4テンソル

物理学、特に特殊相対性理論と一般相対性理論において、4次元テンソルは4次元時空におけるテンソルの略語である。^[1]

一般的な4次元テンソルは、テンソルインデックス表記で次のように 表される。

${\displaystyle A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},.. .,\mu _{n}}}$

インデックスは0から3までの整数値を取り、0は時間的要素、1、2、3は空間的要素である。反変インデックスはn個、 共変インデックスはm個ある。^[1]

特殊相対論および一般相対論では、関心のある 4 元テンソルの多くは 1 次 ( 4 元ベクトル) または 2 次ですが、より高次のテンソルも存在します。次に例を示します。

特殊相対論では、ベクトル基底は正規直交に制限することができ、その場合、4つのテンソルはすべてローレンツ変換の下で変換されます。一般相対論では、そのような制限は一般には不可能であるため、より一般的な座標変換が必要です。

特殊相対論では、4次元テンソルの最も単純で非自明な例の1つは4次元変位である。

${\displaystyle x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)}$

反変階数1、共変階数0の4元テンソル。この種の4元テンソルは通常、4元ベクトルとして知られています。ここで、成分x ⁰ = ctは、物体の時間的変位を与えます（座標時間tに光速 cを掛け合わせると、x ^0は長さの次元を持ちます）。4元変位の残りの成分は、空間変位ベクトルx = ( x ¹ , x ² , x ³ )を形成します。^[1]

質量のある粒子と質量のない粒子の4元運動量は

${\displaystyle p^{\mu}=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

そのエネルギー（cで割ったもの）p ⁰ = E / cと3-運動量 p = ( p ¹、p ²、p ³ )を組み合わせる。^[1]

不変質量（ 静止質量とも呼ばれる）を持つ粒子の場合、4つの運動量は次のように定義されます。 ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle p^{\mu}=m_{0}{\frac {dx^{\mu}}{d\tau }}}$

粒子の 固有時間とともに。${\displaystyle \tau}$

相対論的質量はローレンツ因子を伴う${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

(−+++) 規則の正規直交基底を持つ ミンコフスキー計量テンソルは

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}$

線要素の計算とインデックスの上げ下げに使用されます。上記は直交座標に適用されます。一般相対性理論では、計量テンソルは曲線座標のより一般的な表現で与えられます。

相対論的質量mと相対論的運動量p （実験室系で観測者によって測定）を持つ粒子の角運動量 L = x ∧ pは、相対論的角運動量テンソル^{[2] [3]}において別のベクトル量N = m x − p t（標準的な名前なし）と結合する。

${\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}$

コンポーネント付き

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

連続体または場の応力エネルギーテンソルは、一般に 2 次テンソルの形をとり、通常はTで表されます。時間的要素はエネルギー密度(単位体積あたりのエネルギー) に対応し、混合時空要素は運動量密度(単位体積あたりの運動量) に対応し、純粋に空間的な部分は 3d 応力テンソルに対応します。

電磁場テンソルは電場Eと磁場Bを組み合わせたものである^[4]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B _{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

電磁変位テンソルは、電界変位場 Dと磁界強度 Hを次のように組み合わせたものである^[5]

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_ {z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

磁化-分極テンソルはP場とM場を組み合わせたものである^[4]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

3つの場のテンソルは次のように関係している。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

これは、 DフィールドとHフィールドの定義と同等です。

粒子の電気双極子モーメントdと磁気双極子モーメントμは単一のテンソルに統合 される[ 6 ^]

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}$

リッチ曲率テンソルは別の 2 次テンソルです。

一般相対論では、リーマン曲率テンソルやワイル曲率テンソルなど、4 次テンソルである 傾向のある高次曲率テンソルが存在します。

• スピンテンソル
• テトラッド（一般相対性理論）