順序

数学において、シーケンスは、繰り返しが許可され、順序が重要であるオブジェクトの列挙されたコレクションです。セットと同様に、メンバー（要素または項とも呼ばれる）が含まれます。要素の数（無限の場合もあります）は、シーケンスの長さと呼ばれます。セットとは異なり、シーケンスでは同じ要素が複数の異なる位置に複数回出現できます。また、セットとは異なり、順序が重要です。正式には、シーケンスは、自然数（シーケンス内の要素の位置）から各位置の要素への関数として定義できます。シーケンスの概念は、任意のインデックス セットからの関数として定義されるインデックス付きファミリに一般化できます。

たとえば、(M, A, R, Y) は、文字「M」が最初で「Y」が最後である文字のシーケンスです。このシーケンスは、(A, R, M, Y) とは異なります。また、2 つの異なる位置に数字 1 が含まれるシーケンス (1, 1, 2, 3, 5, 8) も有効なシーケンスです。シーケンスは、これらの例のように有限 の場合もあれば、すべての偶数の正の整数のシーケンス (2, 4, 6, ...) のように無限 の場合もあります。

数列における要素の位置は、そのランクまたはインデックスで、要素がその像である自然数です。最初の要素のインデックスは、コンテキストまたは特定の規則に応じて 0 または 1 になります。数学的解析では、数列は、、 、の形式で文字で表されることが多く、下付き文字n は数列のn番目の要素を表します。たとえば、フィボナッチ数列のn番目の要素は、通常 と表されます。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{n}}$

コンピューティングとコンピュータ サイエンスでは、有限シーケンスは通常、文字列、ワード、またはリストと呼ばれ、シーケンスが列挙するオブジェクトの種類と、コンピュータ メモリ内でシーケンスを表すさまざまな方法に応じて特定の技術用語が選択されます。無限シーケンスはストリームと呼ばれます。

空のシーケンス ( ) は、ほとんどのシーケンスの概念に含まれています。コンテキストによっては除外されることもあります。

数列は、特定の順序を持​​つ要素のリストと考えることができます。^{[1] [2]数列は、数列の収束特性を使用して}関数、空間、およびその他の数学的構造を研究するための多くの数学分野で役立ちます。特に、数列は、微分方程式と解析で重要な級数の基礎となります。数列はそれ自体でも興味深く、素数の研究のように、パターンやパズルとして研究することができます。

シーケンスを表す方法はいくつかありますが、そのうちのいくつかは特定の種類のシーケンスに便利です。シーケンスを指定する方法の 1 つは、すべての要素をリストすることです。たとえば、最初の 4 つの奇数はシーケンス (1, 3, 5, 7) を形成します。この表記法は無限シーケンスにも使用されます。たとえば、正の奇数の無限シーケンスは (1, 3, 5, 7, ...) と記述されます。省略記号を使用してシーケンスを表すとあいまいさが生じるため、リストは最初のいくつかの要素から簡単に認識できる通常の無限シーケンスに最も役立ちます。シーケンスを表すその他の方法については、例の後で説明します。

素数とは、1 とそれ自身以外に約数を持たない 1 より大きい自然数のことです。これらを自然順に並べると、数列 (2、3、5、7、11、13、17、...) が得られます。素数は数学、特に数論で広く使用されており、数論に関連する多くの結果が存在します。

フィボナッチ数は、その要素が前の 2 つの要素の合計である整数列で構成されています。最初の 2 つの要素は 0 と 1 または 1 と 1 のいずれかであるため、数列は (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) となります。^[1]

数列の他の例としては、有理数、実数、複素数で構成される数列があります。たとえば、数列 (.9, .99, .999, .9999, ...) は数 1 に近づきます。実際、すべての実数は有理数の数列の極限として記述できます (たとえば、その10 進展開を介して、実数の完全性も参照)。別の例として、π は、増加する数列 (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) の極限です。関連する数列は、πの 10 進数の列、つまり (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...) です。前の数列とは異なり、この数列には検査によって簡単に識別できるパターンはありません。

他の例としては、要素が数値ではなく関数である 関数のシーケンスがあります。

整数列のオンライン百科事典には整数列の膨大な例が掲載されている。^[3]

