代数構造

数学では、代数構造または代数システム^{[ 1 ]}は、空でない集合A（基礎集合、キャリア集合、またはドメインと呼ばれる）、 A上の演算の集合（通常は加算や乗算などの二項演算）、およびこれらの演算が満たさなければならない有限個の恒等式（公理として知られる）から構成される。

代数構造は、複数の構造を含む演算や公理を持つ他の代数構造に基づいて構築されることがあります。例えば、ベクトル空間は、体と呼ばれる第2の構造と、体の要素（スカラーと呼ばれる）とベクトル空間の要素（ベクトルと呼ばれる）との間のスカラー乗算と呼ばれる演算を含みます。

抽象代数学は、代数構造の研究に一般的に用いられる名称である。代数構造の一般理論は、普遍代数学において形式化されている。圏論は、他の数学的構造や、同じタイプの構造間の関数（準同型写像）を含む、別の形式化である。

普遍代数では、代数構造は代数と呼ばれます。^{[ 2 ]}この用語は曖昧な場合があります。なぜなら、他の文脈では、代数は体上のベクトル空間または可換環上のモジュールである代数構造だからです。

普遍代数学では、ある特定の型（同じ演算と法則）のすべての構造の集合を多様体と呼びます。この用語は、代数幾何学では代数多様体の略語として、全く異なる意味でも用いられます。圏論では、ある特定の型のすべての構造とそれらの間の準同型写像の集合が具体的な圏を形成します。

導入

加算と乗算は、集合の 2 つの要素を組み合わせて同じ集合の 3 番目の要素を生成する演算の典型的な例です。これらの演算はいくつかの代数法則に従います。たとえば、 $a + (b + c) = (a + b) + c$ および $a (bc) = (ab) c$ は結合法則であり、 $a + b = b + a$ および $ab = ba$ は交換法則です。数学者が研究する多くのシステムには、通常の算術の法則の一部には従うが、必ずしもすべてには従わない演算があります。たとえば、3 次元空間における物体の可能な移動は、物体の最初の移動と、その新しい位置からの 2 番目の移動を行うことで組み合わせることができます。このような移動は正式には剛体運動と呼ばれ、結合法則には従いますが、交換法則には従いません。

特定の法則に従う一つ以上の演算を持つ集合は、代数構造と呼ばれます。新しい問題がそのような代数構造と同じ法則を含む場合、その構造の法則のみを用いて証明されたすべての結果を、新しい問題に直接適用することができます。

一般的に、代数構造は、2つ以上の要素を組み合わせる演算（高次演算）や、1つの引数のみを取る演算（単項演算）、あるいは引数を全く取らない演算（零項演算）など、任意の演算の集合を含むことができます。以下に挙げる例は決して完全なリストではありませんが、学部課程で教えられる最も一般的な構造が含まれています。

一般的な公理

等式公理

代数構造の公理は、しばしば恒等式、すなわち等号の両辺が代数構造の演算と変数を含む式であるような等式の形をとります。恒等式中の変数を代数構造の任意の要素に置き換えても、等号は成り立ちます。以下にいくつかの一般的な例を示します。

可換性: 手術 $*$ 可換であるのは、 $x*y=y*x$ 代数構造内のすべての $x$ と $y$ について。
連想性: 手術 $*$ 結合法則を満たす場合 $(x*y)*z=x*(y*z)$ 代数構造内のすべての $x$ 、 $y$ 、 $z$ について。
左分配性: 手術 $*$ 別の演算に関して左分配法則が成り立つ $+$ もし $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ 代数構造内のすべての $x$ 、 $y$ 、 $z$ に対して(2 番目の演算はここでは次のように表される) $+$ （多くの一般的な例では、2番目の演算は加算であるため）。
権利分配性: 手術 $*$ 別の演算に関して右分配法則が成り立つ $+$ もし $(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$ 代数構造内のすべての $x$ 、 $y$ 、 $z$ について。
分配性: 手術 $*$ 別の演算に関して分配法則が成り立つ $+$ 左分配法則と右分配法則の両方を満たす場合。 $*$ 可換性があり、左分配法則と右分配法則はどちらも分配法則と同等である。

存在公理

一般的な公理の中には、存在節を含むものがある。一般に、このような節は、さらに演算を導入し、存在節を新しい演算を含む恒等式に置き換えることで回避できる。より正確には、「すべての $Xに対して、$ $y$ が存在し、 $f(X,y)=g(X,y)$ ここで、 $Xは$ $k個$ の変数からなるタプルである。Xの各値に対して $y$ の特定の値を選択することで関数が定義される $。$ $\varphi :X\mapsto y,$ $これはk個の$ アリティを持つ演算と見なすことができ、公理は恒等式となる。 $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

このような補助演算を導入すると、公理の記述がやや複雑になるものの、いくつかの利点があります。特定の代数構造が与えられた場合、存在公理が満たされていることの証明は、一般的に補助関数の定義と、それに伴う簡単な検証から成ります。また、代数構造で計算を行う場合、一般的に補助演算を明示的に使用します。例えば、数の場合、加法逆元は単項マイナス演算によって与えられます。 $x\mapsto -x.$

