モーメント測定

確率と統計において、モーメント測度は数学的な量、関数、またはより正確には、点過程と呼ばれる数学的対象 に関連して定義される測度であり、点過程は確率過程の一種であり、時間、空間、またはその両方でランダムに配置された点として表現可能な物理現象の数学的モデルとしてよく使用されます。モーメント測度は、ランダム変数の（生の）モーメントの概念を一般化するため、点過程の研究や関連分野でよく使用されます。^[1]

モーメント測度の例としては、点過程の第1モーメント測度が挙げられます。これは、平均測度または強度測度とも呼ばれ、空間のある領域に位置する点過程の点の期待数または平均数を示します。^[2] 言い換えれば、空間のある領域に位置する点過程の点の数がランダム変数である場合、第1モーメント測度はこのランダム変数の第1モーメントに対応します。^[3]

モーメント測度は点過程の研究^{[1] [4] [5]}や、関連分野である確率幾何学^[3]や空間統計^{[5] [6]}の研究で重要な役割を果たしており、生物学、地質学、物理学、電気通信など多くの科学技術分野で応用されています。^{[3] [4] [7]}

点過程は、何らかの基礎となる数学的空間上で定義される数学的対象である。これらの過程は、物理空間、時間、またはその両方にランダムに散在する点の集合を表すためによく使用されるため、基礎となる空間は通常、ここで と表記されるd次元ユークリッド空間であるが、より抽象的な数学的空間上で定義されることもある。 ^[1]${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

点過程には様々な解釈があり、それは様々なタイプの点過程表記法に反映されている。^{[3] [7]} 例えば、点が点過程に属するか、またはその要素である場合、これは次のように書くことができる。^[3]${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

は点過程をランダム集合として解釈することを表す。あるいは、あるボレル集合に位置する点の数は次のように表記されることが多い: ^{[2] [3] [6]}${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

これは点過程のランダム測定の解釈を反映している。これら2つの表記法はしばしば並行して、あるいは互換的に使用される。^{[2] [3] [6]}

ある整数 に対して、点過程の - 乗は次のように定義されます: ^[2]${\displaystyle \textstyle n=1,2,\dots }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}{N}(B_{i})}$

ここで、 は必ずしも互いに素ではないボレル集合 ( 内) の集合であり 、で表される集合の- 倍直積を形成します。 記号は 標準的な乗算を表します。 ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$${\displaystyle \textstyle \Pi }$

この表記法は点過程をランダムな尺度として解釈することを反映している。^[3]${\displaystyle \textstyle {N}(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

点過程の-乗は次 のように定義できる: ^[3]${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

ここで、 合計は（重複する可能性のある）点のすべての-組に対して実行され、は ディラック測度であるような指示関数を表します。この定義は、各n組がn個の異なる点で構成される点過程のn階乗の定義と対比できます。 ${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$

番目のモーメント測度は次のように定義されます。 ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=E[{N}^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})],}$

ここで、E は点過程の期待値（演算子）を表します。言い換えると、n次モーメント測度は、ある点過程の n乗の期待値です。${\displaystyle \textstyle {N}}$

点過程の モーメント測度は[ ^3]で次のように定義される。 ${\displaystyle \textstyle n\,}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\right],}$

ここで、 は上の任意の非負の測定可能な関数であり、その和は を超えます-繰り返しが許される点の 組。${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{nd}}$${\displaystyle \textstyle n}$

あるボレル集合Bに対して、点過程Nの第一モーメントは次のようになります。

${\displaystyle M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

ここで、は、他の用語の中でも、強度測度^[3]または平均測度^[8]として知られており、集合内で見つかったまたは配置されている点の期待値または平均数として解釈されます。 ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

2つのボレル集合の2番目のモーメント測度は次のようになります 。${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(A\times B)=E[{N}(A){N}(B)],}$

単一のボレル集合の場合、 ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=(E[{N}(B)])^{2}+{\text{Var}}[{N}(B)],}$

ここで はランダム変数の分散を表します。 ${\displaystyle \textstyle {\text{Var}}[{N}(B)]}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

前述の分散項は、ランダム変数のモーメントのようなモーメント測定が、点過程の分散のような量の計算にどのように使用できるかを暗示しています。さらに別の例として、2つのボレル集合とに対する点過程の共分散があります。これは次のように表されます。^[2]${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle {\text{Cov}}[{N}(A),{N}(B)]=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A)M^{1}(B)}$

強度測度を持つ一般的なポアソン点過程の場合、第一モーメント測度は次のようになる: ^[2]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

これは、一定の強度を持つ均質なポアソン点過程の場合、次のことを意味します。 ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

ここで は の長さ、面積、または体積（またはより一般的にはルベーグ測度）です。 ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

測度を持つポアソンの場合、積集合上で定義される2次モーメント測度は次のようになる: ^[5]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle (B\times B)}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\Lambda (B)+\Lambda (B)^{2}.}$

これは同次ケースでは次のように帰着する。

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\lambda |B|+(\lambda |B|)^{2}.}$

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