パターンを簡単に推測できないシーケンスや、 πの数字のようなパターンを持たないシーケンスには、他の表記法が役立ちます。そのような表記法の 1 つは、 n番目の項をnの関数として計算する一般的な式を書き、それを括弧で囲み、 nが取り得る値のセットを示す下付き文字を含めることです。たとえば、この表記法では、偶数のシーケンスは と書くことができます。平方数のシーケンスは と書くことができます。変数nはインデックスと呼ばれ、それが取り得る値のセットはインデックス セットと呼ばれます。 ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

この表記法を、シーケンスの要素を個別の変数として扱う手法と組み合わせると便利なことがよくあります。これにより、 のような式が生成されます。これは、 n番目の要素が変数 によって指定されるシーケンスを表します。たとえば、次のようになります。 ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{n 番目の要素}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd 要素}}\\a_{3}&=3{\text{rd 要素}}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th 要素}}\\a_{n}&=n{\text{th 要素}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th 要素}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

異なる変数を使用することで、複数のシーケンスを同時に考えることができます。たとえば、 はとは異なるシーケンスである可能性があります。シーケンスのシーケンスを考えることもできます。は、 m番目の項がシーケンス であるシーケンスを表します。 ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

添え字に数列の定義域を記述する代わりに、インデックスの最高値と最低値を列挙して、インデックスが取り得る値の範囲を示すこともできます。たとえば、 という表記は、平方数の 10 項数列を表します。 と という極限値も使用できますが、これらはインデックスの有効な値を表すものではなく、それぞれそのような値の上限と下限のみを表します。たとえば、数列 は数列 と同じであり、「無限大」という追加の項は含まれません。数列 は双無限数列であり、 と記述することもできます。 ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

インデックス番号の集合が理解できる場合、下付き文字と上付き文字は省略されることが多い。つまり、任意のシーケンスを単に記述する。インデックスkは1から∞までと理解されることが多い。しかし、シーケンスは0から始まるインデックスが付けられることが多い。 ${\textstyle (a_{k})}$

${\displaystyle {(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

場合によっては、シーケンスの要素は、パターンが容易に推測できる整数シーケンスに自然に関連付けられます。このような場合、インデックス セットは、最初のいくつかの抽象要素のリストによって暗示されることがあります。たとえば、奇数の平方シーケンスは、次のいずれかの方法で表すことができます。

• ${\displaystyle (1,9,25,\ldots )}$
• ${\displaystyle (a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}}$
• ${\displaystyle {\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }}$

さらに、添え字セットが自然数であると理解されていれば、3 番目、4 番目、5 番目の表記法では下付き文字と上付き文字を省略できます。2 番目と 3 番目の箇条書きでは、明確に定義されたシーケンス がありますが、これは式によって表されるシーケンスと同じではありません。 ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

要素が前の要素と直接的に関連付けられているシーケンスは、多くの場合、再帰を使用して定義されます。これは、要素のシーケンスをその位置の関数として定義することとは対照的です。

再帰によってシーケンスを定義するには、各要素をその前の要素に基づいて構築するための再帰関係と呼ばれる規則が必要です。さらに、シーケンスの後続のすべての要素が再帰関係の連続的な適用によって計算できるように、十分な初期要素を提供する必要があります。

フィボナッチ数列は、再帰関係によって定義される単純な古典的な例である。

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

最初の項はおよび です。簡単な計算により、この数列の最初の 10 項は 0、1、1、2、3、5、8、13、21、および 34 であることがわかります。 ${\displaystyle a_{0}=0}$${\displaystyle a_{1}=1}$

再帰関係によって定義されるシーケンスの複雑な例としては、再帰関係によって定義される レカマンのシーケンス^{[4]が挙げられる。}

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{結果が正で、前の項でまだない場合、}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{それ以外の場合}},\end{cases}}}$

初期用語付き${\displaystyle a_{0}=0.}$

定数係数の線形回帰は、次の形式の回帰関係である。

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

ここで、は定数です。このような数列の一般項をnの関数として表す一般的な方法があります。線形回帰を参照してください。フィボナッチ数列の場合は、 となり、結果として得られるnの関数はビネの公式で与えられます。 ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$