また、普遍代数学において、多様体とは、すべての公理が恒等式であるという条件の下で、同じ演算と公理を共有する代数構造のクラスのことである。前述のことから、上記のような形式の存在公理が多様体の定義において受け入れられることがわかる。

以下に、最も一般的な存在論的公理をいくつか示します。

識別要素: 二項演算 $*$ は、次のような要素 $e$ が存在する場合に単位元を持つ。 $x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$ $構造体内のすべてのx$ に対して。ここで、補助演算は、結果として $e$ を得るアリティゼロの演算です。
逆要素: バイナリ演算が与えられた場合 $*$ 単位元 $e$ を持つ要素 $x$ は、逆元を持つ場合、つまり、要素が存在する場合に可逆である。 $\operatorname {inv} (x)$ そのため $\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$ 例えば、群とは、結合法則を満たし、単位元を持ち、すべての要素が可逆である二項演算を持つ代数構造のことである。

非等式公理

代数構造の公理は、任意の一階論理式、つまり論理結合子（ 「and」、「or」、「not」など）と論理量化子（ $\forall ,\exists$ 構造の要素（部分集合ではない）に適用される。

このような典型的な公理は、体における反転です。この公理は、前述のタイプの公理に還元することはできません。（したがって、体は普遍代数の意味で多様体を形成しません。）次のように述べることができます。 「体の非零要素はすべて反転可能である」。あるいは、同等に、構造には、次のような単項演算 $inv があります。$

\forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.

演算 $inv は、$ $x$ $= 0$ に対して定義されていない部分演算とみなすか、または 0 における値が任意であり使用してはならない通常の関数とみなすことができる。

一般的な代数構造

操作を含む1セット

単純な構造：二項演算なし：

集合：演算を持たない退化した代数構造S。

群のような構造：1つの二項演算。二項演算は任意の記号で表すことも、実数の通常の乗算のように記号を用いない（並置）ことも可能です。

群：単項演算（逆演算）を持つモノイドであり、逆元を生み出す。
アーベル群：二項演算が可換である群。

リング状構造またはリンゴイド：加算と乗算と呼ばれる2つの二項演算で、乗算は加算に対して分配法則が成り立つ。

環：加法モノイドがアーベル群である半環。
除算環：非零要素による除算が定義されている非自明な環。
可換環：乗算演算が可換である環。
体：可換な除法環（すなわち、すべての非零要素に対して乗法逆元を含む可換環）。

格子構造：吸収法則によって結び付けられた、出会いや結合と呼ばれる操作を含む2つ以上の二項演算。^[³^]

完全格子：任意の交点と結合点が存在する格子。
有界格子：最大要素と最小要素を持つ格子。
分配束：各交点と結合点が互いに分配関係にある束。和集合と積集合のべき集合は分配束を形成する。
ブール代数：補元付き分配束。交わり（meat）または結合（join）は、もう一方の要素と補元を用いて定義できる。

演算を含む2つのセット

モジュール：アーベル群Mと、 M上の演算子として作用する環Rからなる。R の要素はスカラーと呼ばれることもあり、スカラー乗算の二項演算はR × M → Mという関数であり、いくつかの公理を満たす。環演算を数えると、これらのシステムには少なくとも 3 つの演算が存在する。
ベクトル空間：環Rが体、または場合によっては除法環であるような加群。

体上の代数：体上の加群であり、加群構造と互換性のある乗算演算も備えている。これには、加法に関する分配法則と乗算に関する線形性が含まれる。
内積空間：体Fとベクトル空間Vがあり、V × V → Fという明確な双線形形式が存在する。

ハイブリッド構造

代数構造は、半順序や位相などの非代数的な追加構造と共存することもできる。追加構造は、何らかの意味で代数構造と互換性がなければならない。

位相群：群演算と互換性のある位相を持つ群。
リー群：適合する滑らかな多様体構造を持つ位相群。
順序付き群、順序付き環、順序付き体：互換性のある部分順序を持つ各タイプの構造。
アルキメデス群：アルキメデス性を満たす線形順序群。
位相ベクトル空間： Mが適合する位相を持つベクトル空間。
ノルム付きベクトル空間：適合するノルムを持つベクトル空間。このような空間が完備（距離空間など）である場合、バナッハ空間と呼ばれる。
ヒルベルト空間：実数または複素数上の内積空間であり、その内積によってバナッハ空間構造が生じる。
頂点演算子代数
フォン・ノイマン代数：弱作用素位相を備えたヒルベルト空間上の作用素の*-代数。

普遍代数

代数構造は、さまざまな公理の構成によって定義されます。普遍代数は、このような対象を抽象的に研究します。主要な二分法の一つは、恒等式によって完全に公理化された構造と、そうでない構造との区別です。ある代数のクラスを定義するすべての公理が恒等式である場合、そのクラスは多様体です（代数幾何学の代数的多様体と混同しないように）。

