四辺形

四辺形
四辺形の種類
エッジと頂点	4
シュレーフリ記号	{4} (正方形)
エリア	さまざまな方法（ 下記参照）
内角（度）	90°（正方形と長方形の場合）

幾何学において、 四辺形は 4 つの辺(辺) と 4 つの角(頂点)を持つ4 辺の多角形です。この単語は、ラテン語のfour の変形であるquadriと、「辺」を意味するlatusに由来しています。また、他の多角形 (例えば、五角形)に類似して、ギリシャ語の「4」を意味する「tetra」と「角」または「角度」を意味する「gon」に由来する、四角形とも呼ばれます。gon は「角度」を意味するため、類推的に四角形、または4 角形と呼ばれます。頂点、、を持つ四辺形はと表記されることもあります。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \square ABCD}$

四辺形は、単純（自己交差しない）または複雑（自己交差または交差する）のいずれかです。単純四辺形は、凸型または凹型のいずれかです。

単純な（平面の）四辺形ABCDの内角の合計は360度であり、^[1]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

これはn角形の内角の和の公式の特殊なケースである： S = ( n −2)×180°（ここではn=4）。^[2]

交差しない四辺形はすべて、辺の中点を中心に回転を繰り返すことで平面に敷き詰められる。 ^[3]

自己交差しない四辺形はすべて単純四辺形です。

凸四辺形の場合、すべての内角は 180° 未満であり、2 つの対角線は両方とも四辺形の内側にあります。

• 不規則な四辺形 (イギリス英語) または台形 (北米英語) : どの辺も平行ではありません。 (イギリス英語では、かつては台形と呼ばれていました。詳細については、台形 § 台形と台形を参照してください。)
• 台形(英国) または台形(米国): 少なくとも 1 組の反対側の辺が平行です。台形 (英国) と台形 (米国) には平行四辺形が含まれます。
• 二等辺台形(英国) または二等辺台形(米国): 1 組の向かい合う辺が平行で、底角の大きさが等しい。別の定義としては、1 組の向かい合う辺を二等分する対称軸を持つ四辺形、または対角線の長さが等しい台形などがあります。
• 平行四辺形: 2 組の平行な辺を持つ四辺形。同等の条件は、向かい合う辺の長さが等しいこと、向かい合う角度が等しいこと、または対角線が互いに二等分することです。平行四辺形には、菱形 (正方形と呼ばれる長方形を含む) と菱形 (長方形と呼ばれる長方形を含む) が含まれます。言い換えると、平行四辺形にはすべての菱形とすべての菱形が含まれ、したがってすべての長方形も含まれます。
• 菱形、ひし形: ^[1] 4辺の長さがすべて等しい（正三角形）。同等の条件は、対角線が互いに垂直に二等分することです。非公式には「倒した正方形」（ただし、厳密には正方形も含む）。
• 菱形: 隣接する辺の長さが等しくなく、一部の角度が斜めになっている（直角がない）平行四辺形。非公式には「倒した長方形」。すべての文献が一致しているわけではなく、菱形を菱形ではない平行四辺形と定義する文献もある。^[4]
• 長方形: 4 つの角がすべて直角 (等角) です。同等の条件は、対角線が互いに二等分され、長さが等しいことです。長方形には、正方形と長方形が含まれます。非公式には、「ボックスまたは長方形」(正方形を含む) と呼ばれます。
• 正方形(正四辺形): 4 つの辺の長さはすべて等しく (正四辺形)、4 つの角度はすべて直角です。同等の条件は、向かい合う辺が平行であること (正方形は平行四辺形)、および対角線が互いに垂直に二等分され、長さが等しいことです。四辺形が正方形であるのは、菱形と長方形の両方である場合 (つまり、4 つの辺と 4 つの角度が等しい場合) のみです。
• 長方形：幅より長い、または長さより幅が広い（つまり正方形ではない長方形）。^[5]
• 凧形: 2 組の隣接する辺の長さは等しい。これは、1 つの対角線が凧形を合同な三角形に分割し、2 組の等しい辺の間の角度が等しいことを意味します。また、対角線が垂直であることも意味します。凧形には菱形が含まれます。

