Properties For any unitary matrix U of finite size, the following hold:
Given two complex vectors x y U preserves their inner product ; that is, ⟨U x , U y ⟩ = ⟨x , y ⟩ . U is normal (U ∗ U = U U ∗ {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}} U is diagonalizable ; that is, U is unitarily similar to a diagonal matrix, as a consequence of the spectral theorem . Thus, U has a decomposition of the form U = V D V ∗ , {\displaystyle U=VDV^{*},} V is unitary, and D is diagonal and unitary.The eigenvalues of U {\displaystyle U} unit circle . That is, if the complex number λ is an eigenvalue of U then | λ | = 1 | det ( U ) | = 1 {\displaystyle |\det(U)|=1} [ 3] The eigenspaces of U {\displaystyle U} U は U = e iH eは 行列指数 、iは 虚数単位、H はエルミート行列 である。任意の非負整数 n n × n ユニタリ群 U( n )と呼ばれる 群 を形成します。
ユークリッドノルムが1であるすべての正方行列は、2つのユニタリ行列の平均である。[ 4 ]
基本的な構造
2 × 2 U = [ 1 b − e 私 φ b * e 私 φ 1 * ] 、 | 1 | 2 + | b | 2 = 1 、 {\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}
これは4つの実数パラメータ（ a の位相、 b の位相、 a とb の相対的な大きさ、および角度φ ）に依存し、*は複素共役 です。この形式は、このような行列の 行列式 が次のようになるように構成されています。検出 （ U ） = e 私 φ 。 {\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}
これらの要素のサブグループU {\displaystyle U} 検出 （ U ） = 1 {\displaystyle \det(U)=1} これは特殊ユニタリ群 SU(2)と呼ばれます。
いくつかの代替形式の中で、行列Uは 次の形式で表すことができます。 U = e 私 φ / 2 [ e 私 α コス θ e 私 β 罪 θ − e − 私 β 罪 θ e − 私 α コス θ ] 、 {\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}
どこe 私 α コス θ = 1 {\displaystyle e^{i\alpha }\cos \theta =a} e 私 β 罪 θ = b 、 {\displaystyle e^{i\beta }\sin \theta =b,} φ 、 α 、 β 、 θ {\displaystyle \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta }
紹介することでα = ψ + δ {\displaystyle \alpha =\psi +\delta } β = ψ − δ 、 {\displaystyle \beta =\psi -\delta ,}
U = e 私 φ / 2 [ e 私 ψ 0 0 e − 私 ψ ] [ コス θ 罪 θ − 罪 θ コス θ ] [ e 私 δ 0 0 e − 私 δ ] 。 {\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}
この式は、2 × 2 θの 2 × 2 直交行列 との間の関係を強調しています。
別の因数分解は[ 6 ]
U = [ コス ρ − 罪 ρ 罪 ρ コス ρ ] [ e 私 ξ 0 0 e 私 ζ ] [ コス σ 罪 σ − 罪 σ コス σ ] 。 {\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}
ユニタリ行列を基本行列に分解する方法は他にも多数あります。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]
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