ホロノミックシーケンスは、次の形式の再帰関係によって定義されるシーケンスです。

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

ここで、 はnの多項式です。ほとんどのホロノミック シーケンスでは、 をnの関数として表す明示的な式はありません。ただし、ホロノミック シーケンスは数学のさまざまな分野で重要な役割を果たします。たとえば、多くの特殊関数には、係数のシーケンスがホロノミックであるテイラー級数があります。再帰関係を使用すると、このような特殊関数の値を高速に計算できます。 ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle a_{n}}$

すべてのシーケンスが再帰関係で指定できるわけではありません。例としては、自然順序の素数のシーケンス(2、3、5、7、11、13、17、...) があります。

数学にはさまざまなシーケンスの概念がありますが、そのうちのいくつか (たとえば、正確なシーケンス) は、以下で紹介する定義や表記法ではカバーされていません。

本稿では、シーケンスは、定義域が整数の区間である関数として正式に定義される。この定義は、片側無限シーケンス、双無限シーケンス、有限シーケンス（これらの種類のシーケンスの定義については以下を参照）など、「シーケンス」という単語のさまざまな用途をカバーしている。しかし、多くの著者は、シーケンスの定義域が自然数の集合であることを要求することで、より狭い定義を使用している。この狭い定義には、有限シーケンスと双無限シーケンスが除外されるという欠点がある。これらはどちらも、標準的な数学の実践では通常シーケンスと呼ばれている。もう 1 つの欠点は、シーケンスの最初の項を削除すると、この定義に適合させるために残りの項を再インデックスする必要があることである。一部のコンテキストでは、説明を短縮するために、シーケンスの共定義域はコンテキストによって固定され、たとえば、実数の集合R 、 ^[5]複素数の集合C 、 ^[6]または位相空間^[7]であることが要求される。

シーケンスは関数の一種ですが、入力が括弧ではなく添え字として記述される（つまり、 ( n ) ではなく n ）という点で、表記上は通常関数と区別されます。用語_上の違いもあります。最も小さい入力（多くの場合 1）でのシーケンスの値は、シーケンスの「最初の要素」と呼ばれ、2 番目に小さい入力（多くの場合 2）での値は「2 番目の要素」と呼ばれます。 また、入力から抽象化された関数は通常、fなどの 1 文字で表されますが、入力から抽象化されたシーケンスは通常、 、または単に などの表記法で表されます。ここで、Aはシーケンスのドメイン、またはインデックス セットです。 ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$${\textstyle (a_{n}).}$

シーケンスとその極限 (以下を参照) は、位相空間を研究するための重要な概念です。シーケンスの重要な一般化はネットの概念です。ネットは、(おそらく無数な)有向集合から位相空間への関数です。シーケンスの表記規則は通常、ネットにも適用されます。

シーケンスの長さは、シーケンス内の項の数として定義されます。

有限の長さnのシーケンスはnタプルとも呼ばれます。有限シーケンスには、 要素を持たない 空のシーケンス( ) が含まれます。

通常、無限シーケンスという 用語は、一方向には無限で、他方向には有限であるシーケンスを指します。シーケンスには最初の要素がありますが、最後の要素はありません。曖昧さを解消する必要がある場合、このようなシーケンスは、単方向無限シーケンスまたは片側無限シーケンスと呼ばれます。対照的に、両方向に無限であるシーケンス、つまり最初の要素も最後の要素もないシーケンスは、双無限シーケンス、双方向無限シーケンス、または二重無限シーケンスと呼ばれます。すべての整数の集合Zから、たとえばすべての偶数の整数のシーケンス (...、-4、-2、0、2、4、6、8、...) などの集合への関数は双無限です。このシーケンスは と表記されます。 ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

各項がその前の項以上である場合、その数列は単調増加であると言われます。たとえば、数列が単調増加である場合は、すべて に対して が成り立つ必要があります。連続する各項が前の項より厳密に大きい (>) 場合、数列は厳密に単調増加であると呼ばれます。連続する各項が前の項以下である場合、数列は単調減少であり、各項が前の項より厳密に小さい場合は厳密に単調減少です。数列が増加または減少する場合、それは単調数列と呼ばれます。これは、より一般的な単調関数の概念の特殊なケースです。 ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbf {N} .}$

