唯一の分布であり、ポアソン分布、負の二項分布、二項分布を含む。ポアソン型（PT）ランダム測度には、ポアソンランダム測度、負の二項ランダム測度、二項ランダム測度が含まれる。^[3]