有限生成モジュール

数学において、有限生成加群とは、有限生成集合を持つ加群のことである。環R上の有限生成加群は、有限R加群、R上の有限加群^{[ 1 ]}、または有限型の加群とも呼ばれる。

関連する概念には、有限共生成モジュール、有限表示モジュール、有限関連モジュール、およびコヒーレントモジュールがあり、これらはすべて以下に定義されています。ネーター環上では、有限生成モジュール、有限表示モジュール、およびコヒーレントモジュールの概念は一致します。

体上の有限生成加群は単に有限次元ベクトル空間であり、整数上の有限生成加群は単に有限生成アーベル群である。

左R加群Mは、 M内にa ₁ , a ₂ , ..., a _nが存在し、 M内の任意のxに対して、 R内にx = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _nとなるr ₁ , r ₂ , ..., r _{n が}存在する場合に有限生成である。

この場合、集合 { a 1 , a 2 , ..., a n } は M の生成集合と呼ばれます。有限生成集合は R 上で線形独立である必要がないため、基底である必要はありません。正しいの_は、M_が有限生成_であるのは、全射R線形写像が存在する場合のみです。

${\displaystyle R^{n}\to M}$

あるnに対して、Mは有限ランクの自由加群の商である。

集合S が有限生成のモジュールを生成する場合、 Sに含まれる有限生成集合が存在する。なぜなら、任意の有限生成集合の生成元を表現するにはSの有限個の要素しか必要なく、これらの有限個の要素が生成集合を形成するからである。しかし、 S が最小濃度の有限生成集合を一切含まない場合もある。例えば、素数の集合は の生成集合である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$と見なされる${\displaystyle \mathbb {Z} }$-モジュールであり、素数から形成される生成集合は少なくとも2つの要素を持ち、単一要素{1}も生成集合です。

モジュールMが体R上のベクトル空間であり、生成集合が線形独立である場合、n は明確に定義され、Mの次元と呼ばれます(明確に定義されるとは、任意の線形独立な生成集合がn個の要素を持つことを意味します。これはベクトル空間の次元定理です)。

任意のモジュールは、その有限生成部分モジュールの有向集合の和集合である。

加群Mが有限生成であるのは、部分加群の任意の増加鎖M _iがMと結合して安定化する場合、すなわち、あるiが存在してM _i = Mとなる場合に限る。この事実とツォルンの補題から、すべての非零有限生成加群は極大部分加群を持つことがわかる。任意の増加鎖が安定化する場合（すなわち、任意の部分加群が有限生成である場合）、加群Mはネーター加群と呼ばれる。

• モジュールが1つの要素によって生成される場合、それは循環モジュールと呼ばれます。
• R を、 Kを分数体とする整域とする。このとき、 Kの有限生成R部分加群Iは分数イデアルである。すなわち、Rにはゼロでない元rが存在し、rIはRに含まれる。実際、 rはIの生成元の分母の積とすることができる。R がネーター的であれば、すべての分数イデアルはこのようにして生じる。
• Finitely generated modules over the ring of integersZ coincide with the finitely generated abelian groups. (These are completely classified by the structure theorem, taking Z as the principal ideal domain.)
• Finitely generated (say, left) modules over a division ring are precisely finite dimensional vector spaces (over the division ring).

Every homomorphic image of a finitely generated module is finitely generated. In general, submodules of finitely generated modules need not be finitely generated. As an example, consider the ring R = Z[X₁, X₂, ...] of all polynomials in countably many variables. R itself is a finitely generated R-module (with {1} as generating set). Consider the submodule K consisting of all those polynomials with zero constant term. Since every polynomial contains only finitely many terms whose coefficients are non-zero, the R-module K is not finitely generated.

In general, a module is said to be Noetherian if every submodule is finitely generated. A finitely generated module over a Noetherian ring is a Noetherian module (and indeed this property characterizes Noetherian rings): A module over a Noetherian ring is finitely generated if and only if it is a Noetherian module. This resembles, but is not exactly Hilbert's basis theorem, which states that the polynomial ring R[X] over a Noetherian ring R is Noetherian. Both facts imply that a finitely generated commutative algebra over a Noetherian ring is again a Noetherian ring.

More generally, an algebra (e.g., ring) that is a finitely generated module is a finitely generated algebra. Conversely, if a finitely generated algebra is integral (over the coefficient ring), then it is finitely generated module. (See integral element for more.)

