中山の補題

数学、より具体的には抽象代数学と可換代数学において、中山の補題はクルル-東谷定理^[1]としても知られ、環（典型的には可換環）のヤコブソン根号とその有限生成加群との間の相互作用を規定する。非公式には、補題は可換環上の有限生成加群が体上のベクトル空間のように振舞うという正確な意味を直ちに与える。これは代数幾何学において重要なツールであり、局所環上の加群の形で代数多様体上の局所データを環の剰余体上のベクトル空間として点ごとに調べることができる。

この補題は日本の数学者中山正にちなんで名付けられ、現在の形は中山 (1951) によって導入されたが、最初に可換環のイデアルの特殊なケースでヴォルフガング・クルルによって発見され、次に一般には東谷五朗(1951) によって発見された。^[2]可換の場合、補題はマイケル・アティヤ(1969)によってなされた観察であるケイリー・ハミルトン定理の一般化された形式の単純な帰結である。右イデアルに対する補題の非可換バージョンの特殊なケースはネイサン・ヤコブソン(1945) に現れており、そのため非可換中山の補題はヤコブソン・東谷定理と呼ばれることもある。^[1]後者はヤコブソン根基の理論でさまざまな応用がある。^[3]

を恒等式 1 を持つ可換環とします。以下は松村 (1989) で述べられている中山の補題です。 ${\displaystyle R}$

ステートメント 1 :を のイデアルとし、上の有限生成モジュールとします。 の場合、となるが存在する。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle IM=M}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$${\displaystyle rM=0}$

これは以下で証明されます。中山の補題の便利な記憶法は「」です。これは次の代替定式化を要約したものです。 ${\displaystyle IM=M\implies im=m}$

ステートメント 2 :を のイデアルとし、上の有限生成モジュールとします。 の場合、すべての に対してとなる が存在します。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle IM=M}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle im=m}$${\displaystyle m\in M}$

証明：声明1を取り上げます。${\displaystyle i=1-r}$

次の系は中山の補題としても知られており、この形で最も頻繁に現れる。^[4]

ステートメント 3 : が上の有限生成モジュールである場合、はのJacobson 根号、 である場合、 となります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle J(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle J(R)M=M}$${\displaystyle M=0}$

証明: (ステートメント 1 と同様に) は Jacobson 根号内にあるため、逆関数です。${\displaystyle 1-r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

より一般的には、が有限生成の場合、はの余分なサブモジュールになります。 ${\displaystyle J(R)M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ステートメント 4 : が上の有限生成モジュールであり、が のサブモジュールであり、=である場合、=です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N+J(R)M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

証明: ステートメント 3 を に適用します。${\displaystyle M/N}$

次の結果は中山の補題を生成子の観点から表現したものである。^[5]

ステートメント 5 :が 上の有限生成モジュールであり、 の元₁ ,...,の像が-モジュールとして生成される場合、1 _, ...,も-モジュールとして生成されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$_{${\displaystyle n}$}${\displaystyle M}$${\displaystyle M/J(R)M}$${\displaystyle M/J(R)M}$${\displaystyle R/J(R)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$_{${\displaystyle n}$}${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

証明: ステートメント 4 を に適用します。${\displaystyle \textstyle {N=\sum _{i}Rm_{i}}}$

が完全で、のイデアルの -進位相に関して分離していると仮定すると、 の代わりにを置き、 が有限生成であるとあらかじめ仮定しなくても、この最後のステートメントは成立します。^[6] ここで分離とは、-進位相がT ₁分離公理を満たし、${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J(R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0.}}$

最大イデアルを持つ局所環上の有限生成モジュールの特殊なケースでは、商は体 上のベクトル空間です。ステートメント 5 は、 の基底が の生成元の最小集合に持ち上がることを意味します。逆に、 の生成元のすべての最小集合はこのようにして得られ、そのような生成元の任意の 2 つの集合は、環の要素を持つ 可逆行列によって関連付けられます。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

この形式で、中山の補題は具体的な幾何学的意味を帯びる。局所環は、点における関数の芽として幾何学で生じる。局所環上の有限生成加群は、ベクトル束の切断の芽として生じることが多い。点ではなく芽のレベルで作業すると、有限次元ベクトル束 の概念は、連接層の概念に取って代わられる。非公式には、中山の補題は、連接層をある意味でベクトル束 から生じるものと見なすことができる、というものである。より正確には、 を任意のスキーム上の -加群の連接層とする。点 におけるの茎( で示される) は局所環 上の加群であり、におけるのファイバーはベクトル空間 である。中山の補題は、ファイバー の基底が の生成元の最小集合に持ち上がることを意味している。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,p},{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\mathcal {M}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$

• ある点におけるコヒーレント層のファイバーの任意の基底は、局所断面の最小基底から得られます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