• 接線四辺形: 4 つの辺が内接円に接します。凸四辺形は、向かい合う辺の和が等しい場合にのみ接線になります。
• 接線台形：4 辺が内接円に接する台形。
• 円周四辺形: 4 つの頂点が外接円上にあります。凸四辺形は、対角の合計が 180° になる場合にのみ円周四辺形になります。
• 直角凧: 向かい合う 2 つの直角を持つ凧。これは、環状四辺形の一種です。
• 調和四辺形: 向かい合う辺の長さの積が等しい循環四辺形。
• 双心四辺形: 接線と循環の両方の性質を持ちます。
• 直角対角四辺形：対角線が直角に交差します。
• 正対角四辺形: 対角線の長さが等しい。
• 二等分対角四辺形: 1 つの対角線が他の対角線を等しい長さで二等分します。すべてのダーツと凧は二等分対角です。両方の対角線が他の対角線を二等分すると、平行四辺形になります。
• 外接四辺形: 4 つの辺の延長線が外接円に接します。
• 正四辺形は、向かい合う 2 つの等しい辺を持ち、それらを延長すると 60° で交わります。
• ワット四辺形は、向かい合う２辺の長さが等しい四辺形である。^[6]
• 四角形は、4つの頂点がすべて正方形の周囲にある凸四角形です。^[7]
• 直径四辺形は、その辺の1つが外接円の直径となる円状の四辺形である。^[8]
• ヘルムスレーヴ四辺形は、反対の頂点に2つの直角を持つ四辺形である。^[9]

凹四辺形の場合、1 つの内角が 180° より大きく、2 つの対角線のうちの 1 つが四辺形の外側にあります。

• ダーツ（または矢じり）は、凧のように左右対称の凹四辺形ですが、 1 つの内角が反射角になっています。凧を参照してください。

交差四辺形は、交差四辺形、交差四辺形、蝶ネクタイ四辺形などさまざまな名前で呼ばれます。交差四辺形では、交差する両側の4つの「内角」（図形を描くときにすべて左側にある2つの鋭角と2つの屈折角、またはすべて右側にある）の合計は720°になります。^[10]

• 交差台形（米国）またはトラペジウム（英連邦）：^[11]隣接していない1組の辺が平行になっている交差四辺形（台形のように）。
• 逆平行四辺形: 隣接していない各辺の長さが等しい交差四辺形 (平行四辺形のように)。
• 交差長方形:長方形の 2 つの向かい合う辺と 2 つの対角線を辺とする逆平行四辺形。したがって、向かい合う辺が 1 組平行になります。
• 交差正方形: 2 つの辺が直角に交差する交差長方形の特殊なケース。

凸四辺形の2 つの対角線は、反対側の頂点を結ぶ線分です。

凸四辺形の2つの双中線は、反対側の辺の中点を結ぶ線分です。^[12]これらは四辺形の「頂点の重心」で交差します（以下の§凸四辺形の注目すべき点と線を参照）。

凸四辺形の4つの頂点は、ある辺の中点を通る垂線である。^[13]

辺a = AB、b = BC、c = CD、d = DAである凸四辺形ABCDの面積 Kに対する一般的な公式はいくつかあります。

この面積は三角法で次のように表される^[14]。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

ここで対角線の長さはpとqで、それらの間の角度はθです。^[15]直角対角四辺形（菱形、正方形、凧形など）の場合、θは90°なのでこの式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

この面積は、双中線で次のように表すこともできる^[16]。

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

ここで、二中線の長さはmとnであり、それらの間の角度はφです。

ブレトシュナイダーの公式^{[17] [14]}は、面積を辺と2つの対角で表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C )]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{整列}}}$

ここで、辺は順にa、b、c、dで、sは半周、AとCは 2 つの（実際には任意の）反対角です。これは、 A + C = 180°のとき、円周四辺形の面積に関するBrahmagupta の公式に帰着します。

辺と角度に関する別の面積公式は、角Cが辺bとcの間、角 A が辺aとd の間である場合、次のようになります。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