0 → M ′ → M → M ′′ → 0 をモジュールの完全列とする。このとき、 M ′、M ′′ が有限生成であれば、 Mは有限生成である。これにはいくつかの部分的な逆がある。M が有限生成であり、 M ′ ′ が有限表示である（これは有限生成よりも強い条件である。下記参照）ならば、M ′ は有限生成である。また、Mがネーター的（またはアルティン的）であるのは、 M ′、M ′′ がネーター的（またはアルティン的）である場合に限る。

B を環とし、A をその部分環とする。ただし、 Bは忠実平坦な右A加群とする。このとき、左A加群Fが有限生成（または有限表示）であるのは、 B加群B ⊗ _A Fが有限生成（または有限表示）である場合に限る。 ^{[ 2 ]}

可換環R上の有限生成加群の場合、中山の補題は基本的である。この補題によって、有限生成加群の有限次元ベクトル空間現象を証明できる場合がある。例えば、f  : M → Mが有限生成加群Mの全射R自己準同型である場合、fは単射でもあるため、Mの自己同型である。^{[ 3 ]} これは、 Mがホップ加群であることを単純に示している。同様に、アルティン加群Mはコホップ加群である。すなわち、任意の単射自己準同型fは全射自己準同型でもある。^{[ 4 ]}フォースター・スワンの定理は、可換ネーター環上の有限生成加群Mの最小生成子数の上限を与える。

任意のR加群は、有限生成R部分加群の帰納的極限である。これは、仮定を有限の場合に弱めるのに役立つ（例えば、Tor 関手による平坦性の特徴付けなど）。

有限生成と整数要素の関係の例は、可換代数に見られます。可換代数AがR上の有限生成環であるということは、 Aの要素の集合G = { x ₁ , ..., x _n }が存在し、 GとRを含むAの最小の部分環がA自身であることを意味します。環積は要素の結合に使用できるため、Gの要素のR線形結合以外にも多くの要素が生成されます。たとえば、多項式環R [ x ] は、環としては{1, x }によって有限生成されますが、加群としては有限生成されません。AがR上の可換代数 (単位元を持つ) である場合、次の 2 つの記述は同値です。^{[ 5 ]}

• Aは有限生成Rモジュールである。
• AはR上の有限生成環であり、かつRの整拡大である。

M を、分数体Kを持つ整域A上の有限生成加群とする。このとき、次元は${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$これは、 A上のMの一般ランクと呼ばれます。この数は、Mにおける最大A線形独立ベクトルの数、または同等に、 Mの最大自由部分加群のランクと同じです(アーベル群のランクを参照)。${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$、${\displaystyle M/F}$はねじれ加群である。Aがネーター加群である場合、一般的な自由性により、 ( Mに依存する)要素fが存在し、${\displaystyle M[f^{-1}]}$無料です${\displaystyle A[f^{-1}]}$-モジュール。すると、この自由モジュールのランクはMの一般ランクになります。

ここで、積分領域Aが${\displaystyle \mathbb {N} }$-有限個の次数を持つ同次要素によって生成される体k上の次数付き代数$d_i$Mも採点されると仮定し、${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$Mのポアンカレ級数を とする。ヒルベルト・セール定理により、を満たす多項式Fが存在する。${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$。 それから${\displaystyle F(1)}$はMの一般的なランクです。^{[ 6 ]}

主イデアル整域上の有限生成加群は、自由加群である場合に限り、ねじれなしである。これは、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の結果であり、その基本形は、主イデアル整域上の有限生成加群は、ねじれ加群と自由加群の直和であると述べている。しかし、次のように直接示すこともできる。Mを主イデアル整域A上のねじれなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。fをAの要素とし、${\displaystyle fM\subset F}$。 それから${\displaystyle fM}$これはフリーモジュールのサブモジュールであり、AはPIDであるため、フリーです。しかし今${\displaystyle f:M\to fM}$Mはねじれのない写像であるため、これは同型写像である。

上記と同様の議論により、デデキント整域A (またはより一般的には半遺伝環) 上の有限生成加群は、それが射影加群である場合に限り、ねじれフリーである。したがって、A上の有限生成加群は、ねじれ加群と射影加群の直和となる。ネーター整域上の有限生成射影加群は定数階数を持つため、A上の有限生成加群の一般階数は、その射影部分の階数となる。

以下の条件は、Mが有限生成（fg）であることと同等である。

• Mの任意の部分加群 { N _i | i ∈ I }に対して、${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$、 それから${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$Iのある有限部分集合Fに対して。
• M内の任意のサブモジュールの連鎖{ N _i | i ∈ I }について、${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$すると、Iのあるiに対してN _i = M となる。
• もし${\displaystyle \phi$ :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,} は全射である。${\displaystyle \phi$ :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,} は、 Iの有限部分集合Fに対する全射準同型写像です。

これらの条件から、有限生成であることは森田同値によって保存される性質であることが容易にわかる。これらの条件は、有限共生成加群Mの双対概念を定義するのにも便利である。以下の条件は、加群が有限共生成であること (f.cog.) と同値である。

• Mの任意の部分加群 { N _i | i ∈ I }に対して、${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$、 それから${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$Iのある有限部分集合Fに対して。
• M内の任意のサブモジュールの連鎖 { N _i | i ∈ I }について、${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$すると、Iのあるiに対してN _i = {0}となる。
• もし${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$は単射であり、各${\displaystyle N_{i}}$Rモジュールであれば、 ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$は、 Iのある有限部分集合Fに対する単射である。

fgモジュールとf.cogモジュールはどちらも、ネーターモジュールとアルティンモジュール、そしてモジュールのヤコブソン根基J ( M )とソクルsoc( M )と興味深い関係を持っています。以下の事実は、2つの条件間の双対性を示しています。モジュールMの場合：

