逆関数の規則

微積分学において、逆関数の法則は、全単射かつ微分可能な関数fの逆関数の導関数をfの導関数で表す公式である。より正確には、 の逆関数が と表され、 の場合に限り、 のとき、逆関数の法則はラグランジュの表記法で次のように表される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}$。

この式は、 が区間I上で連続かつ単射であり、 が( )で微分可能であり、 である場合に一般に成立する。同じ式は、次の式とも等価である。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(a)}$${\displaystyle \in I}$${\displaystyle f'(f^{-1}(a))\neq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}$

ここで、 は単項微分演算子（関数の空間上）を表し、 は関数の合成を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \circ }$

幾何学的には、関数と逆関数は直線上で反射となるグラフを持ちます。この反射操作により、任意の直線の勾配がその逆数になります。^[1]${\displaystyle y=x}$

の近傍に逆関数があり、その点におけるその導関数がゼロでないと仮定すると、その逆関数は で微分可能であり、上記の式で与えられる導関数を持つことが保証されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

逆関数の規則はライプニッツの記法でも表現できる。この記法が示唆するように、

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

この関係は、方程式をxについて微分し、連鎖律を適用することによって得られ、次のようになります。 ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

xのxに関する導関数は1 であることを考慮する。

を可逆（全単射）関数とし、をの定義域内に、をの余定義域内にします。f は全単射関数なので、の範囲にあります。これはまた、が の定義域内にあり、が の余定義域内にあることも意味します。は可逆関数なので、 であることがわかります。逆関数の規則は、この式の導関数を取ることで得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}f(f^{-1}(y))={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}y}$

右側は 1 に等しく、左側には連鎖律を適用できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm {d} y}}&=1\\{\dfrac {\mathrm {d} f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}}{\dfrac {\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=1\\f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime }(y)&=1\end{aligned}}}$

並べ替えると

${\displaystyle (f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}}$

を変数として使う代わりに、を入力としてこの式を書き直すと、次のようになります。^[2]${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle (f^{-1})^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(a)\right)}}}$

• ${\displaystyle y=x^{2}}$(正のxに対して) 逆関数 が存在します。${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

しかし、では問題があります。平方根関数のグラフは垂直になり、平方関数の水平接線に対応します。 ${\displaystyle x=0}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$(実数xの場合)は逆数(正の値の場合)を持つ${\displaystyle x=\ln {y}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.}$

• この関係を統合すると

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.}$

これは積分が存在する場合にのみ役立ちます。特に、積分範囲全体にわたってゼロ以外である必要があります。${\displaystyle f'(x)}$

したがって、連続的な導関数を持つ関数は、導関数がゼロでないすべての点の近傍に逆関数を持つことになります。導関数が連続していない場合は、必ずしもこの限りではありません。

• もう一つの非常に興味深く便利なプロパティは次のとおりです。

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

ここで はの不定積分を表します。${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

• f(x)の微分の逆関数も興味深いもので、ルジャンドル変換の凸性を示すのに使われます。

と仮定すると、次のようになります。 これは、前の表記法を使用して示すことができます。すると、次のようになります。 ${\displaystyle z=f'(x)}$${\displaystyle f''(x)\neq 0}$$${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}}$$${\displaystyle y=f(x)}$

$${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}}$$したがって：

${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}}$

帰納法によって、この結果を任意の整数 に対して一般化することができます。ここで、 は f(x) の n 次導関数 であり 、 と仮定します。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle z=f^{(n)}(x)}$${\displaystyle y=f^{(n-1)}(x)}$${\displaystyle f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1}$

${\displaystyle {\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}}$

上で示した連鎖律は、恒等式をxに関して微分することで得られる。同じ手順を高次の導関数についても続けることができる。恒等式をxに関して2回微分すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

これは連鎖律によってさらに単純化され、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

先ほど得た恒等式を使って一次導関数を置き換えると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}$

3 次導関数も同様です。

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

または2次導関数の式を使って、

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

これらの式は、Faà di Bruno の式によって一般化されます。

これらの式はラグランジュ記法を使って書くこともできる。fとgが逆数であれば、

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$逆関数 を持つ。逆関数の2次導関数の公式を用いると、${\displaystyle x=\ln y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

となることによって

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$、

これは直接計算と一致します。

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• Marsden, Jerrold E.; Weinstein, Alan (1981)。「第 8 章: 逆関数と連鎖律」。Calculus unlimited (PDF)。カリフォルニア州メンロパーク: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-6932-5。