非減少および非増加という用語は、それぞれ厳密に増加するおよび厳密に減少するとの混同を避けるために、増加するおよび減少するの代わりによく使用されます。

実数列 ( a _n ) のすべての項が実数Mより小さい場合、その列は上から有界であると言われます。言い換えると、すべてのnに対してa _n ≤ MとなるM が存在することを意味します。このようなMは上限と呼ばれます。同様に、ある実数mに対して、あるNより大きいすべての n に対してa n _≥ mである場合、その列は下から有界であり、そのようなmは下限と呼ばれます。列が上からも下からも有界である場合、その列は有界であると言われます。

与えられたシーケンスの部分シーケンスとは、残りの要素の相対的な位置を乱すことなく、いくつかの要素を削除することによって与えられたシーケンスから形成されたシーケンスです。たとえば、正の偶数整数のシーケンス (2、4、6、...) は、正の整数 (1、2、3、...) の部分シーケンスです。他の要素を削除すると、一部の要素の位置が変わります。ただし、相対的な位置は保持されます。

正式には、シーケンスの部分シーケンスは、という形式のシーケンスです。ここで、 は正の整数の厳密に増加するシーケンスです。 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

簡単に定義できる他のタイプのシーケンスには次のものがあります。

• 整数シーケンスは、項が整数であるシーケンスです。
• 多項式列は、項が多項式である列です。
• 正の整数列は、すべてのn 、 mのペアでa _nm = a _n a _mであり、nとmが互いに素である場合、乗法的と呼ばれることがあります。^{[8]また、すべての}nでa _n = na _{1 で}ある場合、数列は乗法的と呼ばれることがよくあります。さらに、乗法フィボナッチ数列^[9]は、再帰関係a _n = a _{n −1} a _{n −2}を満たします。
• バイナリ シーケンスは、項が 2 つの離散値のいずれかを持つシーケンスです。たとえば、2進数の値 (0、1、1、0、...)、一連のコイン投げ (表/裏) H、T、H、H、T、...、一連の真偽の質問に対する回答 (T、F、T、T、...) などです。

数列の重要な特性は収束です。数列が収束する場合、それは極限と呼ばれる特定の値に収束します。数列が何らかの極限に収束する場合、それは収束します。収束しない数列は発散します。

非公式には、シーケンスの要素が にどんどん近づいていく場合（シーケンスの極限と呼ばれる）、シーケンスには極限があり、それらの要素は に任意に近い値になり、その値を維持します。つまり、0 より大きい実数が与えられた場合、シーケンスの有限個を除くすべての要素は から までの距離が未満になります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d}$

たとえば、右に示すシーケンスは値 0 に収束します。一方、シーケンス(1、8、27、... で始まる) と(-1、1、-1、1、... で始まる) はどちらも発散します。 ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$${\textstyle b_{n}=n^{3}}$${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$

数列が収束する場合、収束する値は一意です。この値は数列の極限と呼ばれます。収束数列の極限は通常 と表されます。 が発散数列である場合、式は無意味です。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

実数の列が実数に収束するとは、すべての に対して、すべての に対して成り立つ自然数が存在する場合である^[5]。${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

が実数列ではなく複素数列である場合、が複素係数を表すという条件で、この最後の式を使用して収束を定義できます。つまり、 が距離空間内の点の列である場合、式 を式 （と間の距離を表す） に置き換えると、式 を使用して収束を定義できます。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle |a_{n}-L|}$${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle L}$

とが収束する列である場合、以下の極限が存在し、次のように計算できる：^{[5] [10]}${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$すべての実数について${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$ただし、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$すべての人のために${\displaystyle p>0}$${\displaystyle a_{n}>0}$