• Mがネーター的であるのは、 Mのすべての部分加群Nが fg である場合に限る。
• Mがアルティンであるのは、すべての商モジュールM / Nが f.cog である場合に限る。
• Mが fg であるのは、 J ( M ) がMの余剰部分加群であり、かつM / J ( M ) が fg である場合に限る。
• Mが f.cog であるのは、soc( M ) がMの本質的部分加群であり、かつ soc( M ) が fg である場合に限る。
• M が半単純モジュール(任意のモジュールNに対する soc( N )など)である場合、f.cog である場合に限り、M は fg です。
• Mがfgであり、かつゼロでないならば、 Mは極大部分加群を持ち、任意の商加群M / Nはfgである。
• Mが f.cog. であり、かつゼロでない場合、 M は最小部分加群を持ち、Mの任意の部分加群Nは f.cog. である。
• NとM / Nがfgであれば、 Mもfgである。同様に、「fg」を「f.cog」に置き換えた場合も同じことが言える。

有限共生成加群は有限一様次元を持たなければならない。これは、有限生成本質ソクルを用いた特徴付けを適用することで容易に確認できる。やや非対称ではあるが、有限生成加群は必ずしも有限一様次元を持つとは限らない。例えば、非零環の無限直積はそれ自身上の有限生成（巡回！）加群であるが、明らかに非零部分加群の無限直和を含む。有限生成加群は必ずしも有限共一様次元を持つとも限らない。R / J ( R )が半単純環でないような単位を持つ任意の環Rは反例である。

別の定式化としては、有限生成モジュールMとは、 R ^kからMへの全射写像が存在するモジュールのことである。 

f  : R ^k → M。

ここで、全射が存在すると仮定します。

φ  : F → M .

モジュールMと自由モジュールFの場合。

• φの核が有限生成である場合、 Mは有限関連加群と呼ばれます。MはF /ker( φ )と同型であるため、これは基本的に、 Mは自由加群を取り、 F内に有限個の関係(ker( φ )の生成元) を導入することによって得られることを意味します。
• φの核が有限生成であり、F が有限ランク (すなわちF = R ^k ) を持つ場合、Mは有限表示モジュールであると言われます。ここで、Mは有限個の生成元 ( F = R ^kのk個の生成元の像) と有限個の関係 (ker( φ )の生成元) を使用して指定されます。自由表示も参照してください。有限表示モジュールは、 Rモジュールの圏における抽象的な性質によって特徴付けられます。それはまさにこの圏のコンパクトオブジェクトです。
• 一貫性のあるモジュールMとは、有限生成部分モジュールが有限表示可能な有限生成モジュールのことである。

任意の環Rにおいて、コヒーレントな加群は有限表示であり、有限表示な加群は有限生成かつ有限関係である。ネーター環Rにおいては、有限生成、有限表示、コヒーレントは加群に対する同値な条件である。

射影加群と平坦加群には、いくつかの重複が見られる。有限生成射影加群は有限表示であり、有限関連平坦加群は射影加群である。

また、環Rについては、以下の条件が同値であることも事実である。

1. Rは右コヒーレントリングである。
2. モジュールR _Rはコヒーレントモジュールです。
3. 有限表示可能な右R加群はすべてコヒーレントである。

一貫性は有限生成や有限表示よりも面倒な条件のように思えるかもしれないが、一貫性のある加群の圏はアーベル圏であるのに対し、一般に有限生成加群も有限表示加群もアーベル圏を形成しないため、一貫性の方が優れている。

• 積分要素
• アルティン・リース補題
• カウント可能な生成モジュール
• 有限代数
• 連接層（コヒーレントシーフ）とは、代数幾何学で用いられる一般化である。

• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969), 『可換代数学入門』、Addison-Wesley Publishing Co.、Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.、pp.  ix+128、MR 0242802 
• ブルバキ、ニコラ（1998）『可換代数』第1章～第7章 フランス語からの翻訳。1989年英語訳の復刻版、Elements of Mathematics、ベルリン：Springer-Verlag、ISBN 3-540-64239-0
• カプランスキー、アーヴィング（1970）、『可換環』  、ボストン、マサチューセッツ州：アリン・アンド・ベーコン社、 x+180ページ、 MR 0254021 
• Lam, TY (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• ラング、セルジュ（1997）、『代数学』（第3 版）、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-55540-0
• 松村秀幸(1989)、「可換環論」、ケンブリッジ高等数学研究シリーズ第 8巻、M. リード訳 (第2 版)、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、 xiv+320頁、ISBN 0-521-36764-6MR 1011461​ 
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory , Lecture Notes in Mathematics, vol.  585, Springer, doi : 10.1007/BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2。