意味 点電荷系の電気ポテンシャルエネルギーは、無限遠から点電荷を近づけてこの電荷系を組み立てるのに必要な仕事として定義される。あるいは、任意の電荷または電荷系の電気ポテンシャルエネルギーは、外部の作用者が電荷または電荷系を加速させる ことなく 無限遠から現在の配置まで移動させるのに必要な仕事の総量として定義される。
電場 E が存在する位置
rにある 点電荷 q の静電ポテンシャルエネルギー
U E は、静電気力 が基準位置
r ref [ 注 1 ] からその位置
r に移動させるために行う
仕事 W の負の値として定義される。
[ 1 ] [ 2 ] : §25-1 U E （ r ） = − W r 参照 → r = − ∫ r 参照 r q E （ r ′ ） ⋅ d r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )&=-W_{r_{\text{ref}}\to r}\\&=-\int _{\mathbf {r} _{\text{ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} \end{整列}}}
ここで、
E は静電場であり、d
r'は基準位置 r ref から最終位置
r までの曲線上の変位ベクトルである。
静電ポテンシャルエネルギーは、電位から次のように定義することもできます。
電位 が存在する場合の位置
r にある点電荷
q の静電ポテンシャルエネルギー
U E V {\displaystyle V} は、電荷と電位の積として定義される。
U E （ r ） = q V （ r ） {\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}
どこ
V {\displaystyle V} は電荷によって生成される電位 であり、位置
r の関数です。
単位 電気ポテンシャルエネルギーのSI単位はジュール（イギリスの物理学者ジェームズ・プレスコット・ジュールにちなんで命名）です 。CGS単位 系 では、エネルギー の単位はエルグ（erg）で、10⁻⁷ジュールに相当します。また 、 電子 ボルト（eV）も 使用でき、1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ジュール です。
1点電荷の静電ポテンシャルエネルギー
別の点電荷Q が存在する状況で、1つの点電荷qが存在する場合 別の電荷 Q の電場の中にある点電荷 q。 点電荷Q が存在する位置r にある点電荷 q の静電ポテンシャルエネルギーU E は、電荷間の距離が無限大の場合を基準位置とすると、次のようになる。
U E （ r ） = 1 4 π ε 0 q Q r {\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}
ここで、rは点電荷 q とQ の間の距離であり、q とQ は電荷（電荷の絶対値ではなく、つまり、電子を 式に代入すると負の電荷値となる）である。以下の証明の概要は、電気ポテンシャルエネルギーの定義とクーロンの法則 からこの式を導出する方法を示している。
証明の概要 電荷q に作用する静電気力F は 、電場E を用いて次のよう に表すことができる。F = q E 、 {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}
定義によれば、電場Eの存在下で基準位置 r ref から位置r に移動した点電荷qの静電ポテンシャルエネルギー U E の変化は、静電気力 が基準位置r ref からその位置r に移動させるために行う仕事の負の値である。
U E （ r ） − U E （ r r e f ） = − W r r e f → r = − ∫ r r e f r q E ⋅ d s 。 {\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}
どこ：
r = 電荷q の 3 次元空間における位置、直交座標r = ( x , y , z ) を使用し、電荷Q の位置をr = (0,0,0) とすると、スカラーr = | r | は位置ベクトルのノルム です。d s = r ref からr へ向かう経路C に沿った微分変位ベクトル 、 W r 参照 → r {\displaystyle W_{r_{\text{ref}}\to r}} は、静電気力が電荷を基準位置r refから r に移動させるために行う仕事です。通常、r refが無限大の場合、 UEは ゼロに設定されます。 U E （ r r e f = ∞ ） = 0 {\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0} U E （ r ） = − ∫ ∞ r q E ⋅ d s {\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }
回転 ∇ × E C には依存せず、その両端点のみに依存します。これは、時間不変の電場において発生します。静電ポテンシャルエネルギーについて議論する際には、常に時間不変の電場が仮定されるため、この場合、電場は保存的 であり、クーロンの法則を使用できます。
クーロンの法則 を用いると、離散的な点電荷Q によって生じる静電気力F と電場Eは、 Q から放射状に方向づけられることがわかっている。位置ベクトルr と変位ベクトルs の定義から、 r とsも Q から放射状に方向づけられることがわかる。したがって、E とdsは 平行でなければならない。