これを幾何学的に再定式化すると、 がベクトル束 を表す局所自由 - モジュールである場合、スキーム 内の点におけるベクトル束の基底をとると、この基底は点の近傍におけるベクトル束の切断の基底に持ち上げられる。このデータを図式的に整理することができる。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E|_{p}&\to &E|_{U}&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\p&\to &U&\to &X\end{matrix}}}$

ここで はn 次元ベクトル空間であり、 の基底(バンドル の切断の基底) はのある近傍の切断の基底に持ち上げることができると言えます。 ${\displaystyle E|_{p}}$${\displaystyle E|_{p}}$${\displaystyle E_{p}\to p}$${\displaystyle E|_{U}\to U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

上昇定理は本質的には中山の補題の系である。^[7] それは次のように主張する。

• を可換環の整拡大、を の素イデアルとします。すると、となる素イデアルが存在します。さらに、となる任意のの素数を含むように を選ぶことができます。${\displaystyle R\hookrightarrow S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap R={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cap R\subset {\mathfrak {p}}}$

中山の補題は、可換環上の有限生成加群が体上のベクトル空間に似ているという一つの意味を明確に示しています。中山の補題の次の帰結は、これが真である別の意味を示しています。

• が有限生成- 加群であり、が全射自己準同型である場合、は同型である。^[8]${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle f}$

局所環上では、加群のエピモーフィズムについてさらに詳しく述べることができる: ^[9]

• が最大イデアル を持つ局所環であり、が有限生成 - 加群であるとします。が商が射影的であるような -線型写像である場合、 は射影的です。${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle M,N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi :M\to N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi _{\mathfrak {m}}:M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N}$${\displaystyle \phi }$

中山の補題はホモロジー代数にもいくつかのバージョンがある。エピモーフィズムに関する上記の記述は以下を示すために使用できる。^[9]

• を局所環上の有限生成加群とします。 が射影的であるためには、 が自由である必要があります。 これを使用して、任意の局所環のGrothendieck 群をとして計算できます。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K(R)=\mathbb {Z} }$

これの幾何学的かつ大域的な対応物は、射影加群と連接層を関連付ける セール・スワン定理です。

より一般的には、^[10]

• を局所環とし、上の有限生成加群とする。このとき、上のの射影次元はのすべての極小自由分解の長さに等しい。さらに、射影次元は の大域次元に等しく、これは定義により、${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.}$

ここで はの剰余体であり、 はtor 関数です。${\displaystyle k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Tor}}}$

中山の補題は代数幾何学における逆関数定理の一種を証明するために使用されます。

• を準射影多様体間の射影射影とする。すると が同型となるのは、 が全単射であり、かつ の微分がすべての に対して単射となるときのみである。^[11]${\textstyle f:X\to Y}$${\textstyle f}$ ${\textstyle df_{p}}$${\displaystyle p\in X}$

中山補題の標準的な証明では、アティヤとマクドナルド（1969）による以下の手法が用いられる。^[12]

• M をn個の元によって生成されるR加群とし、 φ:  M  →  M をR線型写像とする。 RのイデアルIが存在して φ( M ) ⊂  IMとなる場合、モニック多項式が存在する。

${\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}}$

p _k  ∈  I ^kであり、

${\displaystyle p(\varphi )=0}$

Mの準同型として。

この主張はまさにケーリー・ハミルトン定理の一般化版であり、証明も同様の手順で進む。Mの生成元x _iには、次のような関係がある。

${\displaystyle \varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$

ここでa _ij  ∈  Iである。したがって

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0.}$

必要な結果は、行列の加法(φδ _ij  −  a _ij )を掛けてクラメールの規則を適用することで得られます。するとdet(φδ _ij  −  a _ij ) = 0となるので、必要な多項式は次のようになります。

${\displaystyle p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij}).}$

ケイリー・ハミルトン定理から中山の補題を証明するには、IM  =  Mとし、 φ をM上の単位元とします。次に、上記のように多項式p ( x ) を定義します。すると、

${\displaystyle r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$

必須のプロパティとがあります。 ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$${\displaystyle rM=0}$

この補題のバージョンは非可換単 位環 R上の右加群に対しても成り立つ。結果として得られる定理はヤコブソン・アズマヤ定理と呼ばれることもある。^[13]

J( R ) をRのヤコブソン根号とする。U が環R上の右加群で、I がRの右イデアルである場合、U · I をu · i の形式の元のすべての（有限）和の集合と定義する。ここで· は単にRのUへの作用である。必然的に、U · IはUのサブ加群である。

V がUの極大部分加群であれば、U / Vは単純である。したがって、 J( R )の定義とU / Vが単純であるという事実により、 U · J( R ) は必然的にVの部分集合となる。^[14]したがって、U が少なくとも 1 つの (適切な) 極大部分加群を含む場合、U · J( R ) はUの適切な部分加群である。しかし、これはR上の任意の加群Uに対して成立する必要はない。なぜなら、U は極大部分加群を含む必要がないからである。 ^[15]当然、U がノイザン加群であれば、これは成立する。Rがノイザンであり、Uが有限生成であれば、UはR上のノイザン加群であり、結論は満たされる。^[16]いくぶん注目すべきは、より弱い仮定、すなわちUがR加群として有限生成であること (およびRに対する有限性仮定なし) が結​​論を保証するのに十分であるということである。これは本質的に中山の補題の主張である。^[17]

