パウリベクトル パウリベクトルは[ b ]で定義される。 σ = σ 1 x ^ 1 + σ 2 x ^ 2 + σ 3 x ^ 3 、 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+\sigma _{2}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+\sigma _{3}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3},} x ^ 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}} x ^ 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}} x ^ 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}} x ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}} y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {y}}}} z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {z}}}}
パウリベクトルは、ベクトル基底からパウリ行列基底へのマッピング機構を以下のように提供する[ 2 ] 1 ⋅ σ = ∑ k 、 l 1 k σ ℓ x ^ k ⋅ x ^ ℓ = ∑ k 1 k σ k = （ 1 3 1 1 − 私 1 2 1 1 + 私 1 2 − 1 3 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}&=\sum _{k,l}a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=\sum _{k}a_{k}\,\sigma _{k}\\&={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}
より厳密には、これはマップを定義します。R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 外積を リー括弧とする）として表現することで、写像はリー代数の同型写像となる。このことから、表現論の観点から見ると、パウリ行列は相互に絡み合う関係にあることがわかる。
パウリベクトルを別の視点から見ると、 2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2\ } M 1 t 2 × 2 （ C ） ⊗ （ R 3 ） * {\displaystyle \ \mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\ } 1 ↦ 1 ⋅ σ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
完全性関係 各コンポーネント1 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 完全性関係 を参照） 1 2 tr [ （ 1 ⋅ σ ） σ ] = 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}} 1 ↦ 1 ⋅ σ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
クロス積 外積は行列交換子によって与えられます（係数を除いて） 2 私 {\displaystyle \ 2\ i\ } [ 1 → ⋅ σ → 、 b → ⋅ σ → ] = 2 私 （ 1 → × b → ） ⋅ σ → 。 {\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.} R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ } キリング形式 を参照）。
この外積を用いることで、上記の地図の向き保存性を証明することができる。
固有値と固有ベクトル の固有値 1 → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ } ± | 1 → | 。 {\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}
より抽象的に言えば、パウリ行列の明示的な性質を必要とする行列式を計算することなく、これは以下から導かれる。 （ 1 → ⋅ σ → ） 2 − | 1 → | 2 = 0 、 {\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,} （ 1 → ⋅ σ → − | 1 → | ） （ 1 → ⋅ σ → + | 1 → | ） = 0 。 {\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.} 対角化可能 である）は、これが次のことを意味する。 1 → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ } ± | 1 → | 。 {\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.} 1 → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }
その正規化された固有ベクトルは ψ + = 1 2 | 1 → | （ 1 3 + | 1 → | ） [ 1 3 + | 1 → | 1 1 + 私 1 2 ] ; ψ − = 1 2 | 1 → | （ 1 3 + | 1 → | ） [ 私 1 2 − 1 1 1 3 + | 1 → | ] 。 {\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.} 1 3 → − | 1 → | 。 {\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.} 1 → = | 1 → | （ ϵ 、 0 、 − （ 1 − ϵ 2 2 ） ） {\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ } ϵ → 0 、 {\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,} (0,1) (1,0) σ z 。 {\displaystyle \ \sigma _{z}~.}
あるいは、球面座標を用いることもできる。 1 → = 1 （ 罪 ϑ コス φ 、 罪 ϑ 罪 φ 、 コス ϑ ） {\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ } ψ + = （ コス ϑ 2 、 罪 ϑ 2 e + 私 φ ） {\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ } ψ − = （ − 罪 ϑ 2 e − 私 φ 、 コス ϑ 2 ） 。 {\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}
パウリ4ベクトル スピノル理論で使用されるパウリ4ベクトルは次のように記述される。 σ μ {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }
σ μ = （ 私 、 σ → ） 。 {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.} これは、 R 1 、 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }
x μ ↦ x μ σ μ 、 {\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,} また、その行列式にはミンコフスキー計量 （主にマイナス 表記）も含まれている。
