デュアルカーブ

射影幾何学において、与えられた平面曲線Cの双対曲線は、 Cに接する直線の集合からなる双対射影平面内の曲線です。曲線からその双対への写像があり、各点をその接線の双対点に写します。 Cが代数的であればその双対も代数的で、双対の次数は元の曲線の類として知られています。直線座標で与えられたCの双対の方程式は、 Cの接線方程式として知られています。双対性は反転です。つまり、 Cの双対の双対は元の曲線Cです。

双対曲線の構築は、ハミルトン力学の文脈におけるルジャンドル変換の幾何学的基礎となる。^[1]

f ( x , y , z ) = 0を射影平面上の同次座標における曲線の方程式とします。Xx + Yy + Zz = 0 を直線の方程式とし、( X , Y , Z )を双対射影平面における直線座標とします。直線が曲線に接するという条件は、曲線の接線方程式である F ( X , Y , Z ) = 0の形式で表すことができます。

曲線上の 点( p , q , r )における接線は次のように表される。

${\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r)+y{\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r)+z{\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r)=0.}$

したがって、Xx + Yy + Zz = 0は曲線の接線であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r),\\Y&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r),\\Z&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r).\end{aligned}}}$

これらの方程式からp、q、r、λ を消去し、 Xp + Yq + Zr = 0を加えると、双対曲線の X、Y、Zにおける方程式が得られます。

例えば、円錐曲線C をax ² + by ² + cz ² = 0とします。双対は、方程式から p、q、r、およびλ を消去することによって求められます。

${\displaystyle {\begin{array}{c}X=2\lambda ap,\ \ Y=2\lambda bq,\ \ Z=2\lambda cr,\\Xp+Yq+Zr=0.\end{array}}}$

最初の3つの式はp、q、rについて簡単に解くことができ、最後の式に代入すると次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{2\lambda a}}+{\frac {Y^{2}}{2\lambda b}}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}}=0.}$

分母から2λを消すと、双対方程式は

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a}}+{\frac {Y^{2}}{b}}+{\frac {Z^{2}}{c}}=0。 }$

射影座標でパラメトリックに定義された曲線 を考えます。その射影接線は接点と接ベクトルで張られる線形平面であり、線形方程式の係数は外積で与えられます。${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t)),}$${\displaystyle (x,y,z)=(x(t),y(t),1)}$

${\displaystyle (X,Y,Z)=(x,y,1)\times (x',y',0)=(-y',x',xy'-yx'),}$

アフィン座標では次のようになります。 ${\displaystyle (X,Y,1)}$

${\displaystyle X={\frac {-y'}{xy'-yx'}},\quad Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}.}$

変曲点の双対は尖点を生じ、同じ接線を共有する 2 つの点は双対上で自己交差点を生じます。

射影的記述から、双対の双対を計算することができます。

${\displaystyle (x(x'y''-y'x''),\,y(x'y''-y'x''),\,x'y''-y'x'') =(x,\,y,\,1)(x'y''-y'x''),}$

これは元の曲線と射影的に同値です。 ${\displaystyle (x(t),y(t),1)}$

元の曲線の特性は、デュアル曲線のデュアル特性に対応します。概要画像では、赤い曲線に 3 つの特異点があります。中央にノード、右下と左下に 2 つの尖点です。黒い曲線には特異点はありませんが、4 つの区別できる点があります。最上部の 2 つの点はノード (二重点) に対応します。どちらも同じ接線を持つため、デュアル曲線の同じ点にマップされます。一方、2 つの変曲点は尖点に対応します。接線が最初に一方向に進み、次に他の方向に進む (傾斜が増加、次に減少) ためです。

対照的に、滑らかな凸曲線では、接線の角度は単調に変化し、結果として得られる双曲線も滑らかで凸になります。

さらに、上記の両方の曲線は反射対称性を持っています。射影双対性は射影空間の対称性を保存するので、双対曲線は同じ対称群を持ちます。この場合、両方の対称性は左右の反射として実現されます。これは、空間と双対空間がどのように識別されたかによる結果です。一般に、これらは異なる空間の対称性です。