正確には、次のようになります。

中山の補題：Uを（単位）環R上の有限生成右加群とする。Uが非零加群ならば、 U · J ( R )はUの真部分加群である。^[17]

を の有限部分集合とし、 が を生成するという性質に関して最小とします。はゼロでないため、この集合は空ではありません。 のすべての要素を について で表します。はを生成するため、です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U}$

と仮定すると、矛盾が生じます。この場合、すべての要素は、何らかの に対する有限の組み合わせとして表現できます。 ${\displaystyle U\cdot \operatorname {J} (R)=U}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle u=\sum \limits _{s=1}^{m}u_{s}j_{s}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,\,u_{s}\in U,\,j_{s}\in \operatorname {J} (R),\,s=1,\dots ,m}$

それぞれは、さらに分解すると、ある についてとなる。したがって、 ${\displaystyle u_{s}}$${\displaystyle u_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}}$${\displaystyle r_{i,s}\in R}$

${\displaystyle u=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}\right)j_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)}$。

は における（両側）イデアルなので、任意の に対してが成り立ち、したがってこれは次のようになる。 ${\displaystyle \operatorname {J} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\in \operatorname {J} (R)}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}k_{i}}$一部の人にとっては、.${\displaystyle k_{i}\in \operatorname {J} (R)}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

分配法則を適用すれば、次の式が得られる。 ${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})=0}$。

いくつかの を選びます。右イデアルが適切な場合、それは最大右イデアルに含まれ、 と は両方ともに属し、矛盾が生じます (ヤコブソン根基の定義により となることに注意してください)。したがって、 と はにおいて右逆元を持ちます。 ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle (1-k_{j})R}$${\displaystyle M\neq R}$${\displaystyle 1-k_{j}}$${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {J} (R)\subseteq M}$${\displaystyle (1-k_{j})R=R}$${\displaystyle 1-k_{j}}$${\displaystyle (1-k_{j})^{-1}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=0}$。

したがって、

${\displaystyle \sum _{i\neq j}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=-x_{j}}$。

したがって、はの要素の線形結合である。これはの最小性と矛盾し、結果が成立する。^[18]${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle X\setminus \{x_{j}\}}$${\displaystyle X}$

中山の補題には次数付きバージョンもあります。Rを非負整数の順序付き半群によって次数付けされる環とし、を正に次数付けされた元によって生成されるイデアルとします。すると、MがR上の次数付き加群であり、 i が十分に負である場合（特に、Mが有限生成であり、R が負の次数の元を含まない場合）、 となる場合、となります。特に重要なのは、R が標準の次数付けを持つ多項式環であり、Mが有限生成加群である場合です。 ${\displaystyle R_{+}}$${\displaystyle M_{i}=0}$${\displaystyle R_{+}M=M}$${\displaystyle M=0}$

証明は、次数付けされていない場合よりもずっと簡単です。iを となる最小の整数とすると、は に現れないことがわかります。したがって、 、あるいはそのようなi は存在しません。つまり、 です。 ${\displaystyle M_{i}\neq 0}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle R_{+}M}$${\displaystyle M\neq R_{+}M}$${\displaystyle M=0}$

• モジュール理論
• セール・スワン定理

• アティヤ、マイケル F. ;マクドナルド、イアン G. (1969)、可換代数入門、マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェズリー。
• 東谷五郎(1951)「最大中心代数について」 名古屋数学雑誌、2 :119-150、doi : 10.1017/s0027763000010114、ISSN0027-7630  、MR0040287。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、vol. 150、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、doi：10.1002 / 9781118032527、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523
• ハーツホーン、ロビン(1977)、「代数幾何学」、大学院数学テキスト、第 52 巻、Springer-Verlag。
• アイザックス、I. マーティン (1993)、代数学、大学院課程(第 1 版)、ブルックス/コール出版、ISBN 0-534-19002-2
• ジェイコブソン、ネイサン(1945)、「任意の環の根号と半単純性」、アメリカ数学誌、67 (2): 300–320、doi :10.2307/2371731、ISSN  0002-9327、JSTOR  2371731、MR  0012271。
• 松村秀之（1989）「可換環論」、ケンブリッジ高等数学研究第8巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6、MR  1011461。
• 永田正義(1975)、ローカルリング、ロバート E. クリーガー出版社、ニューヨーク州ハンティントン、ISBN 978-0-88275-228-0、MR  0460307。
• 中山 忠 (1951)、「有限生成加群に関する一考察」、名古屋数学雑誌、3 : 139–140、doi : 10.1017/s0027763000012265、ISSN  0027-7630、MR  0043770。

• 中山の補題とその系を理解する方法