循環四辺形の場合、後者の式は${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

平行四辺形の場合、対辺と対角が等しいので、この式は次のようになる。${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

あるいは、 θが90°でない限り、対角線の交差角θと辺の長さで面積を表すこともできる。^[18]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

平行四辺形の場合、後者の式は${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

辺a、b、c、d^{を含む別の面積公式は[16]}である。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

ここで、xは対角線の中点間の距離、φ は二中線間の角度です。

最後の三角関数の面積公式は、辺a、b、c、dと角度α（aとbの間）を含む：^[19]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

これは、最初の記号+ を-に変更するだけで、凹四辺形（角度αの反対側に凹部分を持つ）の面積にも使用できます。

次の 2 つの式は、辺a、b、c、d、半周 s、対角線p、qに基づいて面積を表します。

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ ^[21]

最初の式は、 pq = ac + bdとなるため、巡回四辺形の場合の Brahmagupta の公式に簡約されます。

面積は、二中線m、nと対角線p、qで表すこともできます。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[22]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[23] : テマエ7}

実際、4つの値m、n、p、qのうちの3つは面積を決定するのに十分である。なぜなら、どの四辺形においても4つの値は^{[24]によって関係付けられるからである。p. 126}対応する式は次の通りである。^[25]${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

２つの二中線と１つの対角線の長さが与えられ、^[25]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

2 つの対角線の長さと 1 つの二重中線の長さが与えられている場合。

四辺形ABCDの面積はベクトルを使って計算できます。ベクトルACとBDがAからCへの対角線とBからDへの対角線を形成するとします。四辺形の面積は次のようになります。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

これはベクトルACとBDの外積の大きさの半分です。2 次元ユークリッド空間では、ベクトルAC を( x ₁ , y ₁ )に等しい直交空間の自由ベクトルとして、BD を( x ₂ , y ₂ )として表すと、これは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

次の表には、最も基本的な四辺形の対角線が互いに二等分されるか、それらの対角線が垂直であるか、およびそれらの対角線の長さが等しいかが記載されています。^[26]このリストは最も一般的なケースに適用され、名前の付いた部分集合は除外されています。

• 注 1: 最も一般的な台形と二等辺台形には直交する対角線はありませんが、直交する対角線を持ち、他の名前の付いた四辺形ではない台形と二等辺台形 (非相似) は無数に存在します。
• 注 2: 凧では、1 つの対角線が他の対角線を二等分します。最も一般的な凧は対角線の長さが等しくありませんが、対角線の長さが等しい (類似していない) 凧は無数に存在します (凧は他の名前の付いた四辺形ではありません)。

凸四辺形ABCDの対角線の長さは、四辺形の1つの対角線と2つの辺で形成される各三角形の 余弦定理を使用して計算できます。

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

そして

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

対角線の長さに関する他のより対称的な公式は^{[27]である。}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

そして

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

任意の凸四辺形ABCDにおいて、4 辺の平方の和は、2 つの対角線の平方の和に、対角線の中点を結ぶ線分の平方の 4 倍を加えた値に等しくなります。したがって、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

ここでxは対角線の中点間の距離である。^{[24] : p.126}これはオイラーの四辺形定理とも呼ばれ、平行四辺形の法則を一般化したものである。

ドイツの数学者カール・アントン・ブレッチュナイダーは1842年に、凸四辺形の対角線の積に関するプトレマイオスの定理の一般化を導き出した^[28]。

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

この関係は、四辺形の余弦定理と考えることができます。 A + C = 180°の円周四辺形の場合、この関係はpq = ac + bdに簡約されます。cos ( A + C ) ≥ −1 であるため、これはプトレマイオスの不等式の証明にもなります。  

XとYを、辺a = AB、b = BC、c = CD、d = DAの凸四辺形ABCDにおける対角線AC = pへのBとDからの法線の足とすると、^{[29] ：p.14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

凸四辺形ABCDにおいて、辺a = AB、b = BC、c = CD、d = DAで、対角線がEで交わる場合、

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

ここでe = AE、f = BE、g = CE、h = DEである。^[30]