さらに：

• すべての に対してがある より大きい場合、 となります。^[a]${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• (スクイーズ定理)がすべてのおよびに対してとなる数列である
  場合、は収束し、 となります。${\displaystyle (c_{n})}$${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$
  ${\displaystyle (c_{n})}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• シーケンスが有界かつ単調である場合、それは収束します。
• シーケンスが収束するのは、そのサブシーケンスがすべて収束する場合のみです。

コーシー列は、n が非常に大きくなるにつれて項が任意に接近する列である。コーシー列の概念は、距離空間における列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の 1 つは、列の収束のコーシー特性である。

実数の列は、コーシーである場合に限り、（実数において）収束します。

対照的に、有理数に収束しない有理数のコーシー列も存在します。たとえば、とで定義される列はコーシーですが、有理数の極限はありません (cf.コーシー列 § 非例: 有理数)。より一般的には、無理数に収束する有理数の列はすべてコーシーですが、有理数の集合内の列として解釈すると収束しません。 ${\displaystyle x_{1}=1}$${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$

シーケンスの収束に関するコーシー特性を満たす距離空間は完全距離空間と呼ばれ、特に解析に適しています。

微積分学では、上で述べた意味で収束しないが、代わりに任意の大きさになり、任意の大きさのままになるか、任意の負の値になり、任意の負の値のままになる数列の表記法を定義するのが一般的です。 が として任意の大きさになる場合、次のように書きます。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

この場合、数列は発散する、または無限大に収束すると言います。このような数列の例としては、_n = nがあります。

が任意に負（つまり負で大きさが大きい）になる場合、次のように書く。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

そして、その数列は負の無限大に発散または収束すると言えます。

級数とは、非公式に言えば、数列の項の和です。つまり、または の形式の式です。ここで、 は実数または複素数の列です。級数の部分和は、無限大記号を有限数に置き換えた式です。つまり、級数のN番目の部分和は数です。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}$

部分和自体は数列 を形成し、これは数列 の部分和の数列と呼ばれます。部分和の数列が収束する場合、数列は収束すると言い、極限は数列の値と呼ばれます。数列とその値を表すのに同じ表記法が使用され、 と書きます。 ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

シーケンスは位相幾何学、特に距離空間の研究において重要な役割を果たします。たとえば、

• 距離空間がコンパクトであるとは、それが逐次コンパクトであるときとまったく同じです。
• ある距離空間から別の距離空間への関数は、収束するシーケンスを収束するシーケンスに変換するときに正確に連続になります。
• 距離空間が連結空間となるのは、空間が 2 つの集合に分割されるとき、その 2 つの集合の 1 つに、もう 1 つの集合の点に収束するシーケンスが含まれる場合のみです。
• 位相空間は、点の稠密な列が存在する場合に正確に分離可能です。

シーケンスはネットやフィルターに一般化できます。これらの一般化により、上記の定理の一部をメトリックのない空間に拡張できます。

位相空間の列の位相積は、積位相と呼ばれる自然な位相を備えたそれらの空間の直積です。

より正式には、空間の列が与えられた場合、積空間 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},}$

は、各iに対してが の元となるようなすべてのシーケンスの集合として定義されます。標準射影は、方程式 によって定義される写像p _i  : X → X _iです。すると、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続する最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義されます。積位相は、ティコノフ位相と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}}$

解析におけるシーケンスについて議論する場合、一般的には次のようなシーケンスを考える。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限シーケンスです。

シーケンスは、1 または 0 以外のインデックスで始まる場合があります。たとえば、x _n = 1/ log ( n ) で定義されるシーケンスは、 n ≥ 2に対してのみ定義されます。このような無限シーケンスについて話すときは、シーケンスのメンバーが少なくとも十分に大きい、つまり、特定のNより大きいすべてのインデックスに対して定義されていると想定すれば、通常は十分です (ほとんどの考慮事項ではあまり変わりません) 。

最も基本的なタイプのシーケンスは数値シーケンス、つまり実数または複素数のシーケンスです。このタイプは、何らかのベクトル空間の要素のシーケンスに一般化できます。解析では、考慮されるベクトル空間は関数空間であることがよくあります。さらに一般的には、何らかの位相空間の要素を持つシーケンスを研究できます。