恒等式は、構造が許容する演算と、関連する宇宙全体で暗黙的に全称量化されている変数のみを使用して定式化された方程式です。恒等式には、結合子、存在量化変数、または許容される演算以外のいかなる種類の関係も含まれません。多様体の研究は、普遍代数の重要な部分です。多様体における代数構造は、項代数（「絶対自由代数」とも呼ばれる）の商代数を、一連の恒等式によって生成される同値関係で割ったものとして理解できます。したがって、与えられたシグネチャを持つ関数の集合は、自由代数、項代数Tを生成します。一連の等式恒等式（公理）が与えられた場合、それらの対称的推移閉包Eを考えることができます。商代数T / Eは、代数構造または多様体です。したがって、例えば、群は、2 つの引数を取る乗算演算子mと、1 つの引数を取る逆演算子iという 2 つの演算子と、引数を 0 個取る演算子とみなせる定数である単位元e を含むシグネチャを持ちます。変数x、y、zなどの (可算) 集合が与えられたとき、代数という用語には、 m、i、eと変数を含むすべての可能な項の集合が含まれます。したがって、例えば、m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) は代数という用語の要素になります。群を定義する公理の 1 つは恒等式m ( x , i ( x )) = eであり、もう 1 つはm ( x , e ) = xです。これらの公理は木として表現できます。これらの等式は自由代数に同値類を誘導し、商代数は群の代数構造を持ちます。

構造によっては、以下のいずれかの理由で変種を形成しないものがある。

0 ≠ 1であることが必要である。0 は加法単位元であり、1 は乗法単位元であるが、これは非単位元である。
体などの構造には、Sの非零要素に対してのみ成り立つ公理がいくつかあります。代数構造が多様体であるためには、Sのすべての要素に対して演算が定義されていなければなりません。部分演算は存在し得ません。

公理に必然的に非恒等式が含まれる構造は、数学において最も重要な構造の一つであり、例えば体や可除環などが挙げられる。非恒等式を含む構造は、多様体にはない課題を提示する。例えば、 2つの体の直積は体ではない。なぜなら、 $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ しかし、体には零因子は存在しない。

圏論

圏論は、代数構造を研究するためのもう一つのツールです（例えば、Mac Lane 1998 を参照）。圏とは、関連する射を持つ対象の集合です。すべての代数構造は、独自の準同型の概念を持ちます。準同型とは、構造を定義する演算と互換性のある任意の関数です。このようにして、すべての代数構造は圏を生み出します。例えば、群の圏は、すべての群を対象とし、すべての群準同型を射とします。この具体的な圏は、圏論的な構造が追加された集合の圏と見なすことができます。同様に、位相群の圏（射は連続群準同型）は、追加の構造を持つ位相空間の圏です。代数構造の圏間の忘却関手は、構造の一部を「忘却」します。

圏論には、文脈の代数的性質を捉えようとするさまざまな概念があります。例えば、

「構造」の様々な意味

表記法の若干の誤用ではあるが、「構造」という言葉は、基となる集合自体ではなく、構造に対する操作のみを指す場合もある。例えば、「我々は集合上に環構造を定義した」という文は、 $A$ 「」は、集合上で環演算を定義したことを意味します。 $A$ 別の例として、グループ $(\mathbb {Z} ,+)$ セットとして見ることができる $\mathbb {Z}$ 代数構造、すなわち演算を備えている $+$ 。

注記

↑ F.-V.クールマン（創始者）。"構造"。数学百科事典。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 1402006098。
↑ PM Cohn . (1981) Universal Algebra , Springer, p. 41.
↑リングイドと格子は、どちらも2つの定義的な二項演算を持つにもかかわらず、明確に区別できます。リングイドの場合、2つの演算は分配法則によって結び付けられ、格子の場合、吸収法則によって結び付けられます。また、リングイドは数値モデルを持つ傾向があり、格子は集合論的モデルを持つ傾向があります。

参考文献

Mac Lane、Saunders、Birkhoff、Garrett (1999)、代数学（第2 版）、AMS Chelsea、ISBN 978-0-8218-1646-2
ミシェル、アンソニー N.、ハーゲット、チャールズ J. (1993)、『応用代数学と関数解析』、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-67598-5
Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), A Course in Universal Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

圏論

Mac Lane、Saunders (1998)、『数学者のためのカテゴリー』（第2 版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98403-2
テイラー、ポール（1999）、『数学の実践的基礎』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63107-5

外部リンク

ジプセンの代数構造。ここに記載されていない構造も多数含まれる。
Mathworldの抽象代数学に関するページ。
スタンフォード哲学百科事典：ヴォーン・プラット著「代数学」

[1] F.-V.クールマン（創始者）。"構造"。数学百科事典。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 1402006098。

[2] PM Cohn . (1981) Universal Algebra , Springer, p. 41.

[3] リングイドと格子は、どちらも2つの定義的な二項演算を持つにもかかわらず、明確に区別できます。リングイドの場合、2つの演算は分配法則によって結び付けられ、格子の場合、吸収法則によって結び付けられます。また、リングイドは数値モデルを持つ傾向があり、格子は集合論的モデルを持つ傾向があります。

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