凸四辺形の形状と大きさは、その辺の長さと、指定された2つの頂点間の対角線の長さによって完全に決まります。四辺形の2つの対角線p、qと4つの辺の長さa、b、c、dは、ケイリー・メンガー行列式によって次のように関係付けられています^[14]。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

凸四辺形の内角二等分線は、円周四辺形^{[24] : p.127}（つまり、隣接する角二等分線の4つの交点が同円である）を形成するか、またはそれらは共線である。後者の場合、四辺形は接線四辺形である。

四辺形ABCDにおいて、角Aと角Cの二等分線が対角線BDで交わる場合、角Bと角Dの二等分線は対角線ACで交わる。^[31]

四辺形の双中線は、対辺の中点を結ぶ線分である。双中線の交点は四辺形の頂点の重心である。 ^[14]

あらゆる四辺形（凸、凹、交差）の辺の中点は、ヴァリニョン平行四辺形と呼ばれる平行四辺形の頂点です。この平行四辺形には、次の特性があります。

• ヴァリニョン平行四辺形の向かい合う辺の各ペアは、元の四辺形の対角線と平行です。
• ヴァリニョン平行四辺形の辺の長さは、それが平行する元の四辺形の対角線の長さの半分です。
• ヴァリニョン平行四辺形の面積は、元の四辺形の面積の半分に等しい。これは、凸四辺形、凹四辺形、交差四辺形の場合にも当てはまる。ただし、交差四辺形の面積は、その四辺形を構成する2つの三角形の面積の差として定義される。^[32]
• ヴァリニョン平行四辺形の周囲は、元の四辺形の対角線の合計に等しくなります。
• ヴァリニョン平行四辺形の対角線は、元の四辺形の二中線です。

四辺形の２つの二中線とその四辺形の対角線の中点を結ぶ線分は交わり、交点で二等分される。^{[24] : p.125}

辺がa、b、c、dの凸四辺形において、辺aとcの中点を結ぶ二中線の長さは

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

ここでpとqは対角線の長さである。^[33]辺bとdの中点を結ぶ二中線の長さは

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

したがって^{[24] ：p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

これは、ヴァリニヨン平行四辺形に適用される 平行四辺形の法則の帰結でもあります。

双中線の長さは、2つの対辺と対角線の中点間の距離xで表すこともできる。これは、上記の式でオイラーの四辺形定理を使用すると可能になる。 ^[23]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

そして

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

これらの式の 2 つの対辺は、双中線が結ぶ 2 辺ではないことに注意してください。

凸四辺形においては、二中線と対角線の間に次のような二重の関係がある。 ^[29]

• 2 つの対角線が垂直である場合にのみ、 2 つの双中線の長さは等しくなります。
• 2 つの対角線の長さが等しい場合にのみ、2 つの双中線は直交します。

単純な四辺形ABCDの4つの角は次の等式を満たす: ^[34]

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)}$

そして

${\displaystyle {\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.}$

また、^[35]

${\displaystyle {\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

最後の 2 つの式では、 tan 90° が定義されていないため、 どの角度も直角になることはできません。

、、を凸四辺形の辺とし、を半周とし、 およびを対角とすると、^[36]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)}$

そして

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)}$。

これらの等式を使用して、Bretschneider の公式を導出できます。

凸四辺形が連続する辺a、b、c、dと対角線p、qを持つ場合、その面積Kは^[37]を満たす。

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$長方形の場合のみ等式が適用されます。

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$正方形の場合のみ等式が適用されます。

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$対角線が垂直かつ等しい場合にのみ等しくなります。

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$長方形の場合のみ等しくなります。^[16]

ブレトシュナイダーの公式から、四辺形の面積は

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

等式となるのは、四辺形が巡回または退化していて、1 辺が他の 3 辺の合計に等しい場合 (線分に縮退しているため、面積は 0 である) に限ります。

また、

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},}$

二心四辺形または長方形 の場合も同様です。

任意の四角形の面積も不等式を満たす^[38]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

周囲をLとすると、^{[38] : p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

正方形の場合のみ等しくなります。

凸四辺形の面積も

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

対角線の長さpとqについて、対角線が垂直である場合にのみ等しくなります。

面積K、対角線AC = p、BD = qの凸四辺形ABCDの各辺の長さをa、b、c、dとする。すると^[39]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$正方形の場合のみ等しくなります。