数列空間は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間です。同様に、数列空間は、自然数から体Kへの関数を要素とする関数空間です。ここで、Kは実数体または複素数体です。このような関数のすべての集合は、Kを要素とするすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加算と点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できます。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間です。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えています。

解析学において最も重要なシーケンス空間は、 pノルムを持つpべき加算可能シーケンスからなるℓ ^p空間です。これらは、自然数の集合上の計数測度に対するL ^p空間の特殊なケースです。収束シーケンスやヌルシーケンスなどの他の重要なシーケンスクラスは、それぞれcおよびc ₀で表され、超ノルムを持つシーケンス空間を形成します。任意のシーケンス空間は、点ごとの収束の位相を備えることもでき、その場合、 FK 空間と呼ばれる特別な種類のフレシェ空間になります。

体上の数列は、ベクトル空間内のベクトルとして見ることもできます。具体的には、 F値数列の集合( Fは体)は、自然数の集合上のF値関数の関数空間(実際は積空間)です。

抽象代数学では、群や環などの数学的オブジェクトのシーケンスを含む、いくつかの種類のシーケンスが使用されます。

Aが集合である場合、 A上の自由モノイド（A ^*と表記され、Aのクリーネスターとも呼ばれる）は、 Aのゼロ個以上の要素の有限シーケンス（または文字列）すべてと、連結の二項演算を含むモノイドです。自由半群A ^{+ は、空シーケンスを除くすべての要素を含む}A ^*の部分半群です。

群論の文脈では、シーケンス

${\displaystyle G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}}$

群と群準同型の は、各準同型 の像（または値域）が次の の 核に等しいとき、完全 と呼ばれます。

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

群と準同型のシーケンスは有限または無限のいずれかになります。

同様の定義は、他の代数構造に対しても行うことができます。たとえば、ベクトル空間と線型写像の正確な列、または加群と加群準同型の正確な列を持つことができます。

ホモロジー代数と代数的位相幾何学において、スペクトル列は逐次近似をとることでホモロジー群を計算する手段である。スペクトル列は完全列の一般化であり、ジャン・ルレー(1946) によって導入されて以来、特にホモトピー理論 において重要な研究ツールとなっている。

順序数付きシーケンスはシーケンスの一般化です。α が極限順序数でX が集合である場合、Xの要素の α インデックス付きシーケンスは α からXへの関数です。この用語では、ω インデックス付きシーケンスは通常のシーケンスです。

コンピュータサイエンスでは、有限のシーケンスはリストと呼ばれます。潜在的に無限のシーケンスはストリームと呼ばれます。文字または数字の有限のシーケンスは文字列と呼ばれます。

有限のアルファベットから抽出された数字(または文字)の無限シーケンスは、理論計算機科学において特に興味深いものです。これらは、有限の文字列とは対照的に、単にシーケンスまたはストリームと呼ばれることがよくあります。たとえば、無限バイナリ シーケンスは、ビット(アルファベット {0, 1} から抽出された文字) の無限シーケンスです。すべての無限バイナリ シーケンスの集合C = {0, 1} ^∞は、カントール空間と呼ばれることがあります。

無限バイナリシーケンスは、n番目の文字列（ショートレックス順）が言語内にある場合にのみ、シーケンスのn番目のビットを1に設定することで、形式言語（文字列の集合）を表すことができます。この表現は、 証明のため の対角化法で役立ちます。 ^[11]

• 列挙
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• 再帰関係
• シーケンス空間

オペレーション

• コーシー積

例

• 離散時間信号
• フェアリー数列
• フィボナッチ数列
• 見て言うシーケンス
• トゥー・モース数列
• 整数列のリスト

種類

• ±1シーケンス
• 等差数列
• 自動シーケンス
• コーシー数列
• 定数再帰シーケンス
• 等比数列
• ハーモニック進行
• ホロノミックシーケンス
• 通常のシーケンス
• 擬似ランダムバイナリシーケンス
• ランダムシーケンス

関連概念

• リスト（コンピューティング）
• ネット（トポロジー）（シーケンスの一般化）
• 序数インデックスシーケンス
• 再帰（コンピュータサイエンス）
• 集合（数学）
• タプル
• 順列

• 「シーケンス」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
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