E ⋅ d s = | E | ⋅ | d s | コス （ 0 ） = E d s {\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\left|\mathbf {E} \right|\cdot \left|\mathrm {d} \mathbf {s} \right|\cos(0)=E\,\mathrm {d} s}
クーロンの法則を用いると、電場は次のように表される。
| E | = E = 1 4 π ε 0 Q s 2 {\displaystyle \left|\mathbf {E} \right|=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}
そして、積分は容易に計算できる。
U E （ r ） = − ∫ ∞ r q E ⋅ d s = − ∫ ∞ r 1 4 π ε 0 q Q s 2 d s = 1 4 π ε 0 q Q r = k e q Q r {\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}
n 個の点電荷Q i q Q1 とQ2 の 電荷系によるq の 静電ポテンシャルエネルギー：U E = q 4 π ε 0 （ Q 1 r 1 + Q 2 r 2 ） {\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)} n 個の点電荷Q i q の静電ポテンシャルエネルギーU E は、電荷間の距離が無限大である場合を基準位置とすると、次のようになる。
U E （ r ） = q 4 π ε 0 ∑ 私 = 1 n Q 私 r 私 、 {\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}
ここで、r i は点電荷q とQ i の間の距離であり、q とQ i は 電荷に割り当てられた値である。
点電荷系に蓄えられた静電ポテンシャルエネルギー 位置r 1 、r 2 、 …、r N にそれぞれ存在するN 個 の電荷q 1 、q 2 、 …、q N U E は 次のようになります。
ここで、各i の値について、V( r i ) はr i [ 注 2 ] V （ r 私 ） = k e ∑ j ≠ 私 j = 1 N q j r 私 j 、 {\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},} r ij はq i q j
証明の概要 2つの電荷の系に蓄えられた静電ポテンシャルエネルギーU E は、もう一方の電荷によって生成された 静電ポテンシャル における電荷の静電ポテンシャルエネルギーに等しい。つまり、電荷 q 1が位置 r の関数である静電ポテンシャル V 1 を生成する場合、 U E = q 2 V 1 （ r 2 ） 。 {\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}
もう一方の電荷に関して同じ計算を行うと、次の式が得られます。 U E = q 1 V 2 （ r 1 ） 。 {\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}
静電ポテンシャルエネルギーは相互に共有されるq 1 {\displaystyle q_{1}} q 2 {\displaystyle q_{2}} U E = 1 2 [ q 2 V 1 （ r 2 ） + q 1 V 2 （ r 1 ） ] {\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}
これを一般化すると、 n個 の電荷q1 , q2 , …, qn が r1 , r2 , …, rn にある系に蓄えられる静電ポテンシャルエネルギーU Eは 次のようになる。
U E = 1 2 ∑ 私 = 1 n q 私 V （ r 私 ） 。 {\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}
1点電荷のシステムに蓄えられたエネルギー 点電荷が1つだけ含まれる系の静電ポテンシャルエネルギーはゼロである。なぜなら、点電荷を無限遠から最終位置まで移動させる際に、外部の力が抵抗して仕事をしなければならないような、他の静電気力源が存在しないからである。
点電荷とその静電ポテンシャルとの相互作用に関して、よくある質問があります。この相互作用は点電荷自体を移動させるものではないため、系の蓄積エネルギーには寄与しません。
2つの点電荷のシステムに蓄えられたエネルギー 点電荷qを点電荷 Q 1 の 近くの最終位置に移動させることを考えます。Q 1 による電位V ( r ) は 次 のようになります 。V （ r ） = k e Q 1 r {\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}
したがって、 Q 1 のポテンシャルにおけるq の静電ポテンシャルエネルギーは次のように なる。U E = 1 4 π ε 0 q Q 1 r 1 {\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}} r 1 は 2 つの点電荷間の距離である。
3つの点電荷のシステムに蓄えられたエネルギー The electrostatic potential energy of a system of three charges should not be confused with the electrostatic potential energy of Q 1 due to two charges Q 2 and Q 3 , because the latter doesn't include the electrostatic potential energy of the system of the two charges Q 2 and Q 3 .