面積Kの凸四辺形ABCDの各辺の長さをa、b、c、dとすると、次の不等式が成り立つ。^[40]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$正方形の場合のみ等しくなります。

オイラーの四辺形定理の帰結は不等式である。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

ここで、等式は四辺形が平行四辺形である場合にのみ成立します。

オイラーはまた、円周四辺形における等式であるプトレマイオスの定理を凸四辺形における不等式に一般化した。それは次のように述べている。

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

ここで、四辺形が巡回している場合にのみ等式が成立する。 ^{[24] : p.128–129}これはしばしばプトレマイオスの不等式と呼ばれる。

任意の凸四辺形において、二中線m、nと対角線p、qは不等式で関係付けられる。

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

対角線が等しい場合に限り、等式が成立する。^{[41] : 命題1}これは四辺形の恒等式から直接導かれる。${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

任意の四辺形の辺a、b、c、dは^{[42] ：p.228、#275 を満たす。}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

そして^{[42] ：p.234、#466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$

与えられた周長を持つすべての四辺形の中で、面積が最大となるのは正方形である。これは四辺形の等周定理と呼ばれる。これは面積不等式^[38]の直接的な帰結である^{: p.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

ここで、K は周囲がLの凸四辺形の面積です。等式は、四辺形が正方形の場合にのみ成立します。双対定理は、与えられた面積を持つすべての四辺形の中で、正方形の周囲が最も短いことを述べています。

与えられた辺の長さを持つ四辺形の中で面積が最大となるものは、円周四辺形である。^[43]

与えられた対角線を持つすべての凸四辺形の中で、直交対角四辺形は面積が最大である。^{[38] : p.119}これは、凸四辺形の面積が次式を満たすという事実から直接導かれる結果である。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

ここで、θ は対角線pとq の間の角度です。等式はθ = 90° の場合にのみ成立します。

Pが凸四辺形ABCDの内点である場合、

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

この不等式から、四辺形の内部で頂点までの距離の合計を最小にする点は対角線の交点であることがわかります。したがって、その点は凸四辺形のフェルマー点です。 ^{[44] : p.120}

四辺形の中心は、いくつかの異なる方法で定義できます。「頂点の重心」は、四辺形が空であるが、頂点の質量が等しいと見なすことから来ます。「辺の重心」は、辺の長さあたりの質量が一定であると見なすことから来ます。通常の中心は、単に重心(面積の中心) と呼ばれ、四辺形の表面の密度が一定であると見なすことから来ます。これらの 3 つの点は、一般的にすべて同じ点ではありません。^[45]

「頂点の重心」は、2つの双中線の交点です。^[46]他の多角形と同様に、頂点の重心のx座標とy座標は、頂点の x座標とy座標の算術平均です。

四辺形ABCDの「面積の重心」は次のように作図できる。G a、G _b、G _c、G _dをそれぞれ三角形BCD、ACD、ABD、ABCの重心とする。すると、「面積の重心」は線分G _a G _cと線分G _b G _dの交点となる。^[47]

一般的な凸四辺形ABCDには、三角形の外心や垂心と自然に類似するものはありません。しかし、そのような 2 点は次のようにして作図できます。三角形BCD、ACD、ABD、ABCの外心をそれぞれO _a、O _b、O _c、O _dとし、同じ三角形の垂心をH _a、H _b、H _c、H _dで表します。すると、直線O _a O _cとO _b O _dの交点は準外心と呼ばれ、直線H _a H _cとH _b H _dの交点は凸四辺形の準垂心と呼ばれます。 ^{[47]これらの点を使用して、四辺形の}オイラー線を定義できます。凸四辺形においては、準直交心H、面積重心G、準外心Oがこの順序で一直線上にあり、HG = 2 GOである。^[47]