X が平面代数曲線である場合、双対の次数は、双対平面の直線との交点の数です。双対平面の直線は平面の点に対応するため、双対の次数は、与えられた点を通って引くことができるXへの接線の数です。これらの接線が曲線に接する点は、与えられた点に対する曲線と極曲線との交点です。曲線の次数がdである場合、極の次数はd − 1であるため、与えられた点を通って引くことができる接線の数は最大でd ( d − 1)です。

直線の双対 (次数 1 の曲線) は例外であり、双対空間内の点 (つまり元の直線) として扱われます。単一点の双対は、その点を通る直線の集合として扱われ、これにより元の点に対応する双対空間内の直線が形成されます。

Xが滑らか (特異点なし)な場合、 Xの双対は最大次数d ( d − 1)を持ちます。これは、円錐曲線の双対も円錐曲線であることを意味します。幾何学的には、円錐曲線からその双対への写像は1 対 1であり(円錐曲線の 2 点に接する線はないため、そのためには次数 4 が必要です)、接線は滑らかに変化します (曲線は凸型であるため、接線の傾きは単調に変化します。双対の尖端には元の曲線の変曲点が必要であり、次数 3 が必要です)。

特異点を持つ曲線の場合、これらの点は曲線とその極の交点上にもあり、これにより可能な接線の数が減ります。Plückerの公式は、dに関する双対の次数と、 Xの特異点の数とタイプを示します。

双対は、平面上の軌跡として極逆数の形で視覚化できます。これは、曲線Cの接線の極の軌跡として固定された円錐Q を基準にして定義されます。^[2]円錐Q はほぼ常に円と見なされるため、極逆数はCのペダルの逆数です。

同様に、より高次元に一般化すると、超曲面が与えられた場合、各点における接空間は超平面の族を与え、したがって双対空間内の双対超曲面を定義します。射影空間内の任意の閉部分多様体Xに対して、 Xのある点に接するすべての超平面の集合は、射影空間の双対の閉部分多様体であり、Xの双対多様体と呼ばれます。

例

• Xが同次多項式F ( x ₀ , ..., x _n )で定義される超曲面である場合、 Xの双対多様体は勾配写像によるXの像である。

${\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto \left({\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x)\right)}$

これは双対射影空間に収まります。

• 点（a ₀  : ... : a _n）の双対多様体は超平面である。

${\displaystyle a_{0}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{n}=0.}$

双対曲線の構築は、曲線が区分的に線形または区分的に微分可能である場合でも機能しますが、結果のマップは退化します (線形コンポーネントがある場合) または定義が不明確になります (特異点がある場合)。

多角形の場合、各辺上のすべてのポイントは同じ接線を共有し、したがって双対の同じ頂点にマッピングされますが、頂点の接線は明確に定義されておらず、2 つの辺の間の角度で頂点を通過するすべての線として解釈できます。これは、射影双対性 (線は点にマッピングされ、点は線にマッピングされる) と、線形要素のない滑らかな曲線の制限の両方と一致します。曲線が辺に対して平らになると、その接線はより近い点にマッピングされ、曲線が頂点に対して鋭くなると、その接線はより離れます。

より一般的には、任意の凸多面体または円錐には多面体双対があり、境界超曲面Hを持つ任意の凸集合Xには、境界が双対多様体H*である凸共役X*があります。

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• アーノルド、ウラジミール・イゴレヴィッチ（1988）、常微分方程式の理論における幾何学的手法、シュプリンガー、ISBN 3-540-96649-8
• ヒルトン、ハロルド (1920)、「第 4 章: 接線方程式と極座標の相互変換」、平面代数曲線、オックスフォード
• フルトン、ウィリアム（1998）、交差理論、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-62046-4
• ウォーカー、RJ（1950）、代数曲線、プリンストン
• ブリースコルン、E. Knorrer, H. (1986)、Plane Algebraic Curves、Birkhäuser、ISBN 978-3-7643-1769-0