The electrostatic potential energy stored in the system of three charges is: U E = 1 4 π ε 0 [ Q 1 Q 2 r 12 + Q 1 Q 3 r 13 + Q 2 Q 3 r 23 ] {\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}
Outline of proof Using the formula given in (1 U E = 1 2 [ Q 1 V ( r 1 ) + Q 2 V ( r 2 ) + Q 3 V ( r 3 ) ] {\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}
Where V ( r 1 ) {\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})} r 1 created by charges Q 2 and Q 3 , V ( r 2 ) {\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})} r 2 created by charges Q 1 and Q 3 , and V ( r 3 ) {\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})} r 3 created by charges Q 1 and Q 2 . The potentials are:
V ( r 1 ) = V 2 ( r 1 ) + V 3 ( r 1 ) = 1 4 π ε 0 Q 2 r 12 + 1 4 π ε 0 Q 3 r 13 {\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}} V ( r 2 ) = V 1 ( r 2 ) + V 3 ( r 2 ) = 1 4 π ε 0 Q 1 r 21 + 1 4 π ε 0 Q 3 r 23 {\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}} V ( r 3 ) = V 1 ( r 3 ) + V 2 ( r 3 ) = 1 4 π ε 0 Q 1 r 31 + 1 4 π ε 0 Q 2 r 32 {\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}
Where r ij Q i Q j
If we add everything:
U E = 1 2 1 4 π ε 0 [ Q 1 Q 2 r 12 + Q 1 Q 3 r 13 + Q 2 Q 1 r 21 + Q 2 Q 3 r 23 + Q 3 Q 1 r 31 + Q 3 Q 2 r 32 ] {\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}
Finally, we get that the electrostatic potential energy stored in the system of three charges:
U E = 1 4 π ε 0 [ Q 1 Q 2 r 12 + Q 1 Q 3 r 13 + Q 2 Q 3 r 23 ] {\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}
Energy stored in an electrostatic field distribution in vacuum The energy density, or energy per unit volume, d U d V {\textstyle {\frac {dU}{dV}}} electrostatic field of a continuous charge distribution is: u e = d U d V = 1 2 ε 0 | E | 2 . {\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}
Outline of proof One may take the equation for the electrostatic potential energy of a continuous charge distribution and put it in terms of the electrostatic field .
Since Gauss's law for electrostatic field in differential form states ∇ ⋅ E = ρ ε 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
then, U = 1 2 ∫ all space ρ ( r ) Φ ( r ) d V = 1 2 ∫ all space ε 0 ( ∇ ⋅ E ) Φ d V {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}
so, now using the following divergence vector identity
∇ ⋅ ( A B ) = ( ∇ ⋅ A ) B + A ⋅ ( ∇ B ) ⇒ ( ∇ ⋅ A ) B = ∇ ⋅ ( A B ) − A ⋅ ( ∇ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})&=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}&=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\end{aligned}}}
we have
U = ε 0 2 ∫ all space ∇ ⋅ ( E Φ ) d V − ε 0 2 ∫ all space ( ∇ Φ ) ⋅ E d V {\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}
using the divergence theorem and taking the area to be at infinity where Φ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle \Phi (\infty )=0} ∇ Φ = − E {\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }
U = ε 0 2 ∫ of space boundary Φ E ⋅ d A ⏞ 0 − ε 0 2 ∫ all space ( − E ) ⋅ E d V = ∫ all space 1 2 ε 0 | E | 2 d V . {\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}
So, the energy density, or energy per unit volume d U d V {\textstyle {\frac {dU}{dV}}} electrostatic field is:
u e = 1 2 ε 0 | E | 2 . {\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}
Energy stored in electronic elements The electric potential energy stored in a capacitor is UE = 1 / 2 2 回路内のいくつかの要素は、エネルギーをある形態から別の形態に変換することができます。例えば、抵抗器は電気エネルギーを熱に変換します。これはジュール効果 として知られています。コンデンサは 、その電界にエネルギーを蓄えます。コンデンサに蓄えられる全静電ポテンシャルエネルギーは、次の式で与えられます。 U E = 1 2 Q V = 1 2 C V 2 = Q 2 2 C {\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}} C は静電容量 、V は電位差 、Qは コンデンサに蓄えられた電荷である。
全静電ポテンシャルエネルギーは、電場を用いて次のように表すこともできます。 U E = 1 2 ∫ V E ⋅ D d V {\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} \,dV}
どこD {\displaystyle \mathrm {D} } は誘電体材料内の電束密度場 であり、積分は誘電体の全体積にわたって行われる。
帯電した誘電体内に蓄積された全静電ポテンシャルエネルギーは、連続体積電荷の観点からも表現できる。ρ {\displaystyle \rho } U E = 1 2 ∫ V ρ Φ d V {\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}
注記 ↑ 基準ゼロは通常、個々の点電荷が非常に十分に離れており（「無限遠にある」）、静止している状態とみなされます。 ↑ 係数 1/2 は、電荷ペアの「二重カウント」を考慮したものです。たとえば、電荷が 2 つだけのケースを考えてみましょう。
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある 電気ポテンシャルエネルギーに関連するメディア
ウィキメディア・コモンズにある電気ポテンシャルエネルギーに関連するメディア
![{\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a2d851b00357dede92704d2b30dc5ef16c8940)
![{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7eb179f82e03df6e19a1f8d4642a228c3330aa)
![{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bac3fd7f2818aede4d0215c8ea2f73c93dc88e3)
![{\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f53c40778e34f67ec6385c4f9ab95dd595359e)