準点中心 Eは、直線E _a E _cとE _b E _dの交点として定義することもできます。ここで、E _a、E _b、E _c、E _dは、それぞれ三角形BCD、ACD、ABD、ABCの9点中心です。この場合、E はOHの中点です。^[47]

凸非平行四辺形四辺形におけるもう一つの注目すべき線はニュートン線で、これは対角線の中点を結び、これらの点を結ぶ線分は頂点の重心によって二等分される。もう一つの興味深い線（ある意味ではニュートンの線と双対）は、対角線の交点と頂点の重心を結ぶ線分である。この線は（面積の）重心を含んでいるという点で注目に値する。頂点の重心は、対角線の交点と（面積の）重心を結ぶ線分を 3:1 の比率で分割する。^[48]

ADとBC 、 ABとCDの交点をそれぞれ点P、Qとする任意の四辺形ABCDについて、円(PAB)、(PCD)、(QAD)、 ( QBC)は共通点Mを通り、ミケル点と呼ばれる。^[49]

凸四辺形ABCDにおいて、Eは対角線の交点、F は辺BCとADの延長線の交点である。 ω はEとF を通り、 CBとはMで内部的に交わり、 DAとはNで内部的に交わる円とする。CA は再び ωとLで交わり、DB は再び ω とKで交わる。すると、次のことが成立する。直線NKとML は辺ABにある点Pで交わる。直線NLとKM は辺CDにある点Qで交わる。点PとQ は、円 ω が辺ABとCD上に形成する「パスカル点」と呼ばれる。 ^{[50] [51] [52]}

• 四辺形のすべての辺に外側の正方形を描きます。向かい合う正方形の中心を結ぶ線分は、(a) 長さが等しく、(b)垂直です。したがって、これらの中心は直交四辺形の頂点です。これはVan Aubel の定理と呼ばれます。
• 与えられた辺の長さを持つ任意の単純四辺形には、同じ辺の長さを持つ循環四辺形が存在する。 ^[43]
• 凸四辺形の対角線と辺によって形成される4つの小さな三角形は、向かい合う2つの三角形の面積の積が他の2つの三角形の面積の積に等しいという性質を持っています。^[53]
• 対角線の交点の角度は、四辺形の対角線がどこにあるかを満たす。 ^[54]${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2pq}},}$$${\displaystyle p,q}$

四辺形の階層的分類は、右の図に示されています。下位クラスは、それと接続している上位クラスの特殊なケースです。ここでの「台形」は、北米の定義 (イギリスの定義はトラペジウム) を指していることに注意してください。全体を通じて包括的な定義が使用されています。

非平面四辺形は、斜め四辺形と呼ばれます。辺の長さと2つの隣接する辺の間の角度から二面角を計算する公式は、4つの原子の「しわ」のある環を含むシクロブタンなどの分子の特性に関する研究のために導き出されました。 ^{[55]歴史的には、}ゴーシュ四辺形という用語は、斜め四辺形を意味するためにも使用されていました。^[56]斜め四辺形は、その対角線と一緒に（おそらく非正則な）四面体を形成し、逆に、すべての斜め四辺形は、向かい合う辺のペアが削除された四面体から作成されます。

• 完全な四角形
• 四辺形の垂直二等分線の作成
• サッケリ四辺形
• メッシュの種類 § 四辺形
• 四角形（地理）
• ホモグラフィ- 任意の四辺形は射影変換（ホモグラフィ）によって別の四辺形に変換できます。

• 「四角形、完全版」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 垂直二等分線で形成される四辺形、射影共線性、および結び目カットからの四辺形のインタラクティブな分類
• Mathopenref の四辺形の定義と例、四角形の定義と特性
• ダイナミックジオメトリスケッチの（動的な）階層型四辺形ツリー
• 四辺形の拡張分類 2019-12-30にWayback MachineでアーカイブDynamic Math Learning Homepage 2018-08-25にWayback Machineでアーカイブ
• マイケル・デ・ヴィリアーズによる四辺形の階層的分類の役割と機能