検出 （ x μ σ μ ） = η （ x 、 x ） 。 {\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.} この4次元ベクトルも完全性関係を持つ。2つ目のパウリ4次元ベクトルを定義すると便利である。
σ ¯ μ = （ 私 、 − σ → ） 。 {\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.} そして、ミンコフスキー計量テンソルを用いて昇降を可能にする。関係式は次のように書ける。 x ν = 1 2 tr （ σ ¯ ν （ x μ σ μ ） ） 。 {\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}
パウリ3ベクトルの場合と同様に、等長変換として作用する行列群を見つけることができます。 R 1 、 3 ; {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ は S L （ 2 、 C ） 、 {\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,} S L （ 2 、 C ） ≅ S p 私 n （ 1 、 3 ） 。 {\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.} S ∈ S L （ 2 、 C ） {\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }
Λ （ S ） μ ν = 1 2 tr （ σ ¯ ν S σ μ S † ） 。 {\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.} 実際、行列式の性質は、トレースの性質から抽象的に導かれる。 σ μ 。 {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.} 2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2\ }
検出 （ A + B ） = 検出 （ A ） + 検出 （ B ） + tr （ A ） tr （ B ） − tr （ A B ） 。 {\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.} つまり、「交差項」はトレースとして記述できる。 A 、 B {\displaystyle \ A,B\ } σ μ 、 {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,} 検出 （ ∑ μ x μ σ μ ） = ∑ μ 検出 （ x μ σ μ ） 。 {\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).} 2 × 2 、 {\displaystyle \ 2\times 2\ ,} ∑ μ x μ 2 検出 （ σ μ ） = η （ x 、 x ） 。 {\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}
内積と外積の関係 パウリベクトルは、これらの交換関係と反交換関係を対応するベクトル積に巧みにマッピングします。交換子を反交換子に加えると、
[ σ j 、 σ k ] + { σ j 、 σ k } = （ σ j σ k − σ k σ j ） + （ σ j σ k + σ k σ j ） 2 私 ε j k ℓ σ ℓ + 2 δ j k 私 = 2 σ j σ k {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}} となることによって、
σ j σ k = δ j k 私 + 私 ε j k ℓ σ ℓ 。 {\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}
行列 σ および ベクトル a に b q について も） 2 つの3 ベクトルa p b qの成分で 縮 約すると 、次の式 が 得 。
1 j b k σ j σ k = 1 j b k （ 私 ε j k ℓ σ ℓ + δ j k 私 ） 1 j σ j b k σ k = 私 ε j k ℓ 1 j b k σ ℓ + 1 j b k δ j k 私 。 {\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.} 最後に、ドット積 とクロス積の インデックス表記を翻訳すると、次のようになります。
i を 擬スカラーσ x σ y σ z 1 ⋅ b + 1 ∧ b 、 {\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,} これは幾何代数 における2つのベクトルの積の定義でもある。
スピン演算子をJ = ħ / 2 σ と定義すると、 J は J × J = 私 ℏ J {\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ } σ → 2 × σ → 2 = 私 σ → 2 。 {\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}
いくつかのトレース関係 交換関係と反交換関係を用いることで、以下の軌跡を導き出すことができる。
tr （ σ j ） = 0 tr （ σ j σ k ） = 2 δ j k tr （ σ j σ k σ ℓ ） = 2 私 ε j k ℓ tr （ σ j σ k σ ℓ σ m ） = 2 （ δ j k δ ℓ m − δ j ℓ δ k m + δ j m δ k ℓ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\,\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\,\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\,\delta _{km}+\delta _{jm}\,\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.} 行列が σ 0 = 私 {\displaystyle \sigma _{0}=\mathbb {I} }
tr （ σ α ） = 2 δ 0 α tr （ σ α σ β ） = 2 δ α β tr （ σ α σ β σ γ ） = 2 ∑ （ α β γ ） δ α β δ 0 γ − 4 δ 0 α δ 0 β δ 0 γ + 2 私 ε 0 α β γ tr （ σ α σ β σ γ σ μ ） = 2 （ δ α β δ γ μ − δ α γ δ β μ + δ α μ δ β γ ） + 4 （ δ α γ δ 0 β δ 0 μ + δ β μ δ 0 α δ 0 γ ） − 8 δ 0 α δ 0 β δ 0 γ δ 0 μ + 2 私 ∑ （ α β γ μ ） ε 0 α β γ δ 0 μ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}
ギリシャの指数α 、 β 、 γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } μ {\displaystyle \mu } { 0 、 x 、 y 、 z } {\displaystyle \{0,x,y,z\}} ∑ （ α … ） {\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}} 巡回置換 に関する総和を表すために使用されます。
パウリベクトルの指数関数 のために
1 → = 1 n ^ 、 | n ^ | = 1 、 {\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,} 偶数乗の場合、2 p 、p = 0, 1, 2, 3, ...
（ n ^ ⋅ σ → ） 2 p = 私 、 {\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,} これは、まず反交換関係を用いてp = 1 のp = 0の場合は I とする。
奇数乗の場合、2q + 1 、q = 0、1、2、3、...
