乗法数列の種数

数学において、乗法列の種数とは、滑らかなコンパクト多様体の環から、境界を持つ滑らかな多様体を（適切なコボルディズムを除いて）別の環（通常は有理数）に境界付けすることと同値になる環準同型のことである。この環は、優れた乗法特性を持つ形式的冪級数の係数として現れる特性クラスの多項式の列から構成されているという性質を持つ。

属​${\displaystyle \varphi }$番号を割り当てる${\displaystyle \Phi (X)}$各多様体Xに対して、

1. ${\displaystyle \ファイ (X\sqcup Y)=\ファイ (X)+\ファイ (Y)}$（どこ${\displaystyle \sqcup }$は互いに素な和集合である。
2. ${\displaystyle \ファイ (X\times Y)=\ファイ (X)\ファイ (Y)}$;
3. $\displaystyle \Phi (X)=0}$X が境界を持つ多様体の境界である 場合。

多様体および境界を持つ多様体には、追加の構造が必要となる場合があります。たとえば、向きが付けられていたり、スピンを持っていたり、安定的に複素であったりするなどです（より多くの例については、コボルディズム理論のリストを参照してください）。${\displaystyle \Phi (X)}$は、多くの場合有理数の環であるが、他の環である場合もある。${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$あるいはモジュール形式の環。

条件${\displaystyle \Phi }$ 言い換えると、${\displaystyle \Phi }$これは、多様体のコボルディズム環（追加構造付き）から別の環への環準同型写像である。

例：${\displaystyle \Phi (X)}$は向き付けられた多様体Xの符号であり、${\displaystyle \Phi }$は、向き付けられた多様体から整数環への種数である。

多項式の列${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$変数において${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$乗法的であると言われるのは、

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

意味するところは

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

もし${\displaystyle Q(z)}$は定数項1を持つzの形式的冪級数であり、乗法数列を定義できる。

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

による

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$、

どこ${\displaystyle p_{k}}$は、不定元に関するk番目の基本対称関数です。${\displaystyle z_{i}}$（変数）${\displaystyle p_{k}}$実際にはポントリャーギン・クラスになることが多いでしょう。

属${\displaystyle \Phi }$Qに対応するコンパクトで連結された滑らかな向き付けられた多様体の数は、次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

どこで${\displaystyle p_{k}}$Xのポントリャーギン類は、 である。冪級数Qは、種の特性冪級数と呼ばれる。${\displaystyle \Phi }$ルネ・トムの定理によれば、コボルディズム環でテンソル化された有理数は、正の整数kに対して次数 4 kの生成子による多項式代数であり、これは有理係数と最高次係数 1 を持つ形式的冪級数Qと、向き付けられた多様体から有理数への種数との間の全単射を与えることを意味する。

L種は形式冪級数の種数である

$\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

数字が${\displaystyle B_{2k}}$はベルヌーイ数です。最初のいくつかの値は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

（ L多項式の詳細については^{[ 1 ]}またはOEIS : A237111 を参照）。ここで、Mをポントリャーギン類を持つ次元4nの閉じた滑らかな向き付け可能な多様体とする。${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$フリードリヒ・ヒルツェブルフは、4 n次元のMのL種数が基本クラス上で評価されることを示した。${\displaystyle M}$、と表記される${\displaystyle [M]}$は、${\displaystyle \sigma (M)}$、Mの署名(すなわち、 Mの2 n番目のコホモロジー群上の交差形式の署名) :

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$。

これは現在、ヒルツェブルッフの署名定理（またはヒルツェブルッフの指数定理）として知られています。

事実${\displaystyle L_{2}}$は滑らかな多様体では常に整数値であり、ジョン・ミルナーはこれを用いて、滑らかな構造を持たない8次元区分的線形（PL）多様体の例を示すことにした。 ポントリャーギン数はPL多様体に対しても定義でき、ミルナーは自身のPL多様体が非整数値を持つことを示した。${\displaystyle p_{2}}$そのため、平滑化することはできなかった。

トッド種は形式的冪級数の種である

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

と${\displaystyle B_{i}}$以前と同様に、ベルヌーイ数です。最初のいくつかの値は

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

トッド種は、すべての複素射影空間に値 1 を割り当てるという特別な性質を持っています (つまり、${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$）、そしてこれは、複素射影空間の算術種数が 1 であることから、代数多様体のトッド種数が算術種数と一致することを示すのに十分である。この観察はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の結果であり、実際、この定理の定式化につながった重要な発展の 1 つです。

 種は特性冪級数に関連付けられた種である。

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

（あまり一般的ではないが、特性系列に関連付けられたA属も存在する）${\displaystyle Q(16z)}$）最初のいくつかの値は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

スピン多様体の Â 種数は整数であり、次元が 4 mod 8 の場合、偶数になります (次元 4 では、これはロクリンの定理を意味します)。一般の多様体の場合、Â 種数は必ずしも整数ではありません。これはHirzebruchとArmand Borelによって証明されました。この結果は、スピン多様体の Â 種数がそのDirac 演算子の指数に等しいことを示したAtiyah–Singer 指数定理の動機となり、後に説明されました。

この指数結果をディラック・ラプラシアンのヴァイツェンボック公式と組み合わせることで、アンドレ・リヒネロヴィッチは、コンパクトスピン多様体が正のスカラー曲率を持つ計量を持つ場合、そのÂ種数はゼロでなければならないことを推論した。これは次元が4の倍数である場合にのみ正のスカラー曲率に対する障害となるが、後にナイジェル・ヒッチンは類似の${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$次元 1 または 2 mod 8 における - 値の障害。これらの結果は本質的にシャープです。実際、ミハイル・グロモフ、H. ブレイン・ローソン、ステファン・ストルツは後に Â 属とヒッチンの${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-値の類似物は、次元が5以上の単連結スピン多様体上に正のスカラー曲率計量が存在することに対する唯一の障害である。

冪級数が楕円種数である場合、その種数は楕円種数と呼ばれる。${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$条件を満たす

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

定数の場合${\displaystyle \delta }$そして${\displaystyle \epsilon }$（いつものように、Qは種数の特性冪級数である。）

f ( z )の明示的な表現の一つは次の通りである。

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

どこ

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

snはヤコビ楕円関数です。

例：

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$これはL属です。
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$これはÂ属です。
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$これはL属の一般化である。

このような属の最初のいくつかの値は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

例（四元数射影平面の楕円種数） ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

例（八元数射影平面、またはケイリー平面の楕円種数）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

ウィッテン種は特性冪級数に関連付けられた種である。

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

ここで、σ _Lは格子Lのワイエルシュトラスシグマ関数であり、Gはアイゼンシュタイン級数の倍数である。

4 k次元のコンパクトで向き付けられた滑らかなスピン多様体で、第一ポントリャーギン類がゼロであるウィッテン種数は、フーリエ係数が積分である重み 2 kのモジュラー形式である。

• アティヤ・シンガー指数定理
• コホモロジー理論の一覧

• フリードリヒ・ヒルツェブルフ著『代数幾何学における位相幾何学的方法』ISBN 3-540-58663-6ドイツ語原文：http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ、トーマス・ベルガー、ライナー・ユング著『多様体とモジュラー形式』ISBN 3-528-06414-5
• ミルナー、ジョン・W.、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974).特性クラス. 数学研究年報. 第 76巻. プリンストン大学出版局; 東京大学出版会. ISBN 978-0-691-08122-9. MR 0440554 . 
• AF Kharshiladze (2001) [1994]、「ポントリャーギンクラス」、数学百科事典、EMS Press
• 「楕円型種数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]