（ n ^ ⋅ σ → ） 2 q + 1 = n ^ ⋅ σ → 。 {\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.} 行列の指数化 、および正弦と余弦のテイラー 級数の使用、
e 私 1 （ n ^ ⋅ σ → ） = ∑ k = 0 ∞ 私 k [ 1 （ n ^ ⋅ σ → ） ] k k ! = ∑ p = 0 ∞ （ − 1 ） p （ 1 n ^ ⋅ σ → ） 2 p （ 2 p ） ! + 私 ∑ q = 0 ∞ （ − 1 ） q （ 1 n ^ ⋅ σ → ） 2 q + 1 （ 2 q + 1 ） ! = 私 ∑ p = 0 ∞ （ − 1 ） p 1 2 p （ 2 p ） ! + 私 （ n ^ ⋅ σ → ） ∑ q = 0 ∞ （ − 1 ） q 1 2 q + 1 （ 2 q + 1 ） ! 。 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.} 最後の行では、最初の和はコサインで、2番目の和はサインです。したがって、最終的に、
これは、オイラーの公式を 四元数 に拡張したものに類似して いる。特に、
e 私 1 σ 1 = （ コス 1 私 罪 1 私 罪 1 コス 1 ） 、 e 私 1 σ 2 = （ コス 1 罪 1 − 罪 1 コス 1 ） 、 e 私 1 σ 3 = （ e 私 1 0 0 e − 私 1 ） 。 {\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}
ご了承ください
検出 [ 私 1 （ n ^ ⋅ σ → ） ] = 1 2 、 {\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,} 指数関数自体の行列式は1 であり、これはSU(2) の一般的な群要素 となります。
一般的な2 × 2 行列に対する式(2) 行列指数 に関する記事で見つけることができます。解析関数 ( a および−aにおいて) に対する式 (2) シルベスターの公式 [ 3 ]
f （ 1 （ n ^ ⋅ σ → ） ） = 私 f （ + 1 ） + f （ − 1 ） 2 + n ^ ⋅ σ → f （ + 1 ） − f （ − 1 ） 2 。 {\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}
SU(2) の群構成法則式(2) SU(2) の合成法則のパラメータ化が得られる。[ c ] c について は、直接解くことができる。e 私 1 （ n ^ ⋅ σ → ） e 私 b （ m ^ ⋅ σ → ） = 私 （ コス 1 コス b − n ^ ⋅ m ^ 罪 1 罪 b ） + 私 （ n ^ 罪 1 コス b + m ^ 罪 b コス 1 − n ^ × m ^ 罪 1 罪 b ） ⋅ σ → = 私 コス c + 私 （ k ^ ⋅ σ → ） 罪 c = e 私 c （ k ^ ⋅ σ → ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\ a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ e^{i\ b\ \left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\ \left(\ \cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)\ +\ i\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a\ -\ {\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\ \sin b\ \right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\ \cos {c}\ +\ i\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \sin c\\&=e^{i\ c\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ ,\end{aligned}}}
これは一般的な群乗算を指定するもので、明らかに、 コス c = コス 1 コス b − n ^ ⋅ m ^ 罪 1 罪 b 、 {\displaystyle \ \cos c=\cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ ,} 余弦定理 。c が与えられた場合 、 k ^ = 1 罪 c （ n ^ 罪 1 コス b + m ^ 罪 b コス 1 − n ^ × m ^ 罪 1 罪 b ） 。 {\displaystyle \ {\hat {k}}\ =\ {\frac {1}{\sin c}}\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)~.}
したがって、この群要素（この場合はそれぞれのBCH展開 の閉じた形式）の合成回転パラメータは単純に[ 4 ]になります。
e 私 c k ^ ⋅ σ → = exp （ 私 c 罪 c （ n ^ 罪 1 コス b + m ^ 罪 b コス 1 − n ^ × m ^ 罪 1 罪 b ） ⋅ σ → ） 。 {\displaystyle \ e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.}
（もちろん、 n ^ {\displaystyle \ {\hat {n}}\ } m ^ 、 {\displaystyle \ {\hat {m}}\ ,} k ^ {\displaystyle \ {\hat {k}}\ } c = a + b ）
随伴作用 同様に、パウリベクトルに対する随伴作用、すなわち任意の角度の回転を計算することも容易である。1 {\displaystyle a} n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} R n （ − 1 ） σ → R n （ 1 ） = e 私 1 2 （ n ^ ⋅ σ → ） σ → e − 私 1 2 （ n ^ ⋅ σ → ） = σ → コス （ 1 ） + n ^ × σ → 罪 （ 1 ） + n ^ n ^ ⋅ σ → （ 1 − コス （ 1 ） ） 。 {\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}
任意の単位ベクトルと上記の式との内積をとると、任意の回転の下での任意の単一量子ビット演算子の式が得られます。例えば、次のことが示せます。 R y （ − π 2 ） σ x R y （ π 2 ） = x ^ ⋅ （ y ^ × σ → ） = σ z 。 {\textstyle \ R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}~.}
完全性関係 An alternative notation that is commonly used for the Pauli matrices is to write the vector index k in the superscript, and the matrix indices as subscripts, so that the element in row α and column β of the k -th Pauli matrix is σ k αβ
In this notation, the completeness relation for the Pauli matrices can be written
σ → α β ⋅ σ → γ δ ≡ ∑ k = 1 3 σ α β k σ γ δ k = 2 δ α δ δ β γ − δ α β δ γ δ . {\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.} Proof The fact that the Pauli matrices, along with the identity matrix I , form an orthogonal basis for the Hilbert space of all 2 × 2 complex matrices M 2 , 2 ( C ) {\displaystyle \ {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )\ } C , {\displaystyle \ \mathbb {C} \ ,} 2 × 2 complex matrix M as M = c I + ∑ k a k σ k {\displaystyle M=c\ I+\sum _{k}a_{k}\ \sigma ^{k}} c is a complex number, and a is a 3-component, complex vector. It is straightforward to show, using the properties listed above, that tr ( σ j σ k ) = 2 δ j k {\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\ \delta _{jk}} tr " denotes the trace , and hence that c = 1 2 tr M , a k = 1 2 tr σ k M . ∴ 2 M = I tr M + ∑ k σ k tr σ k M , {\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \,M\ ,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \ \sigma ^{k}\ M\end{aligned}}~.\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M\ ,\end{aligned}}} 2 M α β = δ α β M γ γ + ∑ k σ α β k σ γ δ k M δ γ , {\displaystyle 2\ M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\ M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}\ M_{\delta \gamma }\ ,} summation over the repeated indices is implied γ and δ . Since this is true for any choice of the matrix M , the completeness relation follows as stated above. Q.E.D.
As noted above, it is common to denote the 2 × 2 unit matrix by σ 0 σ0 αβ = δαβ . ∑ k = 0 3 σ α β k σ γ δ k = 2 δ α δ δ β γ . {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}
The fact that any Hermitian complex 2 × 2 matrices can be expressed in terms of the identity matrix and the Pauli matrices also leads to the Bloch sphere representation of 2 × 2 mixed states ’ density matrix, (positive semidefinite 2 × 2 matrices with unit trace. This can be seen by first expressing an arbitrary Hermitian matrix as a real linear combination of {σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 } as above, and then imposing the positive-semidefinite and trace 1 conditions.
For a pure state, in polar coordinates, a → = ( sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ ) , {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},} idempotent density matrix 1 2 ( 1 + a → ⋅ σ → ) = ( cos 2 ( θ 2 ) e − i ϕ sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) e + i ϕ sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}
acts on the state eigenvector ( cos ( θ 2 ) e + i ϕ sin ( θ 2 ) ) {\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ } projection operator .
Relation with the permutation operator P jk を 、テンソル積 空間に存在する2 つのスピンσ j σ k の間の転置 (置換とも呼ばれる)とする。 C 2 ⊗ C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}
P j k | σ j σ k ⟩ = | σ k σ j ⟩ 。 {\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .} この演算子は、より明示的にディラックのスピン交換演算子 として記述することもできます。
P j k = 1 2 （ σ → j ⋅ σ → k + 1 ） 。 {\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.} したがって、その固有値は[ d ]
![{\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2\ i\ \varepsilon _{jkl}\ \sigma _{l}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c236db2475bf53114ca09b0154d6a1c7f9f0fe)
![\displaystyle \ \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917a3a966f41234f36b4d7115a4227007b76b430)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7bc701bdeb9e86829aa445a6ed80efe7100970)
![{\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cd738bdd1a5938820d4f1038b104a89587a9e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610aa4fbda5736e477bd004340dee1c6e95fac5c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a06daedf3002618b3c615e30abbb68523bb63c1)
![{\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314632e3a7d8448b52557be0317b421a56e2a645)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \,M\ ,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \ \sigma ^{k}\ M\end{aligned}}~.\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M\ ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e68c6e2d63cae6457d89319adad00cf7d37d4f)
![{\displaystyle \ \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01faaccf1a251fe6cbcc24d46ef37872967385da)
